粒子系の古典論ノート
; draft
粒子系1の古典論の基本事項を体系的にまとめる. 自分用のノートなので, 正確性は保証されない2.
最小作用の原理
まず, 粒子系の古典論において, 以下を原理として認める.
時間 t に依存する一般化座標と呼ばれるパラメータ q1(t),…,qD(t) に対して, 作用 action と呼ばれる汎関数 S[qi] が存在し3, 物理現象において座標 qi は作用 S[qi] が最小となるような経路が選ばれる.
言いかえると, 時間 t1 から t2 の運動において, qi(t)↦qi(t)+δqi(t) (ただし両端固定 δqi(t1)=δqi(t2)=0) なる経路の微小変換に対し, 作用が停留値を取る:
δS[qi]≡S[qi+δqi]−S[qi]=0.この古典的原理を最小作用の原理という.
系に対し適当な作用 S[qi], あるいは次節の Lagrangian を決定するのが, 粒子系の古典論の本質と言えるだろう.
例: 自由一次元一粒子系
質量 m の自由一次元一粒子系の作用は
S[q]=2mt2−t1(q(t2)−q(t1))2
である.
例: 調和振動子
質量 m, 角振動数 ω の調和振動子の作用は
S[q]=2sinω(t2−t1)mω[(q(t1)2+q(t2)2)cosω(t2−t1)−2q(t1)q(t2)]
である. 上の例とあわせて, これらが δS[qi]=0 を満たすことは明らかである.
Euler–Lagrange の運動方程式
系の作用を直接求めることは難しく, これから定義する Lagrangian を用いるのが便利である.
作用は, 座標と時間に関する Lagrangian L(qi,q˙i,t) を用いて,
S[qi]=∫t1t2dtL(qi,q˙i,t).と表される.
最小作用の原理に対し, この Lagrangian が満たすべき条件を求めよう. qi↦qi+δqi の変換に対し, 作用の変化 δS[qi]=S[qi+δqi]−S[qi] を計算すると,
δS[qi]====∫t1t2dt[L(qi+δqi,q˙i+dtdδqi,t)−L(qi,q˙i,t)]∫t1t2dt[δqi∂qi∂L+dtdδqi∂q˙i∂L]∫t1t2dt[δqi∂qi∂L−δqidtd(∂q˙i∂L)+dtd(δqi∂q˙i∂L)]∫t1t2dtδqi[∂qi∂L−dtd(∂q˙i∂L)]+[δqi∂q˙i∂L]t=t1t=t2
となる. ここで, 第2項は両端固定の境界条件 δqi(t1)=δqi(t2)=0 より消すことができて,
δS[qi]=∫t1t2dtδqi[∂qi∂L−dtd(∂q˙i∂L)]
となる. δqi(t) は t1<t<t2 で任意だから, 原理 δS[qi]=0 より, 次の運動方程式が得られる.
最小作用の原理を満たすとき, Lagrangian L(qi,q˙i,t) は Euler–Lagrange の運動方程式
∂qi∂L−dtd(∂q˙i∂L)=0を満たす.
これにより, 変分条件 δS[qi]=0 を満たす qi(t) を求める問題は, Euler–Lagrange 方程式という微分方程式を解く問題と等価であることがわかった.
ところで, Lagrangian は一意ではない. Lagrangian L(q,q˙,t) に対し, 位置と時間の関数 f(q,t) の時間に関する完全微分 df(q,t)/dt を加えた量
L˜(q,q˙,t):=L(q,q˙,t)+dtdf(q,t)=L(q,q˙,t)+q˙j∂qj∂f(q,t)+∂t∂f(q,t)
は同じ形の Euler–Lagrange の運動方程式を与える. 実際,
∂qi∂L˜=∂qi∂L+q˙j∂qi∂qj∂2f+∂qi∂t∂2f,dtd(∂q˙i∂L˜)=dtd(∂q˙i∂L+∂qi∂f)=dtd(∂q˙i∂L)+q˙j∂qj∂qi∂2f+∂t∂qi∂2f
であるから, 辺々引いて,
∂qi∂L˜−dtd(∂q˙i∂L˜)=∂qi∂L−dtd(∂q˙i∂L)
となり, L について Euler–Lagrange 方程式が成立するなら, L˜ についても成立する.
例: 一次元一粒子系
一次元一粒子系の Lagrangian は
L(q,q˙,t)=21mq˙2−V(q)
で与えられる. ただし V(q) は系のポテンシャルである. ここで,
∂q∂L=−∂q∂V,dtd(∂q˙∂L)=dtd(mq˙)=mq¨
であるから, Euler–Lagrange の運動方程式は,
mq¨+∂q∂V=0
と求まる. これは Newton の運動方程式として知られており, Lagrangian 決定の任意性を除けば, 最小作用の原理は物理原理として well-defined であることがわかる.
ポテンシャルが無い (V=0) ときの作用の表式を求める. 運動方程式 mq¨=0 を解いて,
q˙(t)=t2−t1q(t2)−q(t1)
が得られる. したがって, 作用は
S[q]=∫t1t2dt2m(t1−t2)2(q(t2)−q(t1))2=2mt2−t1(q(t2)−q(t1))2
と求まる.
例: 調和振動子
調和振動子の Lagrangian は,
L(q,q˙,t)=21mq˙2−21mω2q2.
で与えられる. ここで,
∂q∂L=−mω2q,dtd(∂q˙∂L)=dtd(mq˙)=mq¨
であるから, Euler–Lagrange の運動方程式は
mq¨+mω2q=0
と求まる.
作用の表式を求める. 運動方程式を解いて,
q(t)q˙(t)=sinω(t1−t2)q1sinω(t−t2)−q2sinω(t−t1),=ωsinω(t1−t2)q1cosω(t−t2)−q2cosω(t−t1)
が得られる. ただし, q1≡q(t1), q2≡q(t2) とした. したがって, 作用は,
S[q]=∫t1t2dt2m[{ωsinω(t1−t2)q1cosω(t−t2)−q2cosω(t−t1)}2−ω2{sinω(t1−t2)q1sinω(t−t2)−q2sinω(t−t1)}2]=∫t1t2dt2mω2sin2ω(t2−t1)q12cos2ω(t−t2)+q22cos2ω(t−t1)−2q1q2cos(2t−t1−t2)=2sinω(t2−t1)mω[(q12+q22)cosω(t2−t1)−2q1q2]
と求まる.
Noether の定理
Lagrangian は運動方程式を与えるだけでなく, 系の対称性に関する情報も持っている. 時間と座標の連続変換に対し作用が不変であるとき, 系には対応する不変量が存在することが知られている. この定理は Noether の定理と呼ばれている.
時間の微小変換 t↦t′=t+δt に対し, 座標が qi(t)↦q′i(t′)=qi(t)+δqi(t) と変換されるとする. このとき t1<t<t2 の作用の変化 δS[qi(t)]=S[q′i(t′)]−S[qi(t)] を計算すると,
δS[qi]=∫t1+δt(t1)t2+δt(t2)dt′L(q′i(t′),∂t′q′i(t′),t′)−∫t1t2dtL(qi(t),q˙i(t),t)(dt′=dtdt′dt=(1+δt˙)dt)=∫t1t2dt[(1+δt˙)L(q′i(t′),∂t′q′i(t′),t′)−L(qi(t),q˙i(t),t)](∂t′q′(t′)=dt′dt∂t(qi(t)+δqi(t))=(1−δt˙)(q˙i+δq˙i)=q˙i+δq˙i−q˙iδt˙)=∫t1t2dt[δt˙L+L(qi+δqi,q˙i+δq˙i−q˙iδt˙,t+δt)−L(qi,q˙i,t)]=∫t1t2dt[δt˙L+δqi∂qi∂L+(δq˙i−q˙iδt˙)∂q˙i∂L+δt∂t∂L](Lie 微分 δLqi(t)≡q′i(t)−qi(t)=δqi−q˙iδt)=∫t1t2dt[δt˙L+(δLqi+q˙iδt)∂qi∂L+(∂tδLqi+q¨iδt)∂q˙i∂L+δt∂t∂L]=∫t1t2dt{δLqi[∂qi∂L−dtd(∂q˙i∂L)]+dtd(δLqi∂q˙i∂L+δtL)}=∫t1t2dtδLqi[∂qi∂L−dtd(∂q˙i∂L)]+[δLqi∂q˙i∂L+δtL]t=t1t=t2=∫t1t2dtδLqi[∂qi∂L−dtd(∂q˙i∂L)]+[δqi∂q˙i∂L−δt(q˙i∂q˙i∂L−L)]t=t1t=t2
となる. ここで, 最後の式の第一項は Euler–Lagrange の運動方程式より消え, 第二項の t1, t2 は任意である4. したがって, この変換に対し作用が不変 δS=0 であるとすると, 対応する保存量が得られる.
時間の微小変換 t↦t′=t+δt に対し, 座標が qi(t)↦q′i(t′)=qi(t)+δqi(t) と変換されるとき, 作用が不変であるならば, 量
δQ≡δqipi−δtH≡δqi∂q˙i∂L−δt(∂q˙i∂Lq˙i−L)は保存する(Noether の定理 Noether’s theorem):
dtdδQ=0,(⇔δQ=const.)ここで, 量
pi≡∂q˙i∂L,H≡q˙i∂q˙i∂L−L=q˙ipi−Lはそれぞれ一般化運動量, Hamiltonian と呼ばれる(後述).
例: 空間並進に対する不変量
空間並進 t↦t′=t,qi(t)↦q′i(t′)=qi(t)+εi に対し, 作用が不変であるとき, 一般化運動量は保存する:
δQ=εipi=const.∴pi=const.
例: 時間並進に対する不変量
時間並進 t↦t′=t+ε, qi(t)↦q′i(t′)=qi(t) に対し, 作用が不変であるとき, Hamiltonian は保存する:
δQ=−εH=const.∴H=const.
例: 空間回転に対する不変量
3 次元空間での一粒子を考える. 正規直交座標系 q=x を取り, 空間回転 t↦t′=t, x(t)↦x′(t′)=R(ε)x(t)=x(t)−ε×x(t) に対し, 作用が不変であるとき, 対応する保存量 L は角運動量と呼ばれる:
δQ=(−ε×x)⋅p=−ε⋅(x×p)=const.
∴L≡x×p=const.
TODO: 一般の Galilei 群に対する不変量
Hamilton–Jacobi 方程式
前節で導入された Hamiltonian は, Lagrangian を Legendre 変換したものであり, 系に関して Lagrangian と同程度の情報を持つ. 以降, Hamiltonian の性質について詳しくみていく5.
Lagrangian L が与えられたとき, qi に対して
pi≡∂q˙i∂Lを一般化運動量, または qi に共役な運動量 conjugate momentum といい, 一般化座標とそれに共役な運動量の組 (qi,pi) を正準変数 canonical variables という.
Lagrangian L と正準変数 (qi,pi) が与えられたとき6,
H(qi,pi,t)≡q˙ipi−Lを Hamiltonian という.
一般化運動量と Hamiltonian は作用を端点で偏微分して
pi(t)=∂qi(t)∂S,H(qi,pi,t)=−∂t∂S
と得ることもできる. ただし作用は S[qi]=∫t0tdt′L(qi,q˙i,t′) で与えられている. 実際, Norther の定理と同じ状況での変分は
δS[qi]=[δqipi−δtH]t′=t0t′=t
である. このときの始点での変位を δt(t0)=δqi(t0)=0 とすれば,
δS[qi]=δqipi−δtH
となる. この変分は経路の始点と途中 t′∈[t0,t) によらない形になっているから, 一点 t での変位から求めたい全微分
dS=dqipi−dtH
が得られる.
TODO: この議論は正確か?
これらの性質を組み合わせることで以下の方程式が得られる.
最小作用の原理を満たす作用 S[qi]=∫t0tdt′L(qi,q˙i,t′) に対し, 作用の端点 t, q(t) での偏微分は Hamilton–Jacobi 方程式 Hamilton–Jacobi equation
H(qi(t),∂qi(t)∂S,t)+∂t∂S=0を満たす.
Hamilton の運動方程式
Lagrangian の場合と同様に, 最小作用の原理に対し Hamiltonian が満たす条件を求めよう. Hamiltonian H(qi,pi,t)≡q˙ipi−L の全微分は,
dH=q˙idpi+pidq˙i−dL=q˙idpi+pidq˙i−∂qi∂Ldqi−pidq˙i−∂t∂Ldt(∵dL=∂qi∂Ldqi+∂q˙i∂Ldq˙i+∂t∂Ldt)=−∂qi∂Ldqi+q˙idpi−∂t∂Ldt
である. ここで, Euler-Lagrangian 方程式が成立するとき p˙i=∂L/∂qi であることを用いると, Hamiltonian に関する運動方程式が得られる.
最小作用の原理を満たすとき, Hamiltonian は以下の Hamilton の運動方程式あるいは正準方程式 canonical equation
p˙i=−∂qi∂H,q˙i=∂pi∂Hを満たす.
Lagrangian が時間に陽に依存しないとき, Hamiltonian
∂t∂H=−∂t∂L=0
は保存する. 時間並進に対して作用が不変であるから, 前述の Noether の定理の結果とも一致する.
qi(t) と pi(t) を独立にした作用
S[qi,pi]=∫t1t2dt[q˙i(t)pi(t)−H(qi(t),pi(t),t)]
も用いられる. このときの最小作用の原理は
δS[qi,pi]=S[qi+δqi,pi+δpi]−S[qi,pi]=0
で表される.
例: 一次元一粒子系
一次元一粒子系の Lagrangian は,
L(q,q˙,t)=21mq˙2−V(q)
であった. 一般化運動量の定義より,
p=∂q˙∂L=mq˙
である. したがって q˙=p/m であるから, Hamiltonian の定義より,
H(q,p,t)=mpp−L(q,mp,t)=2mp2+V(q)
と求まる. ここで,
∂q∂H=dqdV,∂p∂H=mp
であるから, Hamilton の運動方程式は,
p˙=−dqdV,q˙=mp
と得られる.
例: 調和振動子
調和振動子の Lagrangian は,
L(q,q˙,t)=21mq˙2−21mω2q2
であった. 一般化運動量の定義より,
p=∂q˙∂L=mq˙
である. したがって q˙=p/m であるから, Hamiltonian の定義より,
H(q,p,t)=mpp−L(q,mp,t)=2mp2+21mω2q2
と求まる. ここで,
∂q∂H=mω2q,∂p∂H=mp
であるから, Hamilton の運動方程式は,
p˙=−mω2q,q˙=mp
と得られる.
正準変換
正準変数の変換 (qi,pi)↦(q′j,pj′)=(q′j(qi,pi),pj′(qi,pi)) に対して Hamiltonian が H(qi,pi,t)↦H′(q′j,pj′,t) と変換されるとき, この正準変数の変換を正準変換 canonical transformation という. いずれの表示でも最小作用の原理を満たすとき, Hamiltonian の定義から,
δS[qi,pi]=δ∫dt(q˙ipi−H)=0,δS′[q′i,pi′]=δ∫dt(q˙′ipi′−H′)=0.
したがって, ある関数 W が存在して,
(q˙ipi−H)−(q˙′ipi′−H′)=dtdW.∴dW=pidqi−pi′dq′i−(H−H′)dt.
または, 両辺に d(q′ipi′)/dt を足して,
(q˙ipi−H)−(−q′ip˙i′−H′)=dtd(W+q′ipi′)=:dtdW′.∴dW′=pidqi+q′idpi′−(H−H′)dt.
これら W(qi,q′i,t), W′(qi,pi′,t) をどちらも母関数といい, 以下を満たす.
pi=∂qi∂W,pi′=−∂q′i∂W,H′=H+∂t∂W,pi=∂qi∂W′,q′i=∂pi′∂W′,H′=H+∂t∂W′.
Poisson 括弧
正準変数 (qi,pi) に対し, Poisson 括弧 Poisson braket は以下で定義される演算である:
{A,B}P≡∂qi∂A∂pi∂B−∂qi∂B∂pi∂A.
正準変数自身は以下を満たす:
{qi,pj}P=δji,{qi,qj}P={pi,pj}P=0.
また, Hamilton の運動方程式は以下のように書き換えられる:
dtdqi={qi,H}P,dtdpi={pi,H}P.
より一般に, 正準変数と時間に関する物理量 A(qi,pi,t) について, 時間微分に関して以下が成立する:
dtdA={A,H}P+∂t∂A.
実際, A の時間による完全微分は,
dtdA=∂qi∂Aq˙i+∂pi∂Ap˙i+∂t∂A=∂qi∂A∂pi∂H−∂pi∂A∂qi∂H+∂t∂A={A,H}P+∂t∂A.
この式は, 物理量 A の全時間発展が Hamiltonian H によって記述されることを意味している.
また, Poisson 括弧は以下の性質を満たす:
- 双線型性: {aX+bY,Z}P=a{X,Z}P+b{Y,Z}P, {X,aY+bZ}P=a{X,Y}P+b{X,Z}P,
- 交代性: {X,Y}P=−{Y,X}P,
- Jacobi 律: {X,{Y,Z}P}P+{Y,{Z,X}P}P+{Z,{X,Y}P}P=0.
したがって, Poisson 括弧は Lie 代数の括弧積である.
Hamilton 形式での Noether の定理
Hamilton 形式での作用
S[qi,pi]=∫t1t2dt[q˙i(t)pi(t)−H(qi(t),pi(t),t)]
に対し, Noether の定理を求めてみよう. Lagrange 形式で求めたのと同じ保存量が得られることが期待される.
時間の微小変換 t↦t′=t+δt に対し, 座標が qi(t)↦q′i(t′)=qi(t)+δqi(t), 運動量が pi(t)↦pi′(t′)=pi(t)+δpi(t) と変換されるとする. このとき t1<t<t2 の作用の変化 δS[qi(t),pi(t)]=S[q′i(t′),pi′(t′)]−S[qi(t)pi(t)] を計算すると,
δS[qi,pi]=∫t1+δt(t1)t2+δt(t2)dt′[∂t′q′i(t′)pi′(t′)−H(q′i(t′),pi′(t′),t′)]−∫t1t2dt[q˙i(t)pi(t)−H(qi(t),pi(t),t)](dt′=dtdt′dt=(1+δt˙)dt)=∫t1t2dt{(1+δt˙)[∂t′q′i(t′)pi′(t′)−H(q′i(t′),pi′(t′),t′)]−[q˙i(t)pi(t)−H(qi(t),pi(t),t)]}(∂t′q′(t′)=q˙i+δq˙i−q˙iδt˙)=∫t1t2dt{(1+δt˙)[(q˙i+δq˙i−q˙iδt˙)pi′(t′)−H(q′i(t′),pi′(t′),t′)]−[q˙i(t)pi(t)−H(qi(t),pi(t),t)]}=∫t1t2dt{dtd(δqipi)−δqip˙i+q˙iδpi−δqi∂qi∂H−δpi∂pi∂H−δt∂t∂H−δt˙H}(Lie 微分 δLqi(t)=δqi−q˙iδt, δLpi(t)=δpi−p˙iδt)=∫t1t2dt{dtd(δqipi)−δLqip˙i+q˙iδLpi−(δLqi+q˙iδt)∂qi∂H−(δLpi+p˙iδt)∂pi∂H−δt∂t∂H−δt˙H}=∫t1t2dt[δLpi(q˙i−∂pi∂H)−δLqi(p˙i+∂qi∂H)+dtd(δqipi−δtH)]=∫t1t2dt[δLpi(q˙i−∂pi∂H)−δLqi(p˙i+∂qi∂H)]+[δqipi−δtH]t=t1t=t2
となる. ここで, 最後の式の第一項は Hamilton の運動方程式より消え, 第二項の t1, t2 は任意である. したがって, この変換に対し作用が不変 δS=0 であるとすると, 対応する保存量
δQ≡δqipi−δtH
が得られる. これは Lagrange 形式で求めたものと同じである.
TODO: δpi が陽に含まれないのはなぜか
参考文献
- ランダウ, L., リフシッツ, E. 『力学』 (広重 徹, 水戸 巌訳, 東京図書, 2008)
- 井田大輔 『現代解析力学入門』 (朝倉書店, 2020)
- 高橋 康, 柏 太郎 『量子場を学ぶための場の解析力学入門 増補第2版』 (講談社サイエンティフィク, 2005)
- 柏 太郎 『新版 演習 場の量子論』 (サイエンス社, 2006)