線形代数学

Jan 6, 2024; draft

ベクトル空間

体 \(K\) 上の加群を \(K\) 上のベクトル空間という. または, 集合 \(V\) が, 加法と呼ばれるその上の二項演算子 \(+\) と, スカラー乗法と呼ばれる体 \(K\) の \(V\) への作用 \(∘\) を持ち, \(u, v, w ∈ V\), \(a, b ∈ K\) に関して以下の公理系を満たすとき, \((V, +, ∘)\) を \(K\) 上のベクトル空間という. \(V\) をベクトル空間と呼ぶこともある. ベクトル空間 \(V\) の元をベクトルと呼ぶ.

加法の可換律: \(u + v = v + u\),
加法の結合律: \(u + (v + w) = (u + v) + w\),
加法単位元の存在: \(\exists 0 ∈ V, u + 0 = 0 + u = u\),
体の乗法とスカラーの乗法の両立条件: \(a(bu) = (ab)u\),
体の加法に対するスカラー乗法の分配律: \((a + b)u = au + bu\),
加法に対するスカラー乗法の分配律: \(a(u + v) = au + av\),
スカラーの乗法の単位元の存在: \(1u = u\),
加法逆元の存在: \(\exists (-u) ∈ V, u + (-u) ∈ 0\).

ベクトル空間 \(V\) のベクトル列 \(\{ u_i \}\) の線形結合と呼ばれる \(c^i u_i\) (\(c^i ∈ K\)) について, \(c^i u_i = 0\) を満たす \(c^i\) が \(c^i = 0\) に限るとき, この \(\{ u_i \}\) は線形独立であるという. また, \(V\) の全てのベクトルが \(\{ u_i \}\) の線形結合で表されるとき, この \(\{ u_i \}\) が \(V\) を生成するという. \(V\) のベクトル列 \(\{ e_i \}\) が線形独立かつ \(V\) を生成するとき, この \(\{ e_i \}\) を \(V\) の基底という. \(V\) の基底を構成するベクトルの個数を \(V\) の次元といい \(\dim(V)\) と書く.

線形写像

\(K\) 上のベクトル空間 \(U\), \(V\) に対し, 写像 \(T : U → V\) が線形性 \(T(au + bv) = a T(u) + b T(v)\) (\(a, b ∈ K\), \(u, v ∈ U\)) を満たすとき, \(T\) を \(K\) 上の線形写像といい, その全体を \(\mathrm{Hom}_K (U, V)\) と書く. \(U\) から \(U\) 自身への線形写像の全体 \(\mathrm{End}_K (U) := \mathrm{Hom}_K (U, U)\) の元を線形変換といい, 恒等写像 \(1_U ∈ \mathrm{End}_K (U)\) を単位変換という. 線形写像の部分写像を線形作用素あるいは線形演算子という.

線形写像 \(T := \mathrm{Hom}_K (U, V)\) に対して, \(T^{-1} T = 1_U\), \(T T^{-1} = 1_V\) を満たす \(T^{-1} ∈ \mathrm{Hom}_K (V, U)\) が存在するとき, \(T\) を \(K\) 上の線形同型写像といい, \(U\) と \(V\) は \(K\) 上の線形同型という. 線形同型写像 \(T ∈ \mathrm{End}_K (U)\) を同型変換, \(T^{-1}\) を逆変換という.

線形写像 \(T := \mathrm{Hom}_K (U, V)\) に対して, \(\Im (T) = \{ T(u) ∈ V ∣ u ∈ U \}\) を \(T\) の像, \(\mathrm{Ker} (T) = \{ u ∈ U ∣ T(u) = 0 ∈ V \}\) を \(T\) の核という.

線形写像 \(T := \mathrm{Hom}_K (U, V)\) に対して, \(U\) の基底 \(\{ u_1, …, u_n \}\), \(V\) の基底 \(\{ v_1, …, v_m \}\) について \((T(u_1), ⋯, T(u_n)) = (v_1, ⋯, v_m) A\) と表されるとき, 行列 \(A\) を表現行列という.

線形変換 \(T ∈ \mathrm{End}_K (U)\) に対して, あるベクトル \(u ∈ U\) が \(T(u) = λ u\) を満たすとき, \(λ ∈ K\) を \(T\) の固有値, \(u\) を \(λ\) に属する \(T\) の固有ベクトルという. 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.

双対空間

\(K\) 上のベクトル空間 \(V\) に対し, 線形写像 \(V^{*} := \mathrm{Hom}_K (V, K)\) を双対空間といい, \(V^{*}\) の元を線形汎関数, あるいは代数的1-形式という. 双対空間はベクトル空間であり, その次元は元のベクトル空間と等しい: \(\dim (V^{*}) = \dim (V)\).

\(V\) の基底 \(\{ e_i \}\) に対して, \(e^i(e_j) = δ_{ij}\) を満たす \(V^{*}\) の基底 \(\{ e^i \}\) を \(\{ e_i \}\) の双対基底という. 線形写像 \(T ∈ \mathrm{Hom}_K (U, V)\) に対して, \((T^† (ω))(u) = ω(T(u))\) を満たす \(T^† ∈ \mathrm{Hom}_K (V^{*}, U^{*})\) を \(T\) の双対写像という. 表現行列 \(A\) を持つ線形写像 \(T\) の双対写像 \(T^†\) の表現行列は \(A^†\) である. \(A = A^†\) であるとき \(A\) を Hermite 行列あるいは自己共役行列といい, このとき \(T = T^†\) であるから \(T\) を Hermite 変換あるいは自己共役変換という.

テンソル代数

体 \(K\) 上のベクトル空間 \(V\), \(W\) の基底 \(\{ v_i \}\), \(\{ w_j \}\) について, \(v, v' ∈ V\), \(w, w' ∈ W\), \(c ∈ K\) に関して以下の双線形性を満たすテンソル積 tensor product で作られる組 \(\{ v_i ⊗ w_j \}\) を基底とするベクトル空間を \(V ⊗ W\) と書き, \(V\) と \(W\) とのテンソル積空間 tensor product space という. このとき, \(\dim (V ⊗ W) = \dim (V) ⋅ \dim (W)\).

第一引数に対する線形性: \((v + v') ⊗ w = v ⊗ w + v' ⊗ w\),
第二引数に対する線形性: \(v ⊗ (w + w') = v ⊗ w + v ⊗ w'\),
スカラー倍に対する結合性: \((c v) ⊗ w = v ⊗ (c w) = c (v ⊗ w)\).

ベクトル空間列 \(\{ V_i \}\) に対し, 多重線形なテンソル積空間 \(V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_p\) が自然に構成される. 一つのベクトル空間 \(V\) によるテンソル積空間 \(V^{⊗ p} := \underbrace{V ⊗ ⋯ ⊗ V}_p\) と \({V^{*}}^{⊗ q}\) について, \(V^{⊗ p}\) あるいは \(V^{⊗p} ⊗ {V^{*}}^{⊗ q}\) をテンソル空間 tensor product という.

体 \(K\) 上のベクトル空間 \(V\) に対し, \(T^0(V) := K\), \(T^p(V) := V^{⊗ p}\) の直和 \(T(V) := ⨁^∞_{p=0} T^p(V)\) をテンソル代数 tensor algebra という.

外積代数

テンソル積空間 \(V^{⊗ p}\) に対し, ベクトル \(v_1, …, v_p ∈ V\) と置換群 \(S_p\) を用いて,

\[\begin{aligned} v_1 ⊙ ⋯ ⊙ v_p &:= \frac1{p!} ∑_{σ ∈ S_p} v_{σ(1)} ⊗ ⋯ ⊗ v_{σ(p)}, \\ v_1 ∧ ⋯ ∧ v_p &:= \frac1{p!} ∑_{σ ∈ S_p} \mathrm{sgn} (σ) \ v_{σ(1)} ⊗ ⋯ ⊗ v_{σ(p)}, \end{aligned}\]

と定義される積 \(⊙\) をそれぞれ対称積, \(∧\) を交代積あるいは外積という. 対称積は \(v_1 ⋯ v_p := v_1 ⊙ ⋯ ⊙ v_p\) とも書く. \(u, v ∈ V\) について, \(u ⊙ v = v ⊙ u\), \(u ∧ v = - v ∧ u\) を満たす. また, 交代 \(V\) の基底 \(\{ e_i \}\) に対し, \(\{ e_1 ⊙ ⋯ ⊙ e_p \}\) を基底とするベクトル空間 \(S^p (V)\) を \(V\) の \(p\) 次対称テンソル空間 space of symmetric tensors, \(\{ e_1 ∧ ⋯ ∧ e_p \}\) を基底とするベクトル空間 \(Λ^p (V)\) を \(V\) の \(p\) 次交代テンソル空間 space of alternating tensors という.

交代テンソル空間 \(Λ^p(V)\), \(Λ^q(V)\) について, 2つの交代テンソル空間を交代テンソル空間に移す双線形写像 \(Λ^p(V) × Λ^q(V) → Λ^{p+q}(V)\) を以下で定義する: \(Λ^p(V)\) の基底 \(\{ e_1 ∧ ⋯ ∧ e_p \}\) と \(Λ^q(V)\) の基底 \(\{ e_1 ∧ ⋯ ∧ e_q \}\) に対し, \(\displaystyle t = \frac1{p!} t^{μ_1⋯μ_p} e_{μ_1} ∧ ⋯ ∧ e_{μ_p} ∈ Λ^p(V)\), \(\displaystyle s = \frac1{q!} s^{μ_1⋯μ_q} e_{μ_1} ∧ ⋯ ∧ e_{μ_q} ∈ Λ^q(V)\) の外積は,

\[\begin{aligned} t ∧ s &= \left( \frac1{p!} t^{μ_1 ⋯ μ_p} e_{μ_1} ∧ ⋯ ∧ e_{μ_p} \right) ∧ \left( \frac1{q!} s^{μ_1 ⋯ μ_q} e_{μ_1} ∧ ⋯ ∧ e_{μ_q} \right) \\ &:= \frac1{p!q!} t^{μ_1 ⋯ μ_p} s^{μ_{p+1} ⋯ μ_{p+q}} (e_{μ_1} ∧ ⋯ ∧ e_{μ_p}) ∧ (e_{μ_{p+1}} ∧ ⋯ ∧ e_{μ_{p+q}}). \end{aligned}\]

また, \(t ∧ s = (-1)^{pq} s ∧ t\) を満たす.

体 \(K\) 上のベクトル空間 \(V\) に対して, \(Λ^0(V) := K\) と \(Λ^p(V)\) の直和 \(Λ(V) := ⨁^∞_{p=0} Λ^p(V)\) を Grassmann 代数 Grassmann algebra あるいは外積代数 exterior algebra という.

内積空間

複素数体 \(ℂ\) 上のベクトル空間 \(V\) について, 写像 \(⟨\ ,\ ⟩ : V × V → ℂ\) が \(u, v, w ∈ V\), \(a, b ∈ ℂ\) に関して以下の条件を満たすとき, この写像を内積と呼び, このとき \(V\) を内積空間と呼ぶ. 第一引数を制限した内積は \(V\) に双対である: \(u ∈ V\) に対して \(⟨u, \ ⟩ ∈ \mathrm{Hom}_ℂ (V, ℂ) = V^{*}\).

第二引数に対する線形性: \(⟨u, a v + b w⟩ = a ⟨u, v⟩ + b ⟨u, w⟩\),
共役対称性: \(⟨u, v⟩ = (⟨v, u⟩)^{*}\),
正定値性: \(⟨u, u⟩ \geq 0\),
非退化性: \(⟨u, u⟩ = 0 ⇒ u = 0\).

\(V\) の基底 \(\{ u_i \}\) が \(⟨u_i, u_j⟩ = δ_{i, j}\) を満たすとき, この \(\{ u_i \}\) を \(V\) の正規直交基底という. このとき, \(\{ ⟨u_i, \ ⟩ \}\) は \(\{ u_i \}\) の双対基底である.

線形変換 \(T ∈ \mathrm{End}_ℂ (V)\) が Hermite 変換であるとき, \(u, v ∈ V\) に対して \(⟨u, T(v)⟩ = ⟨T(u), v⟩\) を満たす.

線形変換 \(U ∈ \mathrm{End}_ℂ (V)\) が内積を不変に保つ, つまり \(u, v ∈ V\) に対して \(⟨U(u), U(v)⟩ = ⟨u, v⟩\) を満たすとき, \(U\) を unitary 変換という. 言い換えると, unitary 変換は \(U^† U = U U^† = 1_V\) あるいは \(U^† = U^{-1}\) を満たす線形変換 \(U\) である.

ブラ-ケット記法

複素数体 \(ℂ\) 上のベクトル空間 \(H\) のベクトルを \(|φ⟩\) と書き, ケットベクトルと呼ぶ. また, 双対空間 \(H^{*}\) のベクトルを \(⟨φ| := ⟨(|φ⟩), \ ⟩\) と書き, ブラベクトルと呼ぶ. これらの記法を用いて, ベクトル \(|φ⟩, |ψ⟩ ∈ H\) の内積は \(⟨φ ∣ ψ⟩\) \(⟨φ ∣ ψ⟩\) と書く. 例えば, \(H\) の基底 \(\{ |m⟩ \}\) とその双対基底 \(\{ ⟨n| \}\) は \(⟨n ∣ m⟩ = δ_{nm}\) を満たす. また, 双対写像はブラベクトルに右から作用する: \(A^† ∈ \mathrm{End}_K (H^{*})\) で \(⟨(A |φ⟩), \ ⟩ = ⟨φ| A^†\). 線形変換 \(A ∈ \mathrm{End}_ℂ (H)\) が Hermite 変換, つまり \(⟨φ| (A |ψ⟩) = (⟨φ| A) |ψ⟩\) であるとき, これを単に \(⟨A⟩{ψ}\) と書く. また, \(|φ⟩^† := ⟨φ|\), \(⟨φ|^† := |φ⟩\) と定義すれば \((A |φ⟩)^† = ⟨φ| A^†\) が得られる.

複素数体 \(ℂ\) 上のベクトル空間 \(H\) の基底 \(\{ |n⟩ \}\) に対し, 線形写像 \(|n⟩ ⟨n|\) を射影写像という: ケットベクトル \(|φ⟩ = ∑_m φ_m |m⟩\) に対し, \(|n⟩ ⟨n | φ⟩ = φ_n |n⟩\). また, \(∑_n |n⟩ ⟨n| = 1_H\) である. 線形変換 \(A ∈ \mathrm{End}_ℂ (H)\) の固有値 \(\{ a_n \}\) にそれぞれ属する固有ベクトル \(\{ |a_n⟩ \}\) はベクトル空間 \(H\) の基底であり, \(A\) は射影写像 \(|a_n⟩ ⟨a_n|\) の線形結合で表される: \(A = ∑_n a_n |a_n⟩ ⟨a_n|\).

参考文献

三宅敏恒『線形代数学―初歩からジョルダン標準形へ』 (培風館, 2008)
池田岳『テンソル代数と表現論』 (東京大学出版会, 2022)