線形代数学

ベクトル空間

体 $K$ 上の加群を $K$ 上のベクトル空間という. または, 集合 $V$ が, 加法と呼ばれるその上の二項演算子 $+$ と, スカラー乗法と呼ばれる体 $K$ の $V$ への作用 $∘$ を持ち, $u, v, w ∈ V$, $a, b ∈ K$ に関して以下の公理系を満たすとき, $(V, +, ∘)$ を $K$ 上のベクトル空間という. $V$ をベクトル空間と呼ぶこともある. ベクトル空間 $V$ の元をベクトルと呼ぶ.

1. 加法の可換律: $u + v = v + u$,
2. 加法の結合律: $u + (v + w) = (u + v) + w$,
3. 加法単位元の存在: $\exists 0 ∈ V, u + 0 = 0 + u = u$,
4. 体の乗法とスカラーの乗法の両立条件: $a(bu) = (ab)u$,
5. 体の加法に対するスカラー乗法の分配律: $(a + b)u = au + bu$,
6. 加法に対するスカラー乗法の分配律: $a(u + v) = au + av$,
7. スカラーの乗法の単位元の存在: $1u = u$,
8. 加法逆元の存在: $\exists (-u) ∈ V, u + (-u) ∈ 0$.

ベクトル空間 $V$ のベクトル列 $\{ u_i \}$ の線形結合と呼ばれる $c^i u_i$ ($c^i ∈ K$) について, $c^i u_i = 0$ を満たす $c^i$ が $c^i = 0$ に限るとき, この $\{ u_i \}$ は線形独立であるという. また, $V$ の全てのベクトルが $\{ u_i \}$ の線形結合で表されるとき, この $\{ u_i \}$ が $V$ を生成するという. $V$ のベクトル列 $\{ e_i \}$ が線形独立かつ $V$ を生成するとき, この $\{ e_i \}$ を $V$ の基底という. $V$ の基底を構成するベクトルの個数を $V$ の次元といい $\dim(V)$ と書く.

線形写像

$K$ 上のベクトル空間 $U$, $V$ に対し, 写像 $T : U → V$ が線形性 $T(au + bv) = a T(u) + b T(v)$ ($a, b ∈ K$, $u, v ∈ U$) を満たすとき, $T$ を $K$ 上の線形写像といい, その全体を $\mathrm{Hom}_K (U, V)$ と書く. $U$ から $U$ 自身への線形写像の全体 $\mathrm{End}_K (U) := \mathrm{Hom}_K (U, U)$ の元を線形変換といい, 恒等写像 $1_U ∈ \mathrm{End}_K (U)$ を単位変換という. 線形写像の部分写像を線形作用素あるいは線形演算子という.

線形写像 $T := \mathrm{Hom}_K (U, V)$ に対して, $T^{-1} T = 1_U$, $T T^{-1} = 1_V$ を満たす $T^{-1} ∈ \mathrm{Hom}_K (V, U)$ が存在するとき, $T$ を $K$ 上の線形同型写像といい, $U$ と $V$ は $K$ 上の線形同型という. 線形同型写像 $T ∈ \mathrm{End}_K (U)$ を同型変換, $T^{-1}$ を逆変換という.

線形写像 $T := \mathrm{Hom}_K (U, V)$ に対して, $\Im (T) = \{ T(u) ∈ V | u ∈ U \}$ を $T$ の像, $\mathrm{Ker} (T) = \{ u ∈ U | T(u) = 0 ∈ V \}$ を $T$ の核という.

線形写像 $T := \mathrm{Hom}_K (U, V)$ に対して, $U$ の基底 $\{ u_1, …, u_n \}$, $V$ の基底 $\{ v_1, …, v_m \}$ について $(T(u_1), ⋯, T(u_n)) = (v_1, ⋯, v_m) A$ と表されるとき, 行列 $A$ を表現行列という.

線形変換 $T ∈ \mathrm{End}_K (U)$ に対して, あるベクトル $u ∈ U$ が $T(u) = λ u$ を満たすとき, $λ ∈ K$ を $T$ の固有値, $u$ を $λ$ に属する $T$ の固有ベクトルという. 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する.

双対空間

$K$ 上のベクトル空間 $V$ に対し, 線形写像 $V^{*} := \mathrm{Hom}_K (V, K)$ を双対空間といい, $V^{*}$ の元を線形汎関数, あるいは代数的1-形式という. 双対空間はベクトル空間であり, その次元は元のベクトル空間と等しい: $\dim (V^{*}) = \dim (V)$.

$V$ の基底 $\{ e_i \}$ に対して, $e^i(e_j) = δ_{ij}$ を満たす $V^{*}$ の基底 $\{ e^i \}$ を $\{ e_i \}$ の双対基底という. 線形写像 $T ∈ \mathrm{Hom}_K (U, V)$ に対して, $(T^{\dagger} (ω))(u) = ω(T(u))$ を満たす $T^{\dagger} ∈ \mathrm{Hom}_K (V^{*}, U^{*})$ を $T$ の双対写像という. 表現行列 $A$ を持つ線形写像 $T$ の双対写像 $T^{\dagger}$ の表現行列は $A^{\dagger}$ である. $A = A^{\dagger}$ であるとき $A$ を Hermite 行列あるいは自己共役行列といい, このとき $T = T^{\dagger}$ であるから $T$ を Hermite 変換あるいは自己共役変換という.

テンソル代数

体 $K$ 上のベクトル空間 $V$, $W$ の基底 $\{ v_i \}$, $\{ w_j \}$ について, $v, v' ∈ V$, $w, w' ∈ W$, $c ∈ K$ に関して以下の双線形性を満たすテンソル積 tensor product で作られる組 $\{ v_i ⊗ w_j \}$ を基底とするベクトル空間を $V ⊗ W$ と書き, $V$ と $W$ とのテンソル積空間 tensor product space という. このとき, $\dim (V ⊗ W) = \dim (V) ⋅ \dim (W)$.

1. 第一引数に対する線形性: $(v + v') ⊗ w = v ⊗ w + v' ⊗ w$,
2. 第二引数に対する線形性: $v ⊗ (w + w') = v ⊗ w + v ⊗ w'$,
3. スカラー倍に対する結合性: $(c v) ⊗ w = v ⊗ (c w) = c (v ⊗ w)$.

ベクトル空間列 $\{ V_i \}$ に対し, 多重線形なテンソル積空間 $V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_p$ が自然に構成される. 一つのベクトル空間 $V$ によるテンソル積空間 $V^{⊗ p} := \underbrace{V ⊗ ⋯ ⊗ V}_p$ と ${V^{*}}^{⊗ q}$ について, $V^{⊗ p}$ あるいは $V^{⊗p} ⊗ {V^{*}}^{⊗ q}$ をテンソル空間 tensor product という.

体 $K$ 上のベクトル空間 $V$ に対し, $T^0(V) := K$, $T^p(V) := V^{⊗ p}$ の直和 $T(V) := ⨁^∞_{p=0} T^p(V)$ をテンソル代数 tensor algebra という.

外積代数

テンソル積空間 $V^{⊗ p}$ に対し, ベクトル $v_1, …, v_p ∈ V$ と置換群 $S_p$ を用いて,

と定義される積 $⊙$ をそれぞれ対称積, $∧$ を交代積あるいは外積という. 対称積は $v_1 ⋯ v_p := v_1 ⊙ ⋯ ⊙ v_p$ とも書く. $u, v ∈ V$ について, $u ⊙ v = v ⊙ u$, $u ∧ v = - v ∧ u$ を満たす. また, 交代 $V$ の基底 $\{ e_i \}$ に対し, $\{ e_1 ⊙ ⋯ ⊙ e_p \}$ を基底とするベクトル空間 $S^p (V)$ を $V$ の $p$ 次対称テンソル空間 space of symmetric tensors, $\{ e_1 ∧ ⋯ ∧ e_p \}$ を基底とするベクトル空間 $Λ^p (V)$ を $V$ の $p$ 次交代テンソル空間 space of alternating tensors という.

交代テンソル空間 $Λ^p(V)$, $Λ^q(V)$ について, 2つの交代テンソル空間を交代テンソル空間に移す双線形写像 $Λ^p(V) × Λ^q(V) → Λ^{p+q}(V)$ を以下で定義する: $Λ^p(V)$ の基底 $\{ e_1 ∧ ⋯ ∧ e_p \}$ と $Λ^q(V)$ の基底 $\{ e_1 ∧ ⋯ ∧ e_q \}$ に対し, $\displaystyle t = \frac1{p!} t^{μ_1⋯μ_p} e_{μ_1} ∧ ⋯ ∧ e_{μ_p} ∈ Λ^p(V)$, $\displaystyle s = \frac1{q!} s^{μ_1⋯μ_q} e_{μ_1} ∧ ⋯ ∧ e_{μ_q} ∈ Λ^q(V)$ の外積は,

また, $t ∧ s = (-1)^{pq} s ∧ t$ を満たす.

体 $K$ 上のベクトル空間 $V$ に対して, $Λ^0(V) := K$ と $Λ^p(V)$ の直和 $Λ(V) := ⨁^∞_{p=0} Λ^p(V)$ を Grassmann 代数 Grassmann algebra あるいは外積代数 exterior algebra という.

内積空間

複素数体 $ℂ$ 上のベクトル空間 $V$ について, 写像 $⟨\ ,\ ⟩ : V × V → ℂ$ が $u, v, w ∈ V$, $a, b ∈ ℂ$ に関して以下の条件を満たすとき, この写像を内積と呼び, このとき $V$ を内積空間と呼ぶ. 第一引数を制限した内積は $V$ に双対である: $u ∈ V$ に対して $⟨u, \ ⟩ ∈ \mathrm{Hom}_ℂ (V, ℂ) = V^{*}$.

1. 第二引数に対する線形性: $⟨u, a v + b w⟩ = a ⟨u, v⟩ + b ⟨u, w⟩$,
2. 共役対称性: $⟨u, v⟩ = (⟨v, u⟩)^{*}$,
3. 正定値性: $⟨u, u⟩ \geq 0$,
4. 非退化性: $⟨u, u⟩ = 0 ⇒ u = 0$.

$V$ の基底 $\{ u_i \}$ が $⟨u_i, u_j⟩ = δ_{i, j}$ を満たすとき, この $\{ u_i \}$ を $V$ の正規直交基底という. このとき, $\{ ⟨u_i, \ ⟩ \}$ は $\{ u_i \}$ の双対基底である.

線形変換 $T ∈ \mathrm{End}_ℂ (V)$ が Hermite 変換であるとき, $u, v ∈ V$ に対して $⟨u, T(v)⟩ = ⟨T(u), v⟩$ を満たす.

線形変換 $U ∈ \mathrm{End}_ℂ (V)$ が内積を不変に保つ, つまり $u, v ∈ V$ に対して $⟨U(u), U(v)⟩ = ⟨u, v⟩$ を満たすとき, $U$ を unitary 変換という. 言い換えると, unitary 変換は $U^{\dagger} U = U U^{\dagger} = 1_V$ あるいは $U^{\dagger} = U^{-1}$ を満たす線形変換 $U$ である.

ブラ-ケット記法

複素数体 $ℂ$ 上のベクトル空間 $H$ のベクトルを $|φ⟩$ と書き, ケットベクトルと呼ぶ. また, 双対空間 $H^{*}$ のベクトルを $⟨φ| := ⟨(|φ⟩), \ ⟩$ と書き, ブラベクトルと呼ぶ. これらの記法を用いて, ベクトル $|φ⟩, |ψ⟩ ∈ H$ の内積は $⟨φ | ψ⟩$ $⟨φ | ψ⟩$ と書く. 例えば, $H$ の基底 $\{ |m⟩ \}$ とその双対基底 $\{ ⟨n| \}$ は $⟨n | m⟩ = δ_{nm}$ を満たす. また, 双対写像はブラベクトルに右から作用する: $A^{\dagger} ∈ \mathrm{End}_K (H^{*})$ で $⟨(A |φ⟩), \ ⟩ = ⟨φ| A^{\dagger}$. 線形変換 $A ∈ \mathrm{End}_ℂ (H)$ が Hermite 変換, つまり $⟨φ| (A |ψ⟩) = (⟨φ| A) |ψ⟩$ であるとき, これを単に $⟨A⟩{ψ}$ と書く. また, $|φ⟩^{\dagger} := ⟨φ|$, $⟨φ|^{\dagger} := |φ⟩$ と定義すれば $(A |φ⟩)^{\dagger} = ⟨φ| A^{\dagger}$ が得られる.

複素数体 $ℂ$ 上のベクトル空間 $H$ の基底 $\{ |n⟩ \}$ に対し, 線形写像 $|n⟩ ⟨n|$ を射影写像という: ケットベクトル $|φ⟩ = ∑_m φ_m |m⟩$ に対し, $|n⟩ ⟨n | φ⟩ = φ_n |n⟩$. また, $∑_n |n⟩ ⟨n| = 1_H$ である. 線形変換 $A ∈ \mathrm{End}_ℂ (H)$ の固有値 $\{ a_n \}$ にそれぞれ属する固有ベクトル $\{ |a_n⟩ \}$ はベクトル空間 $H$ の基底であり, $A$ は射影写像 $|a_n⟩ ⟨a_n|$ の線形結合で表される: $A = ∑_n a_n |a_n⟩ ⟨a_n|$.

参考文献

• 三宅 敏恒 『線形代数学―初歩からジョルダン標準形へ』 (培風館, 2008)
• 池田 岳 『テンソル代数と表現論』 (東京大学出版会, 2022)