Lie 群と Lie 代数

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Lie 群

群 GG に対し, パラメータ集合 A⊂RrA⊂ℝ^r が存在し, 写像 R:A→GR:A→G が以下の性質を満たすとき, RR を実 Lie 群 real Lie group という.

  1. ∃e∈A∃e∈A, R(e)=eGR(e) = e_G,
  2. ∀a∈A∀a∈A, ∃aˉ∈A∃\=a∈A, R(aˉ)=R−1(a)R(\=a) = R^{-1}(a),
  3. ∀a,b∈A∀a,b∈A, ∃c∈A∃c∈A, R(c)=R(a)R(b)R(c)=R(a)R(b),
  4. 上記 2,3 について, aˉ=aˉ(a)\=a = \=a(a), c=c(a,b)c=c(a,b) がそれぞれの変数に関し無限回微分可能.

ただし eGe_G は群 GG の単位元. 通常は R(0)=eGR(0)=e_G を満たすようパラメータを調整する.

TODO: 例

Lie 代数

ベクトル空間 LL が括弧積と呼ばれる写像 [⋅,⋅]:L×L→L[⋅,⋅]:L×L→L に対して以下を満たすとき, LL を Lie 代数 Lie algebra という.

  1. 双線型性: [aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z][aX+bY, Z] = a[X,Z] + b[Y,Z], [X,aY+bZ]=a[X,Y]+b[X,Z][X, aY+bZ] = a[X,Y] + b[X,Z],
  2. 交代性: [X,X][X,X] = 0.
  3. Jacobi 恒等式: [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0.

交代性から [X,Y]=−[Y,X][X,Y] = - [Y,X] がわかる. 実際,

0=[X+Y,X+Y]=[X,X]+[X,Y]+[Y,X]+[Y,Y]=[X,Y]+[Y,X].0 = [X+Y,X+Y] = [X,X] + [X,Y] + [Y,X] + [Y,Y] = [X,Y] + [Y,X].

参考文献