Lie 群と Lie 代数

Lie 群

群 \(G\) に対し, パラメータ集合 \(A⊂ℝ^r\) が存在し, 写像 \(R:A→G\) が以下の性質を満たすとき, \(R\) を実 Lie 群 real Lie group という.

  1. \(∃e∈A\), \(R(e) = e_G\),
  2. \(∀a∈A\), \(∃\=a∈A\), \(R(\=a) = R^{-1}(a)\),
  3. \(∀a,b∈A\), \(∃c∈A\), \(R(c)=R(a)R(b)\),
  4. 上記 2,3 について, \(\=a = \=a(a)\), \(c=c(a,b)\) がそれぞれの変数に関し無限回微分可能.

ただし \(e_G\) は群 \(G\) の単位元. 通常は \(R(0)=e_G\) を満たすようパラメータを調整する.

TODO: 例

Lie 代数

ベクトル空間 \(L\) が括弧積と呼ばれる写像 \([⋅,⋅]:L×L→L\) に対して以下を満たすとき, \(L\) を Lie 代数 Lie algebra という.

  1. 双線型性: \([aX+bY, Z] = a[X,Z] + b[Y,Z]\), \([X, aY+bZ] = a[X,Y] + b[X,Z]\),
  2. 交代性: \([X,X]\) = 0.
  3. Jacobi 恒等式: \([X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0\).

交代性から \([X,Y] = - [Y,X]\) がわかる. 実際,

\[[X+Y,X+Y] = [X,X] + [X,Y] + [Y,X] + [Y,Y] = [X,Y] + [Y,X] = 0.\]

参考文献