経路積分の記法揺れ

経路積分 (端点を固定した汎関数積分) の記法は文献によって若干の揺れがある. 例として, 経路積分

の有名な教科書による記法を比べよう¹:

• R. P. Feynman and A. R. Hibbs (1965). Quantum Mechanics and Path Integrals:

  \[∫_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \exp \bqty{i ∫_{x_\mathrm{A}}^{x_\mathrm{B}} \d{x} f(φ(x))} \mathcal{D}φ(x)\]

• J. J. Sakurai, and J. Napolitano (2021). Modern Quantum Mechanics, 3rd edn:

  \[∫_{φ_0}^φ \mathcal{D}[φ(x)] \exp \bqty{i ∫_{x_\mathrm{A}}^{x_\mathrm{B}} \d{x} f(φ(x))}\]

• 杉田 勝実, 岡本 良夫, 関根 松夫 (1998).『経路積分と量子電磁力学』:

  \[∫_{(x_\mathrm{A},φ_0)}^{(x_\mathrm{B},φ)} \mathfrak{D}φ \exp \bqty{i ∫_{x_\mathrm{A}}^{x_\mathrm{B}} \d{x} f(φ(x))}\]

• 九後 汰一郎 (1989).『ゲージ場の量子論 I, II』:

  \[∫_{φ(x_\mathrm{A})=φ_0}^{φ(x_\mathrm{B})=φ} \mathcal{D}[φ(x)] \exp \bqty{i ∫_{x_\mathrm{A}}^{x_\mathrm{B}} \d{x} f(φ(x))}\]

• J. Polchinski (1998). String Theory:

  \[∫ [dφ]_{φ_0,x_\mathrm{A}}^{φ,x_\mathrm{B}} \exp \bqty{i ∫_{x_\mathrm{A}}^{x_\mathrm{B}} \d{x} f(φ(x))}\]

また, 以下は経路積分の範囲 \((φ_0, φ)\) を省略している:

• M. E. Peskin, and D. V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory や, L. H. Rider (1996). Quantum Field Theory, 2nd edn など多数:

  \[∫ \mathcal{D}φ \exp \bqty{i ∫_{x_\mathrm{A}}^{x_\mathrm{B}} \d{x} f(φ(x))}\]

• V. P. Nair (2005). Quantum Field Theory: A Moderun Perspective や, M. Dine (2007). Supersymmetry and String Theory: Beyond the Standard Model など多数:

  \[∫ [dφ] \exp \bqty{i ∫_{x_\mathrm{A}}^{x_\mathrm{B}} \d{x} f(φ(x))}\]

こう並べてみると, 次のような違いに気付く:

1. 経路積分の範囲 \((φ_0, φ)\) の明記の仕方は大きく揺れる,
2. 大文字を使う \(\mathcal{D}[φ(x)]\), \(\mathcal{D}φ\) 派と, 小文字を角括弧で挟む \([dφ]\) 派がいる.

当然であるが, これらの違いは経路積分の本質に全く影響しない. それぞれの執筆者の趣味趣向を感じられて楽しい, 程度の気付きである.