粒子系の古典論ノート

粒子系1の古典論の基本事項を体系的にまとめる.

最小作用の原理

粒子系の古典論において, 以下を原理として認める.

時間 \(t\) に依存する一般化座標と呼ばれるパラメータ \(q^i(t)\) に対して, 作用 action と呼ばれる汎関数 \(S[q^i]\) が存在し, 物理現象において座標 \(q^i\) は作用 \(S[q^i]\) が最小となるような経路が選ばれる.

言いかえると, 時間 \(t_1\) から \(t_2\) の運動において, \(q^i(t) ↦ q^i(t) + δq^i(t)\) (ただし両端固定 \(δq^i(t_1)=δq^i(t_2)=0\)) なる経路の微小変換に対し, 作用が停留値を取る:

\[δS[q^i] ≡ S[q^i + δq^i] - S[q^i] = 0.\]

この古典的原理を最小作用の原理という.

系に対し適当な作用 \(S[q^i]\), あるいは次節の Lagrangian を決定するのが, 物理学の本質と言えよう.

例: 自由一次元一粒子系

質量 \(m\) の自由一次元一粒子系の作用は

\[S[q] = \frac{m}{2} \frac{(q(t_2)-q(t_1))^2}{t_2-t_1}\]

である. これが \(δS[q^i] = 0\) を満たすことは明らか.

例: 調和振動子

質量 \(m\), 角振動数 \(ω\) の調和振動子の作用は

\[S[q] = \frac{mω}{2 \sin ω(t_2-t_1)} \bqty{(q(t_1)^2+q(t_2)^2) \cos ω(t_2-t_1) - 2q(t_1)q(t_2)}\]

である. これが \(δS[q^i] = 0\) を満たすことは明らか.

Euler–Lagrange の運動方程式

系の作用を直接求めることは難しく, これから定義する Lagrangian を用いるのが便利である:

作用は, 座標と時間に関する Lagrangian \(L(q^i, \.q^i, t)\) を用いて以下のように表される:

\[S[q^i] = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} L(q^i, \.q^i, t).\]

最小作用の原理に対し, この Lagrangian が満たすべき条件を求めよう. \(q^i ↦ q^i + δq^i\) の変換に対し,

\[\begin{aligned} δS[q^i] =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ L\pqty{q^i + δq^i, \.q^i + \dv{δq^i}{t}, t} - L(q^i, \.q^i, t) } \\ =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ δq^i \pdv{L}{q^i} + \dv{δq^i}{t} \pdv{L}{\.q^i} } \\ =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ δq^i \pdv{L}{q^i} - δq^i \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} + \dv{}{t} \pqty{ δq^i \pdv{L}{\.q^i} } } \\ =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δq^i \bqty{ \pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} } + \bqty{ δq^i \pdv{L}{\.q^i}}_{t=t_1}^{t=t_2}. \end{aligned}\]

ここで, 第2項は両端固定の境界条件 \(δq^i(t_1)=δq^i(t_2)=0\) より消える:

\[δS[q^i] = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δq^i \bqty{ \pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} }.\]

\(δq^i(t)\) は \(t_1<t<t_2\) で任意だから, 原理 \(δS[q^i] = 0\) より, 次の運動方程式が得られる:

最小作用の原理を満たすとき, Lagrangian \(L(q^i,\.q^i,t)\) は以下の Euler–Lagrange の運動方程式を満たす:

\[\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} = 0.\]

これにより, 変分条件 \(δS[q^i]=0\) を満たす \(q^i(t)\) を求める問題は, Euler–Lagrange 方程式という微分方程式を解く問題と等価であることがわかった.

例: 一次元一粒子系

一次元一粒子系の Lagrangian は

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - V(q)\]

で与えられる. ただし \(V(q)\) は系のポテンシャルである. ここで,

\[\pdv{L}{q} = - \pdv{V}{q}, \quad \dv{}{t}\pqty{\pdv{L}{\.q}} = \dv{}{t} (m \.q) = m \"q\]

であるから, Euler–Lagrange の運動方程式は,

\[m\"q + \pdv{V}{q} = 0.\]

これは Newton の運動方程式として知られており, Lagrangian 決定の任意性を除けば, 最小作用の原理は物理原理として well-defined であることがわかる.

ポテンシャルが無い (\(V=0\)) ときの作用の表式を求める. 運動方程式 \(m\"q = 0\) を解いて,

\[\.q(t) = \frac{q(t_2)-q(t_1)}{t_2-t_1}.\]

したがって, 作用は

\[S[q] = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \frac{m}{2} \frac{(q(t_2)-q(t_1))^2}{(t_1-t_2)^2} = \frac{m}{2} \frac{(q(t_2)-q(t_1))^2}{t_2-t_1}\]

と求められる.

例: 調和振動子

調和振動子の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - \frac12 m ω^2 q^2.\]

で与えられる. ここで,

\[\pdv{L}{q} = - m ω^2 q, \quad \dv{}{t}\pqty{\pdv{L}{\.q}} = \dv{}{t} (m \.q) = m \"q\]

であるから, Euler–Lagrange の運動方程式は

\[m\"q + m ω^2 q = 0.\]

作用の表式を求める. 運動方程式を解いて,

\[\begin{aligned} q(t) &= \frac{q_1 \sin ω(t-t_2) - q_2 \sin ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}, \\ \.q(t) &= ω \frac{q_1 \cos ω(t-t_2) - q_2 \cos ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}. \\ \end{aligned}\]

ただし, \(q_1 ≡ q(t_1)\), \(q_2 ≡ q(t_2)\) とした. したがって, 作用は,

\[\begin{aligned} S[q] &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \frac{m}{2} \bqty{\qty{ω \frac{q_1 \cos ω(t-t_2) - q_2 \cos ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}}^2 - ω^2 \qty{\frac{q_1 \sin ω(t-t_2) - q_2 \sin ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}}^2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \frac{mω^2}{2} \frac{q_1^2 \cos 2ω(t-t_2) + q_2^2 \cos 2ω(t-t_1) - 2q_1q_2\cos(2t-t_1-t_2)}{\sin^2 ω(t_2-t_1)} \\ &= \frac{mω}{2 \sin ω(t_2-t_1)} \bqty{(q_1^2+q_2^2) \cos ω(t_2-t_1) - 2q_1q_2} \\ \end{aligned}\]

と求められる.

Noether の定理

Lagrangian は運動方程式を与えるだけでなく, 系の対称性に関する情報も持っている. 時間と座標の連続変換に対し作用が不変であるとき, 系には対応する不変量が存在することが知られている. この定理は Noether の定理と呼ばれている.

時間の微小変換 \(t↦t'=t+δt\) に対し, 座標が \(q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+δq^i(t)\) と変換されるとする. このとき \(t_1<t<t_2\) の作用は

\[\begin{aligned} δS[q^i] &= ∫_{t_1+δt(t_1)}^{t_2+δt(t_2)} \d{t'} L(q'^i(t'),∂'_tq'^i(t'),t') - ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} L(q^i(t),\.q^i(t),t) \\ & \quad \pqty{\d{t'} = \dv{t'}{t} \d{t} = (1+δ\.t) \d{t}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \Big[ (1+δ\.t) L(q'^i(t'),∂'_tq'^i(t'),t') - L(q^i(t),\.q^i(t),t) \Big] \\ & \quad \pqty{ ∂'_tq'(t') = \dv{t}{t'} ∂_t (q^i(t)+δq^i(t)) = (1-δ\.t)(\.q^i+δ\.q^i) = \.q^i+δ\.q^i-\.q^iδ\.t } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \Big[ δ\.t L + L(q^i+δq^i,\.q^i+δ\.q^i-\.q^iδ\.t,t+δt) - L(q^i,\.q^i,t) \Big] \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{δ\.t L + δq^i \pdv{L}{q^i} + (δ\.q^i-\.q^iδ\.t) \pdv{L}{\.q^i} + δt \pdv{L}{t}} \\ & \quad \pqty{\text{Lie 微分 $δ^Lq^i(t) ≡ q'^i(t) - q^i(t) = δq^i - \.q^i δt$}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{δ\.t L + (δ^Lq^i + \.q^i δt) \pdv{L}{q^i} + (∂_tδ^Lq^i + \"q^i δt) \pdv{L}{\.q^i} + δt \pdv{L}{t}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \qty{ δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + \dv{}{t} \pqty{δ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i} + δt L} } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + \bqty{δ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i} + δt L}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + \bqty{δq^i \pdv{L}{\.q^i} - δt \pqty{\.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L}}_{t=t_1}^{t=t_2}. \\ \end{aligned}\]

ここで, 最後の式の第一項は Euler–Lagrange の運動方程式より消え, 第二項の \(t_1\), \(t_2\) は任意である2. したがって, この変換に対し作用が不変 \(δS=0\) であるとすると, 対応する保存量が得られる:

時間の微小変換 \(t↦t'=t+δt\) に対し, 座標が \(q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+δq^i(t)\) と変換されるとき, 作用が不変であるならば, 量

\[δQ ≡ δq^i p_i - δt H ≡ δq^i \pdv{L}{\.q^i} - δt \pqty{\pdv{L}{\.q^i} \.q^i - L}\]

は保存する(Noether の定理 Noether’s theorem):

\[\dv{δQ}{t} = 0, \quad (⇔ δQ = \mathrm{const.})\]

ここで, 量

\[p_i ≡ \pdv{L}{\.q^i}, \quad H ≡ \.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L = \.q^i p_i - L\]

はそれぞれ一般化運動量, Hamiltonian と呼ばれる(後述).

例: 空間並進に対する不変量

空間並進 \(t↦t'=t, q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+ε^i\) に対し, 作用が不変であるとき, 一般化運動量は保存する:

\[δQ = ε^i p_i = \mathrm{const.} \quad ∴ p_i = \mathrm{const.}\]

例: 時間並進に対する不変量

時間並進 \(t↦t'=t+ε\), \(q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)\) に対し, 作用が不変であるとき, Hamiltonian は保存する:

\[δQ = - ε H = \mathrm{const.} \quad ∴ H = \mathrm{const.}\]

例: 空間回転に対する不変量

3 次元空間での一粒子を考える. 正規直交座標系 \(q=\bm{x}\) を取り, 空間回転 \(t↦t'=t, \bm{x}(t) ↦ \bm{x}'(t') = R(\bm{ε}) \bm{x}(t) = \bm{x}(t) - \bm{ε} × \bm{x}(t)\) に対し, 作用が不変であるとき, 対応する保存量 \(\bm{L}\) は角運動量と呼ばれる:

\[δQ = (- \bm{ε} × \bm{x}) ⋅ \bm{p} = - \bm{ε} ⋅ \pqty{\bm{x} × \bm{p}} = \mathrm{const.}\] \[∴ \bm{L} ≡ \bm{x} × \bm{p} = \mathrm{const.}\]

Hamilton–Jacobi 方程式

前節で導入された Hamiltonian は, 系に関して Lagrangian と同程度の情報を持つ. 以降, Hamiltonian の性質について詳しくみていく.

Lagrangian \(L\) が与えられたとき, \(q^i\) に対して

\[p_i ≡ \pdv{L}{\.q^i}\]

一般化運動量, または \(q^i\) に共役な運動量 conjugate momentum といい, 一般化座標とそれに共役な運動量の組 \((q^i, p_i)\) を正準変数 canonical variables という.

Lagrangian \(L\) と正準変数 \((q^i, p_i)\) が与えられたとき,

\[H(q^i, p_i, t) ≡ \.q^i p_i - L\]

Hamiltonian という.

一般化運動量と Hamiltonian は作用を端点で偏微分することで得ることもできる:

\[p_i(t) = \pdv{S}{q^i(t)}, \quad H(q^i,p_i,t) = - \pdv{S}{t}.\]

ただし作用は \(S[q^i]=∫_{t_0}^{t} \d{t'} L(q^i,\.q^i,t')\) で与えられている. 実際, Norther の定理と同じ状況での変分は

\[δS[q^i] = \bqty{δq^i p_i - δt H}_{t'=t_0}^{t'=t}.\]

始点での変位を \(δt(t_0)=δq^i(t_0)=0\) とすれば,

\[δS[q^i] = δq^i p_i - δt H.\]

この変分は経路の始点と途中 \(t'∈[t_0,t)\) によらない形になっているから, 一点 \(t\) での変位から求めたい全微分が得られる:

\[\d{S} = \d{q^i} p_i - \d{t} H.\]

これらの性質を組み合わせることで以下の方程式が得られる:

最小作用の原理を満たす作用 \(S[q^i] = ∫_{t_0}^t \d{t'} L(q^i,\.q^i,t')\) に対し, 作用の端点 \(t\), \(q(t)\) での偏微分は Hamilton–Jacobi 方程式 Hamilton–Jacobi equation を満たす:

\[H\pqty{q^i(t),\pdv{S}{q^i(t)},t}+\pdv{S}{t}=0.\]

Hamilton の運動方程式

Lagrangian の場合と同様に, 最小作用の原理に対し Hamiltonian が満たす条件を求めよう. Hamiltonian \(H(q^i, p_i, t) ≡ \.q^i p_i - L\) の全微分は,

\[\begin{aligned} \d{H} &= \.q^i \d{p_i} + p_i \d{\.q^i} - \d{L} \\ &= \.q^i \d{p_i} + p_i \d{\.q^i} - \pdv{L}{q^i} \d{q^i} - p_i \d{\.q^i} - \pdv{L}{t} \d{t} \\ & \quad \pqty{ ∵ \d{L} = \pdv{L}{q^i} \d{q^i} + \pdv{L}{\.q^i} \d{\.q^i} + \pdv{L}{t} \d{t} } \\ &= - \pdv{L}{q^i} \d{q^i} + \.q^i \d{p_i} - \pdv{L}{t} \d{t}. \end{aligned}\]

ここで, Euler-Lagrangian 方程式が成立するとき \(\.p_i = ∂L / ∂q^i\) であることを用いると, Hamiltonian に関する運動方程式が得られる:

最小作用の原理を満たすとき, Hamiltonian は以下の Hamilton の運動方程式あるいは正準方程式 canonical equation を満たす:

\[\.p_i = - \pdv{H}{q^i}, \quad \.q^i = \pdv{H}{p_i}.\]

Lagrangian が時間に陽に依存しないとき, Hamiltonian は保存する:

\[\pdv{H}{t} = -\pdv{L}{t} = 0.\]

\(q^i(t)\) と \(p_i(t)\) を独立にした作用

\[S[q^i, p_i] = ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{\.q^i(t) p_i(t) - H\pqty{q^i(t),p_i(t),t}}.\]

も用いられる.

例: 一次元一粒子系

一次元一粒子系の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - V(q).\]

ここで, 一般化運動量の定義より,

\[p = \pdv{L}{\.q} = m \.q.\]

したがって \(\.q = p / m\) であるから, Hamiltonian の定義より,

\[H(q, p, t) = \frac{p}{m} p - L\pqty{q, \frac{p}{m}, t} = \frac{p^2}{2m} + V(q).\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{H}{q} &= \dv{V}{q}, & \pdv{H}{p} &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

したがって, Hamilton の運動方程式は,

\[\begin{aligned} \.p &= - \dv{V}{q}, & \.q &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

例: 調和振動子

調和振動子の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - \frac12 m ω^2 q^2.\]

ここで, 一般化運動量の定義より,

\[p = \pdv{L}{\.q} = m \.q.\]

したがって \(\.q = p / m\) であるから, Hamiltonian の定義より,

\[H(q, p, t) = \frac{p}{m} p - L\pqty{q, \frac{p}{m}, t} = \frac{p^2}{2m} + \frac12 m ω^2 q^2.\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{H}{q} &= m ω^2 q, & \pdv{H}{p} &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

したがって, Hamilton の運動方程式は,

\[\begin{aligned} \.p &= - m ω^2 q, & \.q &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

正準変換

正準変数の変換 \((q^i, p_i) ↦ (Q^j, P_j) = (Q^j(q^i, p_i), P_j(q^i, p_i))\) に対して Hamiltonian が \(H (q^i, p_i) ↦ K (Q^j, P_j)\) と変換されるとき, この正準変数の変換を正準変換 canonical transformation という. いずれの表示でも最小作用の原理を満たすとき, Hamiltonian の定義から,

\[\begin{aligned} δS[q^i,p_i] &= δ∫\d{t} (\.q^i p_i - H) = 0, \\ δS'[Q^i,P_i] &= δ∫\d{t} (\.Q^i P_i - K) = 0. \end{aligned}\]

したがって, ある関数 \(W\) が存在して,

\[\begin{gathered} (\.q^i p_i - H) - (\.Q^i P_i - K) = \dv{W}{t}. \\ ∴\d{W} = p_i \d{q^i} - P_i \d{Q^i} - (H - K) \d{t}. \end{gathered}\]

または, 両辺に \(\d{Q^i P_i}/\d{t}\) を足して,

\[\begin{gathered} (\.q^i p_i - H) - (- Q^i \.P_i - K) = \dv{}{t} \pqty{W + Q^i P_i} =: \dv{W'}{t}. \\ ∴\d{W'} = p_i \d{q^i} + Q^i \d{P_i} - (H - K) \d{t}. \end{gathered}\]

これら \(W(q^i, Q^i, t)\), \(W'(q^i, P_i, t)\) をどちらも母関数といい, 以下を満たす.

\[\begin{gathered} p_i = \pdv{W}{q^i}, \quad P_i = - \pdv{W}{Q^i}, \quad K = H + \pdv{W}{t}, \\ p_i = \pdv{W'}{q^i}, \quad Q^i = \pdv{W'}{P_i}, \quad K = H + \pdv{W'}{t}. \end{gathered}\]

Poisson 括弧

正準変数 \((q^i, p_i)\) に対し, Poisson 括弧 Poisson braket は以下で定義される演算である:

\[\{A, B\}_\mathrm{P} ≡ \pdv{A}{q^i}\pdv{B}{p_i} - \pdv{B}{q^i}\pdv{A}{p_i}.\]

正準変数自身は以下を満たす:

\[\{q^i, p_j\}_\mathrm{P} = δ_j^i, \quad \{q^i, q^j\}_\mathrm{P} = \{p_i, p_j\}_\mathrm{P} = 0.\]

また, Hamilton の運動方程式は以下のように書き換えられる:

\[\begin{aligned} \dv{q^i}{t} = \{q^i, H\}_\mathrm{P}, && \dv{p_i}{t} = \{p_i, H\}_\mathrm{P}. \end{aligned}\]

より一般に, 正準変数と時間に関する物理量 \(A(q^i, p_i, t)\) について, 時間微分に関して以下が成立する:

\[\dv{A}{t} = \{A, H\}_\mathrm{P} + \pdv{A}{t}.\]

実際, \(A\) の時間による完全微分は,

\[\begin{aligned} \dv{A}{t} &= \pdv{A}{q^i} \.q^i + \pdv{A}{p_i} \.p_i + \pdv{A}{t} \\ &= \pdv{A}{q^i} \pdv{H}{p_i} - \pdv{A}{p_i} \pdv{H}{q^i} + \pdv{A}{t} \\ &= \{A, H\}_\mathrm{P} + \pdv{A}{t}. \end{aligned}\]

この式は, 物理量 \(A\) の全時間発展が Hamiltonian \(H\) によって記述されることを意味している. 記事の最後に登場する地味な式に見えるが, 量子化においては最初の操作で用いる大変重要な式である.

参考文献

Footnotes

  1. ここでの「粒子系」は「(一般的な意味での)場でない」程度の意味である. 厳密には粒子系も時間 \(ℝ\) から空間 \(ℝ^D\) への場 \(q=(q^i):ℝ→ℝ^D\) であるから, 場の理論の特別な場合とも言える.

  2. 最小作用の原理の場合と違い, このときの \(δq^i\) は両端固定でない. そのため, Euler-Lagrange の運動方程式の際に消えた発散項を, 今回の場合は消すことができない.