位相空間

位相空間

台集合と呼ばれる集合 \(X\) と開集合系と呼ばれる \(X\) の部分集合の族 \(\mathscr{U}\) に対して, 以下の条件を満たす組 \((X, \mathscr{U})\) または単に \(X\) を位相空間 topological space という. 開集合系の元を開集合という.

  1. 空集合および台集合は開集合: \(\varnothing, X ∈ \mathscr{U}\).
  2. 開集合の和もまた開集合: \(\~{\mathscr{U}} ⊂ \mathscr{U} ⇒ \bigcup_{U ∈ \tilde{\mathscr{U}}} U ∈ \mathscr{U}\).
  3. 有限個の開集合の積もまた開集合: \(U_1, …, U_n ∈ \mathscr{U} ⇒ \bigcap^n_{i = 1} U_i ∈ \mathscr{U}\).

位相空間 \(X\) の点 \(x ∈ X\) について, \(x\) を含む開集合を \(x\) の開近傍といい, \(x\) の開近傍を含む任意の集合を \(x\) の近傍という.

連続写像と同相

位相空間 \(X\), \(Y\) と 写像 \(f : X → Y\) について, \(x ∈ X\) に対し \(f(x) ∈ Y\) の近傍の \(f\) による逆像が \(x\) の近傍になるとき, \(f\) は \(x\) で連続であるという. また, \(Y\) の開集合の \(f\) による逆像が \(X\) の開集合となるとき, \(f\) を連続という. 全単射 \(f : X → Y\) が連続で \(f^{-1}\) も連続であるとき, \(f\) を同相写像といい, \(X\) と \(Y\) は位相同型あるいは同相という.