粒子系の古典論ノート

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粒子系1の古典論の基本事項を体系的にまとめる. 自分用のノートなので, 正確性は保証されない2.

最小作用の原理

まず, 粒子系の古典論において, 以下を原理として認める.

時間 tt に依存する一般化座標と呼ばれるパラメータ q1(t),…,qD(t)q^1(t),…,q^D(t) に対して, 作用 action と呼ばれる汎関数 S[qi]S[q^i] が存在し3, 物理現象において座標 qiq^i は作用 S[qi]S[q^i] が最小となるような経路が選ばれる.

言いかえると, 時間 t1t_1 から t2t_2 の運動において, qi(t)↦qi(t)+δqi(t)q^i(t) ↦ q^i(t) + δq^i(t) (ただし両端固定 δqi(t1)=δqi(t2)=0δq^i(t_1)=δq^i(t_2)=0) なる経路の微小変換に対し, 作用が停留値を取る:

δS[qi]≡S[qi+δqi]−S[qi]=0.δS[q^i] ≡ S[q^i + δq^i] - S[q^i] = 0.

この古典的原理を最小作用の原理という.

系に対し適当な作用 S[qi]S[q^i], あるいは次節の Lagrangian を決定するのが, 粒子系の古典論の本質と言えるだろう.

例: 自由一次元一粒子系

質量 mm の自由一次元一粒子系の作用は

S[q]=m2(q(t2)−q(t1))2t2−t1S[q] = \frac{m}{2} \frac{(q(t_2)-q(t_1))^2}{t_2-t_1}

である.

例: 調和振動子

質量 mm, 角振動数 ωω の調和振動子の作用は

S[q]=mω2sin⁡ω(t2−t1)[(q(t1)2+q(t2)2)cos⁡ω(t2−t1)−2q(t1)q(t2)]S[q] = \frac{mω}{2 \sin ω(t_2-t_1)} \bqty{(q(t_1)^2+q(t_2)^2) \cos ω(t_2-t_1) - 2q(t_1)q(t_2)}

である. 上の例とあわせて, これらが δS[qi]=0δS[q^i] = 0 を満たすことは明らかである.

Euler–Lagrange の運動方程式

系の作用を直接求めることは難しく, これから定義する Lagrangian を用いるのが便利である.

作用は, 座標と時間に関する Lagrangian L(qi,q˙i,t)L(q^i, \.q^i, t) を用いて,

S[qi]=∫t1t2dtL(qi,q˙i,t).S[q^i] = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} L(q^i, \.q^i, t).

と表される.

最小作用の原理に対し, この Lagrangian が満たすべき条件を求めよう. qi↦qi+δqiq^i ↦ q^i + δq^i の変換に対し, 作用の変化 δS[qi]=S[qi+δqi]−S[qi]δS[q^i]=S[q^i+δq^i]-S[q^i] を計算すると,

δS[qi]=∫t1t2dt[L(qi+δqi,q˙i+dδqidt,t)−L(qi,q˙i,t)]=∫t1t2dt[δqi∂L∂qi+dδqidt∂L∂q˙i]=∫t1t2dt[δqi∂L∂qi−δqiddt(∂L∂q˙i)+ddt(δqi∂L∂q˙i)]=∫t1t2dtδqi[∂L∂qi−ddt(∂L∂q˙i)]+[δqi∂L∂q˙i]t=t1t=t2\begin{aligned} δS[q^i] =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ L\pqty{q^i + δq^i, \.q^i + \dv{δq^i}{t}, t} - L(q^i, \.q^i, t) } \\ =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ δq^i \pdv{L}{q^i} + \dv{δq^i}{t} \pdv{L}{\.q^i} } \\ =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ δq^i \pdv{L}{q^i} - δq^i \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} + \dv{}{t} \pqty{ δq^i \pdv{L}{\.q^i} } } \\ =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δq^i \bqty{ \pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} } + \bqty{ δq^i \pdv{L}{\.q^i}}_{t=t_1}^{t=t_2} \end{aligned}

となる. ここで, 第2項は両端固定の境界条件 δqi(t1)=δqi(t2)=0δq^i(t_1)=δq^i(t_2)=0 より消すことができて,

δS[qi]=∫t1t2dtδqi[∂L∂qi−ddt(∂L∂q˙i)]δS[q^i] = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δq^i \bqty{ \pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} }

となる. δqi(t)δq^i(t) は t1<t<t2t_1<t<t_2 で任意だから, 原理 δS[qi]=0δS[q^i] = 0 より, 次の運動方程式が得られる.

最小作用の原理を満たすとき, Lagrangian L(qi,q˙i,t)L(q^i,\.q^i,t) は Euler–Lagrange の運動方程式

∂L∂qi−ddt(∂L∂q˙i)=0\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} = 0

を満たす.

これにより, 変分条件 δS[qi]=0δS[q^i]=0 を満たす qi(t)q^i(t) を求める問題は, Euler–Lagrange 方程式という微分方程式を解く問題と等価であることがわかった.

ところで, Lagrangian は一意ではない. Lagrangian L(q,q˙,t)L(q,\.q,t) に対し, 位置と時間の関数 f(q,t)f(q,t) の時間に関する完全微分 df(q,t)/dt\d{f(q,t)}/\d{t} を加えた量

L˜(q,q˙,t):=L(q,q˙,t)+df(q,t)dt=L(q,q˙,t)+q˙j∂f(q,t)∂qj+∂f(q,t)∂t\begin{aligned} \~L(q,\.q,t) &:= L(q,\.q,t) + \dv{f(q,t)}{t} \\ &= L(q,\.q,t) + \.q^j \pdv{f(q,t)}{q^j} + \pdv{f(q,t)}{t} \end{aligned}

は同じ形の Euler–Lagrange の運動方程式を与える. 実際,

∂L˜∂qi=∂L∂qi+q˙j∂2f∂qi∂qj+∂2f∂qi∂t,ddt(∂L˜∂q˙i)=ddt(∂L∂q˙i+∂f∂qi)=ddt(∂L∂q˙i)+q˙j∂2f∂qj∂qi+∂2f∂t∂qi\begin{gathered} \pdv{\~L}{q^i} = \pdv{L}{q^i} + \.q^j \frac{∂^2f}{∂q^i∂q^j} + \frac{∂^2f}{∂q^i∂t}, \\ \dv{}{t} \pqty{\pdv{\~L}{\.q^i}} = \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i} + \pdv{f}{q^i}} = \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} + \.q^j \frac{∂^2f}{∂q^j∂q^i} + \frac{∂^2f}{∂t∂q^i} \end{gathered}

であるから, 辺々引いて,

∂L˜∂qi−ddt(∂L˜∂q˙i)=∂L∂qi−ddt(∂L∂q˙i)\pdv{\~L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{\~L}{\.q^i}} = \pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}

となり, LL について Euler–Lagrange 方程式が成立するなら, L˜\~L についても成立する.

例: 一次元一粒子系

一次元一粒子系の Lagrangian は

L(q,q˙,t)=12mq˙2−V(q)L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - V(q)

で与えられる. ただし V(q)V(q) は系のポテンシャルである. ここで,

∂L∂q=−∂V∂q,ddt(∂L∂q˙)=ddt(mq˙)=mq¨\pdv{L}{q} = - \pdv{V}{q}, \quad \dv{}{t}\pqty{\pdv{L}{\.q}} = \dv{}{t} (m \.q) = m \"q

であるから, Euler–Lagrange の運動方程式は,

mq¨+∂V∂q=0m\"q + \pdv{V}{q} = 0

と求まる. これは Newton の運動方程式として知られており, Lagrangian 決定の任意性を除けば, 最小作用の原理は物理原理として well-defined であることがわかる.

ポテンシャルが無い (V=0V=0) ときの作用の表式を求める. 運動方程式 mq¨=0m\"q = 0 を解いて,

q˙(t)=q(t2)−q(t1)t2−t1\.q(t) = \frac{q(t_2)-q(t_1)}{t_2-t_1}

が得られる. したがって, 作用は

S[q]=∫t1t2dtm2(q(t2)−q(t1))2(t1−t2)2=m2(q(t2)−q(t1))2t2−t1S[q] = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \frac{m}{2} \frac{(q(t_2)-q(t_1))^2}{(t_1-t_2)^2} = \frac{m}{2} \frac{(q(t_2)-q(t_1))^2}{t_2-t_1}

と求まる.

例: 調和振動子

調和振動子の Lagrangian は,

L(q,q˙,t)=12mq˙2−12mω2q2.L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - \frac12 m ω^2 q^2.

で与えられる. ここで,

∂L∂q=−mω2q,ddt(∂L∂q˙)=ddt(mq˙)=mq¨\pdv{L}{q} = - m ω^2 q, \quad \dv{}{t}\pqty{\pdv{L}{\.q}} = \dv{}{t} (m \.q) = m \"q

であるから, Euler–Lagrange の運動方程式は

mq¨+mω2q=0m\"q + m ω^2 q = 0

と求まる.

作用の表式を求める. 運動方程式を解いて,

q(t)=q1sin⁡ω(t−t2)−q2sin⁡ω(t−t1)sin⁡ω(t1−t2),q˙(t)=ωq1cos⁡ω(t−t2)−q2cos⁡ω(t−t1)sin⁡ω(t1−t2)\begin{aligned} q(t) &= \frac{q_1 \sin ω(t-t_2) - q_2 \sin ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}, \\ \.q(t) &= ω \frac{q_1 \cos ω(t-t_2) - q_2 \cos ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)} \\ \end{aligned}

が得られる. ただし, q1≡q(t1)q_1 ≡ q(t_1), q2≡q(t2)q_2 ≡ q(t_2) とした. したがって, 作用は,

S[q]=∫t1t2dtm2[{ωq1cos⁡ω(t−t2)−q2cos⁡ω(t−t1)sin⁡ω(t1−t2)}2−ω2{q1sin⁡ω(t−t2)−q2sin⁡ω(t−t1)sin⁡ω(t1−t2)}2]=∫t1t2dtmω22q12cos⁡2ω(t−t2)+q22cos⁡2ω(t−t1)−2q1q2cos⁡(2t−t1−t2)sin⁡2ω(t2−t1)=mω2sin⁡ω(t2−t1)[(q12+q22)cos⁡ω(t2−t1)−2q1q2]\begin{aligned} S[q] &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \frac{m}{2} \bqty{\qty{ω \frac{q_1 \cos ω(t-t_2) - q_2 \cos ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}}^2 - ω^2 \qty{\frac{q_1 \sin ω(t-t_2) - q_2 \sin ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}}^2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \frac{mω^2}{2} \frac{q_1^2 \cos 2ω(t-t_2) + q_2^2 \cos 2ω(t-t_1) - 2q_1q_2\cos(2t-t_1-t_2)}{\sin^2 ω(t_2-t_1)} \\ &= \frac{mω}{2 \sin ω(t_2-t_1)} \bqty{(q_1^2+q_2^2) \cos ω(t_2-t_1) - 2q_1q_2} \\ \end{aligned}

と求まる.

Noether の定理

Lagrangian は運動方程式を与えるだけでなく, 系の対称性に関する情報も持っている. 時間と座標の連続変換に対し作用が不変であるとき, 系には対応する不変量が存在することが知られている. この定理は Noether の定理と呼ばれている.

時間の微小変換 t↦t′=t+δtt↦t'=t+δt に対し, 座標が qi(t)↦q′i(t′)=qi(t)+δqi(t)q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+δq^i(t) と変換されるとする. このとき t1<t<t2t_1<t<t_2 の作用の変化 δS[qi(t)]=S[q′i(t′)]−S[qi(t)]δS[q^i(t)]=S[q'^i(t')]-S[q^i(t)] を計算すると,

δS[qi]=∫t1+δt(t1)t2+δt(t2)dt′L(q′i(t′),∂t′q′i(t′),t′)−∫t1t2dtL(qi(t),q˙i(t),t)(dt′=dt′dtdt=(1+δt˙)dt)=∫t1t2dt[(1+δt˙)L(q′i(t′),∂t′q′i(t′),t′)−L(qi(t),q˙i(t),t)](∂t′q′(t′)=dtdt′∂t(qi(t)+δqi(t))=(1−δt˙)(q˙i+δq˙i)=q˙i+δq˙i−q˙iδt˙)=∫t1t2dt[δt˙L+L(qi+δqi,q˙i+δq˙i−q˙iδt˙,t+δt)−L(qi,q˙i,t)]=∫t1t2dt[δt˙L+δqi∂L∂qi+(δq˙i−q˙iδt˙)∂L∂q˙i+δt∂L∂t](Lie 微分 δLqi(t)≡q′i(t)−qi(t)=δqi−q˙iδt)=∫t1t2dt[δt˙L+(δLqi+q˙iδt)∂L∂qi+(∂tδLqi+q¨iδt)∂L∂q˙i+δt∂L∂t]=∫t1t2dt{δLqi[∂L∂qi−ddt(∂L∂q˙i)]+ddt(δLqi∂L∂q˙i+δtL)}=∫t1t2dtδLqi[∂L∂qi−ddt(∂L∂q˙i)]+[δLqi∂L∂q˙i+δtL]t=t1t=t2=∫t1t2dtδLqi[∂L∂qi−ddt(∂L∂q˙i)]+[δqi∂L∂q˙i−δt(q˙i∂L∂q˙i−L)]t=t1t=t2\begin{aligned} δS[q^i] &= ∫_{t_1+δt(t_1)}^{t_2+δt(t_2)} \d{t'} L(q'^i(t'),∂'_tq'^i(t'),t') - ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} L(q^i(t),\.q^i(t),t) \\ & \quad \pqty{\d{t'} = \dv{t'}{t} \d{t} = (1+δ\.t) \d{t}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \Big[ (1+δ\.t) L(q'^i(t'),∂'_tq'^i(t'),t') - L(q^i(t),\.q^i(t),t) \Big] \\ & \quad \pqty{ ∂'_tq'(t') = \dv{t}{t'} ∂_t (q^i(t)+δq^i(t)) = (1-δ\.t)(\.q^i+δ\.q^i) = \.q^i+δ\.q^i-\.q^iδ\.t } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \Big[ δ\.t L + L(q^i+δq^i,\.q^i+δ\.q^i-\.q^iδ\.t,t+δt) - L(q^i,\.q^i,t) \Big] \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{δ\.t L + δq^i \pdv{L}{q^i} + (δ\.q^i-\.q^iδ\.t) \pdv{L}{\.q^i} + δt \pdv{L}{t}} \\ & \quad \pqty{\text{Lie 微分 $δ^Lq^i(t) ≡ q'^i(t) - q^i(t) = δq^i - \.q^i δt$}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{δ\.t L + (δ^Lq^i + \.q^i δt) \pdv{L}{q^i} + (∂_tδ^Lq^i + \"q^i δt) \pdv{L}{\.q^i} + δt \pdv{L}{t}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \qty{ δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + \dv{}{t} \pqty{δ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i} + δt L} } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + \bqty{δ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i} + δt L}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + \bqty{δq^i \pdv{L}{\.q^i} - δt \pqty{\.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L}}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ \end{aligned}

となる. ここで, 最後の式の第一項は Euler–Lagrange の運動方程式より消え, 第二項の t1t_1, t2t_2 は任意である4. したがって, この変換に対し作用が不変 δS=0δS=0 であるとすると, 対応する保存量が得られる.

時間の微小変換 t↦t′=t+δtt↦t'=t+δt に対し, 座標が qi(t)↦q′i(t′)=qi(t)+δqi(t)q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+δq^i(t) と変換されるとき, 作用が不変であるならば, 量

δQ≡δqipi−δtH≡δqi∂L∂q˙i−δt(∂L∂q˙iq˙i−L)δQ ≡ δq^i p_i - δt H ≡ δq^i \pdv{L}{\.q^i} - δt \pqty{\pdv{L}{\.q^i} \.q^i - L}

は保存する(Noether の定理 Noether’s theorem):

dδQdt=0,(⇔δQ=const.)\dv{δQ}{t} = 0, \quad (⇔ δQ = \mathrm{const.})

ここで, 量

pi≡∂L∂q˙i,H≡q˙i∂L∂q˙i−L=q˙ipi−Lp_i ≡ \pdv{L}{\.q^i}, \quad H ≡ \.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L = \.q^i p_i - L

はそれぞれ一般化運動量, Hamiltonian と呼ばれる(後述).

例: 空間並進に対する不変量

空間並進 t↦t′=t,qi(t)↦q′i(t′)=qi(t)+εit↦t'=t, q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+ε^i に対し, 作用が不変であるとき, 一般化運動量は保存する:

δQ=εipi=const.∴pi=const.δQ = ε^i p_i = \mathrm{const.} \quad ∴ p_i = \mathrm{const.}

例: 時間並進に対する不変量

時間並進 t↦t′=t+εt↦t'=t+ε, qi(t)↦q′i(t′)=qi(t)q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t) に対し, 作用が不変であるとき, Hamiltonian は保存する:

δQ=−εH=const.∴H=const.δQ = - ε H = \mathrm{const.} \quad ∴ H = \mathrm{const.}

例: 空間回転に対する不変量

3 次元空間での一粒子を考える. 正規直交座標系 q=xq=\bm{x} を取り, 空間回転 t↦t′=tt↦t'=t, x(t)↦x′(t′)=R(ε)x(t)=x(t)−ε×x(t)\bm{x}(t) ↦ \bm{x}'(t') = R(\bm{ε}) \bm{x}(t) = \bm{x}(t) - \bm{ε} × \bm{x}(t) に対し, 作用が不変であるとき, 対応する保存量 L\bm{L} は角運動量と呼ばれる:

δQ=(−ε×x)⋅p=−ε⋅(x×p)=const.δQ = (- \bm{ε} × \bm{x}) ⋅ \bm{p} = - \bm{ε} ⋅ \pqty{\bm{x} × \bm{p}} = \mathrm{const.} ∴L≡x×p=const.∴ \bm{L} ≡ \bm{x} × \bm{p} = \mathrm{const.}

TODO: 一般の Galilei 群に対する不変量

Hamilton–Jacobi 方程式

前節で導入された Hamiltonian は, Lagrangian を Legendre 変換したものであり, 系に関して Lagrangian と同程度の情報を持つ. 以降, Hamiltonian の性質について詳しくみていく5.

Lagrangian LL が与えられたとき, qiq^i に対して

pi≡∂L∂q˙ip_i ≡ \pdv{L}{\.q^i}

を一般化運動量, または qiq^i に共役な運動量 conjugate momentum といい, 一般化座標とそれに共役な運動量の組 (qi,pi)(q^i, p_i) を正準変数 canonical variables という.

Lagrangian LL と正準変数 (qi,pi)(q^i, p_i) が与えられたとき6,

H(qi,pi,t)≡q˙ipi−LH(q^i, p_i, t) ≡ \.q^i p_i - L

を Hamiltonian という.

一般化運動量と Hamiltonian は作用を端点で偏微分して

pi(t)=∂S∂qi(t),H(qi,pi,t)=−∂S∂tp_i(t) = \pdv{S}{q^i(t)}, \quad H(q^i,p_i,t) = - \pdv{S}{t}

と得ることもできる. ただし作用は S[qi]=∫t0tdt′L(qi,q˙i,t′)S[q^i]=∫_{t_0}^{t} \d{t'} L(q^i,\.q^i,t') で与えられている. 実際, Norther の定理と同じ状況での変分は

δS[qi]=[δqipi−δtH]t′=t0t′=tδS[q^i] = \bqty{δq^i p_i - δt H}_{t'=t_0}^{t'=t}

である. このときの始点での変位を δt(t0)=δqi(t0)=0δt(t_0)=δq^i(t_0)=0 とすれば,

δS[qi]=δqipi−δtHδS[q^i] = δq^i p_i - δt H

となる. この変分は経路の始点と途中 t′∈[t0,t)t'∈[t_0,t) によらない形になっているから, 一点 tt での変位から求めたい全微分

dS=dqipi−dtH\d{S} = \d{q^i} p_i - \d{t} H

が得られる. TODO: この議論は正確か?

これらの性質を組み合わせることで以下の方程式が得られる.

最小作用の原理を満たす作用 S[qi]=∫t0tdt′L(qi,q˙i,t′)S[q^i] = ∫_{t_0}^t \d{t'} L(q^i,\.q^i,t') に対し, 作用の端点 tt, q(t)q(t) での偏微分は Hamilton–Jacobi 方程式 Hamilton–Jacobi equation

H(qi(t),∂S∂qi(t),t)+∂S∂t=0H\pqty{q^i(t),\pdv{S}{q^i(t)},t}+\pdv{S}{t}=0

を満たす.

Hamilton の運動方程式

Lagrangian の場合と同様に, 最小作用の原理に対し Hamiltonian が満たす条件を求めよう. Hamiltonian H(qi,pi,t)≡q˙ipi−LH(q^i, p_i, t) ≡ \.q^i p_i - L の全微分は,

dH=q˙idpi+pidq˙i−dL=q˙idpi+pidq˙i−∂L∂qidqi−pidq˙i−∂L∂tdt(∵dL=∂L∂qidqi+∂L∂q˙idq˙i+∂L∂tdt)=−∂L∂qidqi+q˙idpi−∂L∂tdt\begin{aligned} \d{H} &= \.q^i \d{p_i} + p_i \d{\.q^i} - \d{L} \\ &= \.q^i \d{p_i} + p_i \d{\.q^i} - \pdv{L}{q^i} \d{q^i} - p_i \d{\.q^i} - \pdv{L}{t} \d{t} \\ & \quad \pqty{∵ \d{L} = \pdv{L}{q^i} \d{q^i} + \pdv{L}{\.q^i} \d{\.q^i} + \pdv{L}{t} \d{t}} \\ &= - \pdv{L}{q^i} \d{q^i} + \.q^i \d{p_i} - \pdv{L}{t} \d{t} \end{aligned}

である. ここで, Euler-Lagrangian 方程式が成立するとき p˙i=∂L/∂qi\.p_i = ∂L / ∂q^i であることを用いると, Hamiltonian に関する運動方程式が得られる.

最小作用の原理を満たすとき, Hamiltonian は以下の Hamilton の運動方程式あるいは正準方程式 canonical equation

p˙i=−∂H∂qi,q˙i=∂H∂pi\.p_i = - \pdv{H}{q^i}, \quad \.q^i = \pdv{H}{p_i}

を満たす.

Lagrangian が時間に陽に依存しないとき, Hamiltonian

∂H∂t=−∂L∂t=0\pdv{H}{t} = -\pdv{L}{t} = 0

は保存する. 時間並進に対して作用が不変であるから, 前述の Noether の定理の結果とも一致する.

qi(t)q^i(t) と pi(t)p_i(t) を独立にした作用

S[qi,pi]=∫t1t2dt[q˙i(t)pi(t)−H(qi(t),pi(t),t)]S[q^i, p_i] = ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{\.q^i(t) p_i(t) - H\pqty{q^i(t),p_i(t),t}}

も用いられる. このときの最小作用の原理は

δS[qi,pi]=S[qi+δqi,pi+δpi]−S[qi,pi]=0δS[q^i, p_i] = S[q^i+δq^i, p_i+δp_i] - S[q^i, p_i] = 0

で表される.

例: 一次元一粒子系

一次元一粒子系の Lagrangian は,

L(q,q˙,t)=12mq˙2−V(q)L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - V(q)

であった. 一般化運動量の定義より,

p=∂L∂q˙=mq˙p = \pdv{L}{\.q} = m \.q

である. したがって q˙=p/m\.q = p / m であるから, Hamiltonian の定義より,

H(q,p,t)=pmp−L(q,pm,t)=p22m+V(q)H(q, p, t) = \frac{p}{m} p - L\pqty{q, \frac{p}{m}, t} = \frac{p^2}{2m} + V(q)

と求まる. ここで,

∂H∂q=dVdq,∂H∂p=pm\pdv{H}{q} = \dv{V}{q}, \quad \pdv{H}{p} = \frac{p}{m}

であるから, Hamilton の運動方程式は,

p˙=−dVdq,q˙=pm\.p = - \dv{V}{q}, \quad \.q = \frac{p}{m}

と得られる.

例: 調和振動子

調和振動子の Lagrangian は,

L(q,q˙,t)=12mq˙2−12mω2q2L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - \frac12 m ω^2 q^2

であった. 一般化運動量の定義より,

p=∂L∂q˙=mq˙p = \pdv{L}{\.q} = m \.q

である. したがって q˙=p/m\.q = p / m であるから, Hamiltonian の定義より,

H(q,p,t)=pmp−L(q,pm,t)=p22m+12mω2q2H(q, p, t) = \frac{p}{m} p - L\pqty{q, \frac{p}{m}, t} = \frac{p^2}{2m} + \frac12 m ω^2 q^2

と求まる. ここで,

∂H∂q=mω2q,∂H∂p=pm\pdv{H}{q} = m ω^2 q, \quad \pdv{H}{p} = \frac{p}{m}

であるから, Hamilton の運動方程式は,

p˙=−mω2q,q˙=pm\.p = - m ω^2 q, \quad \.q = \frac{p}{m}

と得られる.

正準変換

正準変数の変換 (qi,pi)↦(q′j,pj′)=(q′j(qi,pi),pj′(qi,pi))(q^i, p_i) ↦ (q'^j, p'_j) = (q'^j(q^i, p_i), p'_j(q^i, p_i)) に対して Hamiltonian が H(qi,pi,t)↦H′(q′j,pj′,t)H(q^i,p_i,t) ↦ H'(q'^j,p'_j,t) と変換されるとき, この正準変数の変換を正準変換 canonical transformation という. いずれの表示でも最小作用の原理を満たすとき, Hamiltonian の定義から,

δS[qi,pi]=δ∫dt(q˙ipi−H)=0,δS′[q′i,pi′]=δ∫dt(q˙′ipi′−H′)=0.\begin{gathered} δS[q^i,p_i] = δ∫\d{t} (\.q^i p_i - H) = 0, \\ δS'[q'^i,p'_i] = δ∫\d{t} (\.q'^i p'_i - H') = 0. \end{gathered}

したがって, ある関数 WW が存在して,

(q˙ipi−H)−(q˙′ipi′−H′)=dWdt.∴dW=pidqi−pi′dq′i−(H−H′)dt.\begin{gathered} (\.q^i p_i - H) - (\.q'^i p'_i - H') = \dv{W}{t}. \\ ∴\d{W} = p_i \d{q^i} - p'_i \d{q'^i} - (H - H') \d{t}. \end{gathered}

または, 両辺に d(q′ipi′)/dt\d{(q'^i p'_i)}/\d{t} を足して,

(q˙ipi−H)−(−q′ip˙i′−H′)=ddt(W+q′ipi′)=:dW′dt.∴dW′=pidqi+q′idpi′−(H−H′)dt.\begin{gathered} (\.q^i p_i - H) - (- q'^i \.p'_i - H') = \dv{}{t} \pqty{W + q'^i p'_i} =: \dv{W'}{t}. \\ ∴\d{W'} = p_i \d{q^i} + q'^i \d{p'_i} - (H - H') \d{t}. \end{gathered}

これら W(qi,q′i,t)W(q^i, q'^i, t), W′(qi,pi′,t)W'(q^i, p'_i, t) をどちらも母関数といい, 以下を満たす.

pi=∂W∂qi,pi′=−∂W∂q′i,H′=H+∂W∂t,pi=∂W′∂qi,q′i=∂W′∂pi′,H′=H+∂W′∂t.\begin{gathered} p_i = \pdv{W}{q^i}, \quad p'_i = - \pdv{W}{q'^i}, \quad H' = H + \pdv{W}{t}, \\ p_i = \pdv{W'}{q^i}, \quad q'^i = \pdv{W'}{p'_i}, \quad H' = H + \pdv{W'}{t}. \end{gathered}

Poisson 括弧

正準変数 (qi,pi)(q^i, p_i) に対し, Poisson 括弧 Poisson braket は以下で定義される演算である:

{A,B}P≡∂A∂qi∂B∂pi−∂B∂qi∂A∂pi.\{A, B\}_\mathrm{P} ≡ \pdv{A}{q^i}\pdv{B}{p_i} - \pdv{B}{q^i}\pdv{A}{p_i}.

正準変数自身は以下を満たす:

{qi,pj}P=δji,{qi,qj}P={pi,pj}P=0.\{q^i, p_j\}_\mathrm{P} = δ_j^i, \quad \{q^i, q^j\}_\mathrm{P} = \{p_i, p_j\}_\mathrm{P} = 0.

また, Hamilton の運動方程式は以下のように書き換えられる:

dqidt={qi,H}P,dpidt={pi,H}P.\begin{aligned} \dv{q^i}{t} = \{q^i, H\}_\mathrm{P}, && \dv{p_i}{t} = \{p_i, H\}_\mathrm{P}. \end{aligned}

より一般に, 正準変数と時間に関する物理量 A(qi,pi,t)A(q^i, p_i, t) について, 時間微分に関して以下が成立する:

dAdt={A,H}P+∂A∂t.\dv{A}{t} = \{A, H\}_\mathrm{P} + \pdv{A}{t}.

実際, AA の時間による完全微分は,

dAdt=∂A∂qiq˙i+∂A∂pip˙i+∂A∂t=∂A∂qi∂H∂pi−∂A∂pi∂H∂qi+∂A∂t={A,H}P+∂A∂t.\begin{aligned} \dv{A}{t} &= \pdv{A}{q^i} \.q^i + \pdv{A}{p_i} \.p_i + \pdv{A}{t} \\ &= \pdv{A}{q^i} \pdv{H}{p_i} - \pdv{A}{p_i} \pdv{H}{q^i} + \pdv{A}{t} \\ &= \{A, H\}_\mathrm{P} + \pdv{A}{t}. \end{aligned}

この式は, 物理量 AA の全時間発展が Hamiltonian HH によって記述されることを意味している.

また, Poisson 括弧は以下の性質を満たす:

  1. 双線型性: {aX+bY,Z}P=a{X,Z}P+b{Y,Z}P\{aX+bY, Z\}_{\mathrm{P}} = a\{X,Z\}_{\mathrm{P}} + b\{Y,Z\}_{\mathrm{P}}, {X,aY+bZ}P=a{X,Y}P+b{X,Z}P\{X, aY+bZ\}_{\mathrm{P}} = a\{X,Y\}_{\mathrm{P}} + b\{X,Z\}_{\mathrm{P}},
  2. 交代性: {X,Y}P=−{Y,X}P\{X,Y\}_{\mathrm{P}} = - \{Y,X\}_{\mathrm{P}},
  3. Jacobi 律: {X,{Y,Z}P}P+{Y,{Z,X}P}P+{Z,{X,Y}P}P=0\{X,\{Y,Z\}_{\mathrm{P}}\}_{\mathrm{P}} + \{Y,\{Z,X\}_{\mathrm{P}}\}_{\mathrm{P}} + \{Z,\{X,Y\}_{\mathrm{P}}\}_{\mathrm{P}} = 0.

したがって, Poisson 括弧は Lie 代数の括弧積である.

Hamilton 形式での Noether の定理

Hamilton 形式での作用

S[qi,pi]=∫t1t2dt[q˙i(t)pi(t)−H(qi(t),pi(t),t)]S[q^i, p_i] = ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{\.q^i(t) p_i(t) - H\pqty{q^i(t),p_i(t),t}}

に対し, Noether の定理を求めてみよう. Lagrange 形式で求めたのと同じ保存量が得られることが期待される.

時間の微小変換 t↦t′=t+δtt↦t'=t+δt に対し, 座標が qi(t)↦q′i(t′)=qi(t)+δqi(t)q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+δq^i(t), 運動量が pi(t)↦pi′(t′)=pi(t)+δpi(t)p_i(t)↦p'_i(t')=p_i(t)+δp_i(t) と変換されるとする. このとき t1<t<t2t_1<t<t_2 の作用の変化 δS[qi(t),pi(t)]=S[q′i(t′),pi′(t′)]−S[qi(t)pi(t)]δS[q^i(t),p_i(t)]=S[q'^i(t'),p'_i(t')]-S[q^i(t)p_i(t)] を計算すると,

δS[qi,pi]=∫t1+δt(t1)t2+δt(t2)dt′[∂t′q′i(t′)pi′(t′)−H(q′i(t′),pi′(t′),t′)]−∫t1t2dt[q˙i(t)pi(t)−H(qi(t),pi(t),t)](dt′=dt′dtdt=(1+δt˙)dt)=∫t1t2dt{(1+δt˙)[∂t′q′i(t′)pi′(t′)−H(q′i(t′),pi′(t′),t′)]−[q˙i(t)pi(t)−H(qi(t),pi(t),t)]}(∂t′q′(t′)=q˙i+δq˙i−q˙iδt˙)=∫t1t2dt{(1+δt˙)[(q˙i+δq˙i−q˙iδt˙)pi′(t′)−H(q′i(t′),pi′(t′),t′)]−[q˙i(t)pi(t)−H(qi(t),pi(t),t)]}=∫t1t2dt{ddt(δqipi)−δqip˙i+q˙iδpi−δqi∂H∂qi−δpi∂H∂pi−δt∂H∂t−δt˙H}(Lie 微分 δLqi(t)=δqi−q˙iδt, δLpi(t)=δpi−p˙iδt)=∫t1t2dt{ddt(δqipi)−δLqip˙i+q˙iδLpi−(δLqi+q˙iδt)∂H∂qi−(δLpi+p˙iδt)∂H∂pi−δt∂H∂t−δt˙H}=∫t1t2dt[δLpi(q˙i−∂H∂pi)−δLqi(p˙i+∂H∂qi)+ddt(δqipi−δtH)]=∫t1t2dt[δLpi(q˙i−∂H∂pi)−δLqi(p˙i+∂H∂qi)]+[δqipi−δtH]t=t1t=t2\begin{aligned} δS[q^i,p_i] &= ∫_{t_1+δt(t_1)}^{t_2+δt(t_2)} \d{t'} \bqty{∂'_tq'^i(t') p'_i(t') - H\pqty{q'^i(t'),p'_i(t'),t'}} - ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{\.q^i(t) p_i(t) - H\pqty{q^i(t),p_i(t),t}} \\ & \quad \pqty{\d{t'} = \dv{t'}{t} \d{t} = (1+δ\.t) \d{t}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \Big\{ (1+δ\.t) \bqty{∂'_tq'^i(t') p'_i(t') - H\pqty{q'^i(t'),p'_i(t'),t'}} - \bqty{\.q^i(t) p_i(t) - H\pqty{q^i(t),p_i(t),t}} \Big\} \\ & \quad \pqty{ ∂'_tq'(t') = \.q^i+δ\.q^i-\.q^iδ\.t } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \Big\{ (1+δ\.t) \bqty{(\.q^i+δ\.q^i-\.q^iδ\.t) p'_i(t') - H\pqty{q'^i(t'),p'_i(t'),t'}} - \bqty{\.q^i(t) p_i(t) - H\pqty{q^i(t),p_i(t),t}} \Big\} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \Big\{ \dv{}{t} (δq^i p_i) - δq^i \.p_i + \.q^i δp_i - δq^i \pdv{H}{q^i} - δp_i \pdv{H}{p_i} - δt \pdv{H}{t} - δ\.t H \Big\} \\ & \quad \pqty{\text{Lie 微分 $δ^Lq^i(t) = δq^i-\.q^iδt$, $δ^Lp_i(t) = δp_i-\.p_iδt$}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \Big\{ \dv{}{t} (δq^i p_i) - δ^Lq^i \.p_i + \.q^i δ^Lp_i - (δ^Lq^i+\.q^iδt) \pdv{H}{q^i} - (δ^Lp_i+\.p_iδt) \pdv{H}{p_i} - δt \pdv{H}{t} - δ\.t H \Big\} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ δ^Lp_i \pqty{\.q^i - \pdv{H}{p_i}} - δ^Lq^i \pqty{\.p_i + \pdv{H}{q^i}} + \dv{}{t} (δq^i p_i - δt H) } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ δ^Lp_i \pqty{\.q^i - \pdv{H}{p_i}} - δ^Lq^i \pqty{\.p_i + \pdv{H}{q^i}}} + \bqty{δq^i p_i - δt H}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ \end{aligned}

となる. ここで, 最後の式の第一項は Hamilton の運動方程式より消え, 第二項の t1t_1, t2t_2 は任意である. したがって, この変換に対し作用が不変 δS=0δS=0 であるとすると, 対応する保存量

δQ≡δqipi−δtHδQ ≡ δq^i p_i - δt H

が得られる. これは Lagrange 形式で求めたものと同じである.

TODO: δpiδp_i が陽に含まれないのはなぜか

参考文献

Footnotes

  1. ここでの「粒子系」は「(一般的な意味での)場でない」程度の意味である. 厳密には粒子系も時間 Rℝ から配位空間 RDℝ^D への場 q=(qi):R→RDq=(q^i):ℝ→ℝ^D であるから, 場の理論の特別な場合とも言える. ↩

  2. 「教科書」を書いているつもりではないので, 間違いを見付けたら(こっそりと)教えていただけると嬉しいです. ↩

  3. 正しくは S[q1(t),…,qD(t)]S[q^1(t),…,q^D(t)] と書かれるべきであるが, 配位空間に関する任意の列 {a1,…,aD}\{a^1,…,a^D\} は単に aia^i と書かれることが多い. この添字 ii は添字集合 {ai}i=1D\{a^i\}_{i=1}^D 程度の意味であり, あまり気にしてはいけない. ↩

  4. 最小作用の原理の場合と違い, このときの δqiδq^i は両端固定でない. そのため, Euler-Lagrange の運動方程式の際に消えた発散項を, 今回の場合は消すことができない. ↩

  5. Lagrangian を用いた議論を「Lagrange 形式」, Hamiltonian を用いた議論を「Hamilton 形式」と呼ぶことがある. ↩

  6. たとえば pi=∂L(qi,q˙i,t)/∂q˙ip_i = ∂L(q^i,\.q^i,t)/∂\.q^i を逆に解いて pi=q˙i=(qi,pi,t)p_i = \.q_i=(q_i,p_i,t) が得られたとき. ↩