場の古典論ノート

Jan 6, 2024; draft

場¹の古典論の基本事項を体系的にまとめる.

最小作用の原理

場の古典論において, 以下を原理として認める.

座標 $x = (x^μ) = (t, \bm{x})$ に依存する場 $ϕ^α(x)$ に対して, 作用 action と呼ばれる汎関数 $S[ϕ^α]$ が存在し, 物理現象において作用 $S[ϕ^α]$ が最小となるような場が選ばれる. つまり, $ϕ^α(x) ↦ ϕ^α(x) + δϕ^α(x)$ (ただし境界固定 $x∈∂Ω ⇒ δϕ^α(x)=0$ , $Ω$ は考えている空間) となる変換に対し, 作用が停留値を取る:

δS[ϕ^α] ≡ S[ϕ^α + δϕ^α] - S[ϕ^α] = 0.

この古典的原理を最小作用の原理という.

粒子系の場合と同様, 系に対し適当な作用 $S[ϕ^α]$ , あるいは次節の Lagrangian 密度を決定するのが, 物理学の本質と言えよう.

Euler–Lagrange の運動方程式

粒子系のとき, 作用は Lagrangian $L$ の時間積分によって表された. 場においても同様に時空間によって積分される Lagrangian 密度と呼ばれる量を用いるのが便利である:

作用は, スカラー場 $ϕ^α$ に関する Lagrangian 密度 Lagrangian density $\mathcal{L}(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α)$ を用いて以下のように表される:

S[ϕ^α] = ∫_Ω \d{{}^4 x} \mathcal{L}(ϕ^α, ∂_μ {ϕ^α}).

最小作用の原理に対し, この Lagrangian 密度が満たすべき条件を求めよう. $ϕ^α ↦ ϕ^α + δϕ^α$ の変換に対し,

\begin{aligned} δS[ϕ^α] =& ∫_Ω \d{{}^4 x} \bqty{ \mathcal{L}(ϕ^α + δϕ^α, ∂_μ ϕ^α + ∂_μ δϕ^α) - \mathcal{L}(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) } \\ =& ∫_Ω \d{{}^4 x} \bqty{ δϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} + δ∂_μ ϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ϕ^α)} + o\pqty{\sqrt{ δϕ^{α*} δϕ^α + δ∂_μϕ^{α*} δ∂^μϕ^α }} } \\ =& ∫_Ω \d{{}^4 x} \bqty{ δϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} + ∂_μ δϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ϕ^α)} } \quad (∵ δ∂_μ ϕ^α = ∂_μ δϕ^α) \\ =& ∫_Ω \d{{}^4 x} \bqty{ δϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} - δϕ^α ∂_μ \pqty{\pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ϕ^α)}} } + ∫_{∂Ω} \d{\pqty{δϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ϕ^α)}}}. \end{aligned}

ここで, 第2項は境界条件 $x∈∂Ω ⇒ δϕ^α(x)=0$ より消える:

δS[ϕ^α] = ∫ \d{{}^4 x} δϕ^α \bqty{ \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} - ∂_μ \pqty{\pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ϕ^α)}} }.

$δϕ^α(x)$ は $x∈Ω∖∂Ω$ で任意だから, 原理 $δS[ϕ^α]=0$ より, 次の運動方程式が得られる:

最小作用の原理を満たすとき, Lagrangian 密度 $\mathcal{L}(ϕ^α, ∂_μ {ϕ^α})$ は以下の Euler–Lagrange の運動方程式を満たす:

\pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} - ∂_μ \pqty{\pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ϕ^α)}} = 0.

汎関数で Lagrangian を定義することで, 粒子系の場合と似た形で議論することもできる. Lagrangian 密度を空間全体にわたって積分した

L[ϕ^α, \.ϕ^α] = ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \mathcal{L}(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) = ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \mathcal{L}(ϕ^α, \grad ϕ^α, \.ϕ^α)

を Lagrangian $L[ϕ^α, \.ϕ^α]$ と定義すると,

\begin{aligned} \fdv{L[ϕ^α, \.ϕ^α]}{ϕ^α} =& \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} - \div \pdv{\mathcal{L}}{(\grad ϕ^α)}, \\ &\pqty{∵ \text{変分公式 $\displaystyle\fdv{}{φ(y)} ∫ \d{x} g(φ'(x)) = - \dv{}{y} \dv{g(φ'(y))}{(φ'(y))}$}} \\ \fdv{L[ϕ^α, \.ϕ^α]}{\.ϕ^α} =& \pdv{\mathcal{L}}{\.ϕ^α}. \end{aligned}

より,

\begin{aligned} \fdv{S[ϕ^α]}{ϕ^α} =& \fdv{L}{ϕ^α} - \dv{}{t} \fdv{L}{\.ϕ^α} \\ =& \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} - \div \pdv{\mathcal{L}}{(\grad ϕ^α)} - \pdv{}{t} \pdv{\mathcal{L}}{\.ϕ^α} \\ =& \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} - ∂_μ \pqty{ \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ϕ^α)} }. \end{aligned}

これを用いると Euler–Lagrange の運動方程式は

\fdv{S[ϕ^α]}{ϕ^α} = \fdv{L}{ϕ^α} - \pdv{}{t} \fdv{L}{\.ϕ^α} = 0.

例: 実 Klein-Gordon 場

実 Klein-Gordon 場 $ϕ^α$ の Lagrangian 密度は,

\mathcal{L}(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) = \frac12 ∂_μ ϕ_α ∂^μ ϕ^α - \frac12 m^2 ϕ_α ϕ^α.

ここで,

\pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} = - m^2 ϕ_α, \quad ∂_μ \pqty{ \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ϕ^α)} } = ∂_μ ∂^μ ϕ_α = □ ϕ_α.

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

(□ + m^2) ϕ^α = 0.

これは Klein-Gordon 方程式と呼ばれる.

例: 複素 Klein-Gordon 場

複素 Klein-Gordon 場 $ϕ^α$ の Lagrangian 密度は,

\mathcal{L}(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) = \frac12 ∂_μ ϕ_α^* ∂^μ ϕ^α - \frac12 m^2 ϕ_α^* ϕ^α.

ここで, $ϕ^α$ と ${ϕ^α}^*$ を独立に扱って,

\begin{gathered} \pdv{\mathcal{L}}{{ϕ^α}^*} = - \frac12 m^2 ϕ_α, & ∂_μ \pqty{ \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ {ϕ^α}^*)} } = \frac12 ∂_μ ∂^μ ϕ_α ≡ \frac12 □ ϕ_α, \\ \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} = - \frac12 m^2 ϕ_α^*, & ∂_μ \pqty{ \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ϕ^α)} } = \frac12 ∂_μ ∂^μ ϕ_α^* ≡ \frac12 □ ϕ_α^*, \\ \end{gathered}

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

(□ + m^2) ϕ^α = 0, \quad (□ + m^2) {ϕ^α}^* = 0.

例: de Broglie 場

de Broglie 場 $ψ$ の Lagrangian 密度は,

\mathcal{L}(ψ, ∂_μ ψ) = i {\hbar} ψ^* \.ψ - \frac{{\hbar}^2}{2m} \grad ψ^* ⋅ \grad ψ.

ここで, $ψ$ と $ψ^*$ を独立に扱って,

\begin{aligned} \pdv{\mathcal{L}}{ψ^*} &= i {\hbar} \.ψ, \\ ∂_μ \pqty{ \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ψ^*)} } &= ∂_0 \pqty{ \pdv{\mathcal{L}}{\.ψ^*} } + \div \pqty{ \pdv{\mathcal{L}}{(\grad ψ^*)} } \\ &= 0 - \frac{{\hbar}}{2 m} \div \grad ψ \\ &= - \frac{{\hbar}}{2 m} ∇^2 ψ, \end{aligned}

\begin{aligned} \pdv{\mathcal{L}}{ψ} &= 0, \\ ∂_μ \pqty{ \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ ψ)} } &= ∂_0 \pqty{ \pdv{\mathcal{L}}{\.ψ} } + \div \pqty{ \pdv{\mathcal{L}}{(\grad ψ)} } \\ &= i {\hbar} \.ψ^* - \frac{{\hbar}}{2 m} \div \grad ψ^* \\ &= i {\hbar} \.ψ^* - \frac{{\hbar}}{2 m} ∇^2 ψ^*. \end{aligned}

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\begin{aligned} i {\hbar} \.ψ &= - \frac{{\hbar}}{2 m} ∇^2 ψ, & - i {\hbar} \.ψ^* &= - \frac{{\hbar}}{2 m} ∇^2 ψ^*. \end{aligned}

これは de Broglie 方程式と呼ばれ, 非相対論的量子力学における波動関数の Schrödinger 方程式と関係がある.

例: 電磁場

電磁場 $A_μ$ の Lagrangian 密度は,

\begin{aligned} \mathcal{L}(A_ν, ∂_μ A_ν) = - \frac14 F_{μν} F^{μν} + A_μ j^μ, && F^{μν} := ∂^μ A^ν - ∂^ν A^μ. \end{aligned}

ここで,

\begin{aligned} \pdv{\mathcal{L}}{A_ν} &= j^μ, \\ ∂_μ \pqty{\pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ A_ν)}} &= ∂_μ \qty{ \pdv{}{(∂_μ A_ν)} \pqty{ - \frac14 F_{ρσ} F^{ρσ} } } \\ &= ∂_μ \qty{ \pdv{}{(∂_μ A_ν)} \bqty{ - \frac12 ( ∂_ρ A_σ ∂^ρ A^σ - ∂_ρ A_σ ∂^σ A^ρ ) } } \\ &= ∂_μ \bqty{ - (∂^μ A^ν - ∂^ν A^μ) } \\ &= - ∂_μ F^{μν}. \end{aligned}

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

∂_μ F^{μν} = - j^ν.

これは古典電磁気学の基本方程式である Maxwell 方程式の一部として知られている.

例: Dirac 場

Dirac 場 $ψ$ の Lagrangian 密度は,

\mathcal{L}(A_ν, ∂_μ A_ν) = \overline{ψ} i\slashed{∂} ψ - m \overline{ψ}ψ.

ただし $\slashed{∂}≡γ^μ∂_μ$ は Dirac 演算子, $γ^μ$ は $\{γ^μ,γ^ν\}=g^{μν}$ を満たす $γ$ 行列で, $\overline{ψ}≡ψ^{\dagger}γ^0$ は Dirac 共役である. また, Dirac 場 $ψ$ は Dirac スピノルと呼ばれる列ベクトルで, 例えば4成分である: $ψ = (ψ_1, ψ_2, ψ_3, ψ_4)^{\mathsf{T}}$ . ここで, $ψ$ と $\overline{ψ}$ を独立に扱って,

\begin{gathered} \pdv{\mathcal{L}}{\overline{ψ}} = i\slashed{∂} ψ - m ψ = (i\slashed{∂} - m) ψ, \quad \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μ\overline{ψ})} = 0, \\ \pdv{\mathcal{L}}{ψ} = - m\overline{ψ}, \quad \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μψ)} = \overline{ψ} iγ^μ. \\ \end{gathered}

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

(i\slashed{∂} - m) ψ = 0, \quad \overline{ψ} (i\overleftarrow{\slashed{∂}} + m) = 0.

Noether の定理

粒子系の場合と同様, 座標と場の連続変換に対し作用が不変であるとき, 系には対応する不変量が存在することが知られている. この定理は Noether の定理と呼ばれている.

座標の微小変換 $x↦x'=x+δx$ に対し, 場が $ϕ^α(x)↦ϕ'^α(x)=ϕ^α(x)+δϕ^α(x)$ と変換されるとする. このとき空間 $Ω$ における作用は

\begin{aligned} δS[ϕ^α] &= ∫_{Ω'} \d{{}^4 x'} \mathcal{L}(ϕ'^α(x'),∂'_μϕ'^α(x')) - ∫_Ω \d{{}^4 x} \mathcal{L}(ϕ^α(x),∂_μϕ^α(x)) \\ & \quad \pqty{\d{{}^4 x'} = \d{{}^4 x} \abs{\pdv{x'^μ}{x^ν}} = \d{{}^4 x} \det(δ_ν^μ+∂_νδx^μ) = \d{{}^4 x} (1+∂_μδx^μ)} \\ &= ∫_Ω \d{{}^4 x} \Big[ (1+∂_μδx^μ) \mathcal{L}(ϕ'^α(x'),∂'_μϕ'^α(x')) - \mathcal{L}(ϕ^α(x),∂_μϕ^α(x)) \Big] \\ & \quad \left( \begin{aligned} ∂'_μϕ'^α(x') &= \pdv{x^ν}{x'^μ} ∂_ν(ϕ^α(x)+δϕ^α(x)) \\ &= (δ_μ^ν-∂_μδx^ν)(∂_νϕ^α+∂_νδϕ^α) \\ &= ∂_μϕ^α+∂_μδϕ^α-∂_μδx^ν∂_νϕ^α \end{aligned} \right) \\ &= ∫_Ω \d{{}^4 x} \Big[ ∂_μδx^μ \mathcal{L} + \mathcal{L}(ϕ^α+δϕ^α,∂_μϕ^α+∂_μδϕ^α-∂_μδx^ν∂_νϕ^α) - \mathcal{L}(ϕ^α,∂_μϕ^α) \Big] \\ &= ∫_Ω \d{{}^4 x} \bqty{∂_μδx^μ \mathcal{L} + δϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} + (∂_μδϕ^α-∂_μδx^ν∂_νϕ^α) \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)}} \\ & \quad \pqty{\text{Lie 微分 $δ^Lϕ^α(t) := ϕ'^α(t) - ϕ^α(t) = δϕ^α - δx^μ∂_μϕ^α$}} \\ &= ∫_Ω \d{{}^4 x} \bqty{∂_μδx^μ \mathcal{L} + (δ^Lϕ^α + δx^μ∂_μϕ^α) \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} + (∂_μδ^Lϕ^α + δx^ν∂_μ∂_νϕ^α) \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)}} \\ &= ∫_Ω \d{{}^4 x} \bqty{∂_μδx^μ \mathcal{L} + δ^Lϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} + δx^μ∂_μϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} + ∂_μδ^Lϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)} + δx^ν∂_μ∂_νϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)}} \\ &= ∫_Ω \d{{}^4 x} \qty{ ∂_μ \pqty{δx^μ \mathcal{L}} + δ^Lϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} + ∂_μ\bqty{δ^Lϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)}} - δ^Lϕ^α ∂_μ\pqty{\pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)}} } \\ &= ∫_Ω \d{{}^4 x} \qty{ δ^Lϕ^α \bqty{\pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} - ∂_μ\pqty{\pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)}}} + ∂_μ\bqty{δ^Lϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)} + δx^μ \mathcal{L}} } \\ &= ∫_Ω \d{{}^4 x} δ^Lϕ^α \bqty{\pdv{\mathcal{L}}{ϕ^α} - ∂_μ\pqty{\pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)}}} + ∫_{∂Ω} \d{\bqty{δϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)} - δx_ν \pqty{∂^νϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)} - g^{μν} \mathcal{L}}}}. \\ \end{aligned}

ここで, 第一項は Euler–Lagrange の運動方程式より無視でき, 第二項の積分範囲 $∂Ω$ は任意である. したがって, この変換に対し作用が不変 $δS=0$ であるとすると, 対応する保存則が得られる:

座標の微小変換 $x↦x'=x+δx$ に対し, 場が $ϕ^α(x)↦ϕ'^α(x)=ϕ^α(x)+δϕ^α(x)$ と変換されるとき, 作用が不変であるならば,

∂_μδJ^μ = 0

が成立する(Noether の定理 Noether’s theorem). ただし,

δJ^μ := δϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)} - δx_ν T^{μν}

は保存流と呼ばれ,

T^{μν} := ∂^νϕ^α \pdv{\mathcal{L}}{(∂_μϕ^α)} - g^{μν} \mathcal{L}

は正準エネルギー運動量テンソルと呼ばれる.

実際, 変換の生成子と呼ばれる

δQ(t) := ∫ \d{^3 \bm{x}} δJ^0(x)

を時間微分すると,

\begin{aligned} \dv{δQ}{t} &= ∫ \d{^3 \bm{x}} ∂_0δJ^0 = ∫ \d{^3 \bm{x}} (∂_μδJ^μ - ∂_iδJ^i) \\ &= - ∫ \d{^3 \bm{x}} ∂_iδJ^i = - ∫ \d{V} \div (δ\bm{J}) \\ &= - ∫ \d{\bm{S}} ⋅ (δ\bm{J}) \quad \xrightarrow{\text{境界条件}} \quad 0. \end{aligned}

したがって, $δQ$ が保存することがわかる.

Hamiltonの運動方程式

一般化運動量 $π_α ≡ δL / δ\.{ϕ}^α = ∂\mathcal{L} / ∂\.{ϕ}^α$ を用いて, Hamiltonian 密度 $\mathcal{H}(ϕ^α, ∇ ϕ^α, π_α, ∇ π_α) ≡ π_α \.{ϕ}^α - \mathcal{L}$ を定義する. Hamiltonian 密度を空間全体にわたって積分した

\begin{aligned} H[ϕ^α, π_α] &≡ ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \mathcal{H}(ϕ^α, ∇ ϕ^α, π_α, ∇ π_α) \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} π_α \.{ϕ}^α - L[ϕ^α, \.{ϕ}^α] \end{aligned}

を Hamiltonian $H[ϕ^α, π_α]$ と定義すると, 定義の変分は

\begin{aligned} δH &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \.{ϕ}^α δπ_α + ∫ \d{{}^3 \bm{x}} π_α δ\.{ϕ}^α - δL[ϕ^α, \.{ϕ}^α] \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \.{ϕ}^α δπ_α + ∫ \d{{}^3 \bm{x}} π_α δ\.{ϕ}^α - ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \fdv{L}{{ϕ}^α} δ{ϕ}^α - ∫ \d{{}^3 \bm{x}} π_α δ\.{ϕ}^α \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \.{ϕ}^α δπ_α + ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \fdv{L}{{ϕ}^α} δ{ϕ}^α. \\ \end{aligned}

また, Hamiltonian の変分は,

δH = ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \fdv{H}{{ϕ}^α} δ{ϕ}^α + ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \fdv{H}{π_α} δπ_α.

ここで, Euler-Lagrangian 方程式が成立するとき $\displaystyle \fdv{L}{{ϕ}^α} = \pdv{}{t}\fdv{L}{\.{ϕ}^α} = \.{π}_α$ であることを用いると, Hamiltonian に関する運動方程式が得られる:

最小作用の原理を満たすとき, Hamiltonian は以下の Hamilton の運動方程式あるいは正準方程式 canonical equation を満たす:

\.π_α = - \fdv{H}{ϕ^α}, \quad \.{ϕ}^α = \fdv{H}{π_α},

または汎関数微分を計算して,

\begin{aligned} \.π_α &= - \bqty{\pdv{\mathcal{H}}{ϕ^α} - \div \pdv{\mathcal{H}}{(\grad ϕ^α)}}, \\ \.{ϕ}^α &= \bqty{\pdv{\mathcal{H}}{π_α} - \div \pdv{\mathcal{H}}{(\grad π_α)}}. \\ \end{aligned}

$π_α$ を $ϕ^α$ に共役な運動量 conjugate momentum といい, また $(ϕ^α, π_α)$ の組を正準変数 canonical variables という.

例: 実 Klein-Gordon 場

実 Klein-Gordon 場 $ϕ^α$ の Lagrangian 密度は,

\mathcal{L}(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) = \frac12 ∂_μ ϕ_α ∂^μ ϕ^α - \frac12 m^2 ϕ_α ϕ^α.

ここで, 一般化運動量の定義より,

π_α = \pdv{\mathcal{L}}{\.{ϕ}^α} = \.{ϕ}_α.

したがって $\.{ϕ}_α = π_α$ であるから, Hamiltonian 密度より,

\begin{aligned} \mathcal{H} &= π_α \.{ϕ}^α - \mathcal{L} \\ &= π_α π^α - \frac12 π_α π^α + \frac12 (\grad ϕ_α)⋅(\grad ϕ^α) + \frac12 m^2 ϕ_α ϕ^α \\ &= \frac12 π_α π^α + \frac12 (\grad ϕ_α)⋅(\grad ϕ^α) + \frac12 m^2 ϕ_α ϕ^α. \end{aligned}

ここで,

\begin{aligned} \pdv{\mathcal{H}}{π_α} - \div \pdv{\mathcal{H}}{(\grad π_α)} &= π^α, \\ \pdv{\mathcal{H}}{ϕ^α} - \div \pdv{\mathcal{H}}{(\grad ϕ^α)} &= m^2 ϕ_α - ∇^2 ϕ_α. \end{aligned}

したがって, Hamilton の運動方程式は

\.{ϕ}^α = π^α, \quad \.{π}_α = - m^2 ϕ_α + ∇^2 ϕ_α.

Poisson 括弧

正準変数 $(ϕ^α, π_α)$ に対し, Poisson 括弧 Poisson braket は以下で定義される演算である:

\begin{aligned} \{A[ϕ^α, π_α], B[ϕ^α, π_α]\}_\mathrm{P} &≡ ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \pqty{\fdv{A}{ϕ^α}\fdv{B}{π_α} - \fdv{B}{ϕ^α}\fdv{A}{π_α}} \\ &≡ ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \pqty{\fdv{A[ϕ^α, π_α]}{ϕ^α(t,\bm{x})}\fdv{B[ϕ^α, π_α]}{π_α(t,\bm{x})} - \fdv{B[ϕ^α, π_α]}{ϕ^α(t,\bm{x})}\fdv{A[ϕ^α, π_α]}{π_α(t,\bm{x})}}. \end{aligned}

例えば,

\begin{gathered} \{ϕ^α, H\}_\mathrm{P} = \.ϕ^α, \quad \{π_α, H\}_\mathrm{P} = \.π_α, \\ \{ϕ^α(t, \bm{x}), ϕ^β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} = \{π_α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} = 0, \\ \{ϕ^α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} = δ^α_β δ^3(\bm{x}-\bm{x}'). \end{gathered}

ある物理量 $A[ϕ^α, π_α]$ について, 時間発展に関する式は:

\dv{A}{t} = \{A, H\}_\mathrm{P}.

実際, $A$ の時間による完全微分は,

\begin{aligned} \dv{A}{t} &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \fdv{A}{ϕ^α} \.ϕ^α + ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \fdv{A}{π_α} \.π_α \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \pqty{\fdv{A}{ϕ^α} \fdv{H}{π_α} - \fdv{H}{ϕ^α} \fdv{A}{π_α}} \\ &= \{A, H\}_\mathrm{P}. \end{aligned}

平面波展開

例: 実 Klein-Gordon 場

実 Klein-Gordon 場の Lagrangian 密度は

\mathcal{L}(ϕ, ∂_μ ϕ) = \frac12 ∂_μ ϕ ∂^μ ϕ - \frac12 m^2 {ϕ}^2,

運動方程式は

(□ + m^2) ϕ = 0,

一般化運動量 $π ≡ ∂\mathcal{L}/∂ϕ$ は

π = \.{ϕ},

Hamiltonian は

H[ϕ, π] = ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \bqty{\frac12 π^2 + \frac12 |\grad ϕ|^2 + \frac12 m^2 ϕ^2}.

さて, 実 Klein-Gordon 場 $ϕ(t,\bm{x})$ を 3 次元 Fourier 級数展開して,

ϕ(t,\bm{x}) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} q(t, \bm{p}) e^{i \bm{p}⋅\bm{x}}

が得られる. ただし, $q(t, \bm{p})$ は展開係数である. これを運動方程式 $(□ + m^2)ϕ = 0$ に代入すると,

\begin{aligned} &\ (□ + m^2) ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} \\ =&\ \pdv{{}^2}{t^2} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} - ∇^2 ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} + m^2 ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \"q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} + ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} |\bm{p}|^2 q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} + ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} m^2 q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{\"q + (\bm{p}^2 + m^2) q} e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} = 0 \end{aligned}

となる. ここで $p_0 ≡ \sqrt{|\bm{p}|^2 + m^2} > 0$ とすれば $\"q(t, \bm{p}) + (p_0)^2 q(t, \bm{p}) = 0$ だから, $q(t, \bm{p})$ の一般解は

q(t, \bm{p}) = q_1(\bm{p}) e^{-ip_0t} + q_2(\bm{p}) e^{ip_0t}

である. $ϕ(t,\bm{x})$ の展開を $q_1(\bm{p})$ , $q_2(\bm{p})$ で書き直して,

\begin{aligned} ϕ(t,\bm{x}) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{q_1(\bm{p}) e^{-i p_0t} + q_2(\bm{p}) e^{i p_0t}} e^{i \bm{p}⋅\bm{x}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{q_1(\bm{p}) e^{-i (p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} + q_2(\bm{p}) e^{i (p_0t + \bm{p}⋅\bm{x})}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{q_1(\bm{p}) e^{-i (p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} + q_2(-\bm{p}) e^{i (p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{q_1(\bm{p}) e^{-ipx} + q_2(-\bm{p}) e^{ipx}}. \quad (px ≡ p_μx^μ = p_0t - \bm{p}⋅\bm{x}) \end{aligned}

ここで, $ϕ(x)$ が実スカラー場であることから $ϕ(x) = ϕ^*(x)$ である. 場の展開の複素共役は

\begin{aligned} ϕ^*(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{q_1^*(\bm{p}) e^{ipx} + q_2^*(-\bm{p}) e^{-ipx}} \end{aligned}

であるから, 比較すれば

\begin{aligned} \frac{a(\bm{p})}{\sqrt{2p_0}} ≡ \frac{q_1(\bm{p}) + q_2^*(-\bm{p})}{2}, \quad \frac{a^*(\bm{p})}{\sqrt{2p_0}} ≡ \frac{q_1^*(\bm{p}) + q_2(-\bm{p})}{2} \end{aligned}

とすれば, 実スカラー場 $ϕ(x)$ は $a(\bm{p})$ , $a^*(\bm{p})$ によって以下のように展開できる:

ϕ(x) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}}.

また, 一般化運動量 $π(x) = \.ϕ(x)$ は,

\begin{aligned} π(x) &= \pdv{}{t} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{-ip_0 a(\bm{p}) e^{-ipx} + ip_0 a^*(\bm{p}) e^{ipx}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} (-i) p_0 \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} - a^*(\bm{p}) e^{ipx}}. \end{aligned}

$ϕ(x)$ の展開と比較して,

\begin{aligned} p_0 ϕ(x) + i π(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} 2p_0 a(\bm{p}) e^{-ipx} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \sqrt{2p_0} a(\bm{p}) e^{-ip_0t} e^{i\bm{p}⋅\bm{x}}. \\ \end{aligned}

∴ \sqrt{2p_0} a(\bm{p}) e^{-ip_0t} = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{p_0 ϕ(x) + i π(x)} e^{-i\bm{p}⋅\bm{x}}

したがって $a(\bm{p})$ の表式が得られる:

a(\bm{p}) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{p_0 ϕ(x) + i π(x)} e^{ipx}.

Hamiltonian を $a(\bm{p})$ , $a^*(\bm{p})$ で表記することを考える. $\grad ϕ(x)$ を計算すると,

\begin{aligned} \grad ϕ(x) &= \grad ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} i\bm{p} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} - a^*(\bm{p}) e^{ipx}} \\ \end{aligned}

したがって,

\begin{aligned} H &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \bqty{\frac12 π^2 + \frac12 |\grad ϕ|^2 + \frac12 m^2 ϕ^2} \\ &= \frac12 ∫ \d{{}^3 \bm{x}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p'}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ & \qquad\qquad × \Big[\ \ (- p_0p_0' - \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a (\bm{p}) a (\bm{p}') e^{-i(p+p')x} \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0p_0' + \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a (\bm{p}) a^*(\bm{p}') e^{-i(p-p')x} \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0p_0' + \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a^*(\bm{p}) a (\bm{p}') e^{ i(p-p')x} \\ & \qquad\qquad \quad + (- p_0p_0' - \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a^*(\bm{p}) a^*(\bm{p}') e^{ i(p+p')x} \Big] \\ &= \frac12 \sqrt{(2π)^3} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p'}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ & \qquad\qquad × \Big[\ \ (- p_0p_0' - \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a (\bm{p}) a (\bm{p}') δ^3(\bm{p}+\bm{p}') e^{-i(p_0+p_0')t} \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0p_0' + \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a (\bm{p}) a^*(\bm{p}') δ^3(\bm{p}-\bm{p}') e^{-i(p_0-p_0')t} \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0p_0' + \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a^*(\bm{p}) a (\bm{p}') δ^3(\bm{p}-\bm{p}') e^{ i(p_0-p_0')t} \\ & \qquad\qquad \quad + (- p_0p_0' - \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a^*(\bm{p}) a^*(\bm{p}') δ^3(\bm{p}+\bm{p}') e^{ i(p_0+p_0')t} \Big] \\ &= \frac12 ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{2p_0} \\ & \qquad\qquad × \Big[\ \ (- p_0^2 + |\bm{p}|^2 + m^2) a (\bm{p}) a (-\bm{p}) e^{-2ip_0t} \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0^2 + |\bm{p}|^2 + m^2) a (\bm{p}) a^*( \bm{p}) \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0^2 + |\bm{p}|^2 + m^2) a^*(\bm{p}) a ( \bm{p}) \\ & \qquad\qquad \quad + (- p_0^2 + |\bm{p}|^2 + m^2) a^*(\bm{p}) a^*(-\bm{p}) e^{ 2ip_0t} \Big] \\ & \quad \pqty{\text{$p_0^2 = |\bm{p}|^2 + m^2$ に注意する}} \\ &= \frac12 ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{2p_0} \bqty{2p_0^2 a(\bm{p}) a^*(\bm{p}) + 2p_0^2 a^*(\bm{p}) a(\bm{p})} \\ &= \frac12 ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a(\bm{p}) a^*(\bm{p}) + a^*(\bm{p}) a(\bm{p})} \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}. \end{aligned}

ただし $[a(\bm{p}), a^*(\bm{p})] ≡ a(\bm{p}) a^*(\bm{p}) - a^*(\bm{p}) a(\bm{p})$ とした. 式変形で $a(\bm{p})$ , $a^*(\bm{p})$ の順序を並び換えしていないことに注意. また Hamiltonian は正準エネルギー運動量テンソルの ${T^0}_0$ を全空間で積分したもの

H[ϕ, π] = ∫ \d{{}^3 \bm{x}} {T^0}_0 = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}

であり, 場の全エネルギーである. 同様に, 全運動量は

\bm{P}[ϕ, π] ≡ ∫ \d{{}^3 \bm{x}} ({T^0}_i) = - ∫ \d{{}^3 \bm{x}} π \grad ϕ = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} \bm{p} \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}.

したがって, 4元全運動量ベクトルは

P_μ[ϕ, π] = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_μ \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}.

まとめると,

\begin{aligned} ϕ(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}}, \\ π(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} (-i) p_0 \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} - a^*(\bm{p}) e^{ipx}}, \\ a(\bm{p}) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{p_0 ϕ(x) + i π(x)} e^{ipx}, \\ a^{*}(\bm{p}) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{p_0 ϕ(x) - i π(x)} e^{-ipx}, \\ H[ϕ, π] &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}, \\ P_μ[ϕ, π] &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_μ \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}. \end{aligned}

参考文献

高橋康, 柏太郎『量子場を学ぶための場の解析力学入門増補第2版』 (講談社サイエンティフィク, 2005)
日置善郎『場の量子論 -摂動計算の基礎- (第3版)』 (吉岡書店, 2022)

ここでの「場」は「時空間の各点で値を取る量」という意味である. 厳密には, 場とは底空間 $B$ , 全空間 $E$ の束 $E \xrightarrow{π} B$ に対する切断 $ϕ:B→E$ であるから, ここでの「場」は特別な場合である. ↩

最小作用の原理

Euler–Lagrange の運動方程式

例: 実 Klein-Gordon 場

例: 複素 Klein-Gordon 場

例: de Broglie 場

例: 電磁場

例: Dirac 場

Noether の定理

Hamiltonの運動方程式

例: 実 Klein-Gordon 場

Poisson 括弧

平面波展開

例: 実 Klein-Gordon 場

参考文献

Footnotes