位相空間

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位相空間

台集合と呼ばれる集合 XX と開集合系と呼ばれる XX の部分集合の族 U\mathscr{U} に対して, 以下の条件を満たす組 (X,U)(X, \mathscr{U}) または単に XX を位相空間 topological space という. 開集合系の元を開集合という.

  1. 空集合および台集合は開集合: ∅,X∈U\varnothing, X ∈ \mathscr{U}.
  2. 開集合の和もまた開集合: U˜⊂U⇒⋃U∈U~U∈U\~{\mathscr{U}} ⊂ \mathscr{U} ⇒ \bigcup_{U ∈ \tilde{\mathscr{U}}} U ∈ \mathscr{U}.
  3. 有限個の開集合の積もまた開集合: U1,…,Un∈U⇒⋂i=1nUi∈UU_1, …, U_n ∈ \mathscr{U} ⇒ \bigcap^n_{i = 1} U_i ∈ \mathscr{U}.

位相空間 XX の点 x∈Xx ∈ X について, xx を含む開集合を xx の開近傍といい, xx の開近傍を含む任意の集合を xx の近傍という.

連続写像と同相

位相空間 XX, YY と 写像 f:X→Yf : X → Y について, x∈Xx ∈ X に対し f(x)∈Yf(x) ∈ Y の近傍の ff による逆像が xx の近傍になるとき, ff は xx で連続であるという. また, YY の開集合の ff による逆像が XX の開集合となるとき, ff を連続という. 全単射 f:X→Yf : X → Y が連続で f−1f^{-1} も連続であるとき, ff を同相写像といい, XX と YY は位相同型あるいは同相という.