調和振動子まとめ

; draft

ポテンシャルが

V(x)=12mω2x2V(x)=\frac12mω^2x^2

で与えられる1次元粒子を調和振動子という1. ここでは, 調和振動子および非調和項を含むポテンシャル

V(x)=12mω2x2+λx4V(x) = \frac12mω^2x^2+λx^4

中の粒子の古典論とその量子化を考える.

古典論

調和振動子の Lagrangian は

L(x,x˙,t)=12mx˙212mω2x2L(x,\.x,t) = \frac12m\.x^2 - \frac12mω^2x^2

である. Euler-Lagrange 方程式

LxddtLx˙=0\pdv{L}{x} - \dv{}{t}\pdv{L}{\.x} = 0

に代入すれば

mω2xmx¨=0-mω^2x - m\"x = 0

が得られ, xx に関する運動方程式

x¨=ω2x\"x = -ω^2x

が得られる. 初期条件 x(0)=ax(0)=a, x˙(0)=0\.x(0)=0 として xx の解を求めよう. 一般解は

x(t)=Acosωt+Bsinωtx(t) = A \cos ωt + B \sin ω t

であるが, 初期条件 a=x(0)=Aa = x(0) = A, 0=x˙(0)=ωB0 = \.x(0) = ωB より, A=aA=a, B=0B=0. したがって, xx の解は

x(t)=acosωtx(t) = a \cos ωt

と求まる. この解を x0(t)x_0(t) と書くことにする. つまり,

{(}d[d2]t+ω2)x0(t)=0\qty(\dv[2]{}{t}+ω^2)x_0(t)=0

を満たす.

非調和項を含むときの Lagrangian は

L(x,x˙,t)=12mx˙212mω2x2λx4L(x,\.x,t) = \frac12m\.x^2 - \frac12mω^2x^2 - λx^4

である. Euler-Lagrangian 方程式に代入すれば,

mω2x4λx3mx¨=0- mω^2x - 4λx^3 - m\"x=0

が得られ, xx に関する運動方程式

x¨=ω2x4λmx3\"x = - ω^2x - \frac{4λ}{m} x^3

が得られる. 先程と同様, 初期条件 x(0)=ax(0)=a, x˙(0)=0\.x(0)=0 として xx の解を求めるが, 今回の場合では厳密に解くことができない. そこで, x(t)x(t)λλ について展開することを考える. すなわち,

x(t)=x0(t)+λx1(t)+λ2x2(t)+x(t) = x_0(t) + λx_1(t) + λ^2 x_2(t) + \cdots

とする. 運動方程式の右辺第一項を左辺へ移項すれば

{(}d[d2]t+ω2)x(t)=4λmx3=4λm0dt[δ(tt)]x3(t)\qty(\dv[2]{}{t}+ω^2)x(t) = -\frac{4λ}{m}x^3 = \frac{4λ}{m}∫_0^∞\d{t'}[-δ(t-t')]x^3(t')

であるから, 時間 tt の関数 GR(t)G_R(t) (遅延 Green 関数と呼ばれる)を

{(}d[d2]t+ω2)GR(t)=δ(t)\qty(\dv[2]{}{t}+ω^2)G_R(t)=-δ(t)

と定義すれば, 解はこの GR(t)G_R(t) を使って

x(t)=x0(t)+4λm0dtGR(tt)x3(t)x(t) = x_0(t) + \frac{4λ}{m}∫_0^∞\d{t'}G_R(t-t')x^3(t')

と書ける. この式の右辺にこの式自身を繰り返し代入することで, 帰納的に λλ による展開係数が求まる. すなわち,

x1(t)=4m0dtGR(tt)x03(t),x2(t)=12m0dtGR(tt)x02(t)x1(t)=48m20dt0dtGR(tt)x02(t)GR(tt)x0(t)\begin{aligned} x_1(t) &= \frac4m ∫_0^∞\d{t'} G_R(t-t') x_0^3(t'), \\ x_2(t) &= \frac{12}m ∫_0^∞\d{t'} G_R(t-t') x_0^2(t')x_1(t') \\ &= \frac{48}{m^2} ∫_0^∞\d{t'}∫_0^∞\d{t''} G_R(t-t') x_0^2(t') G_R(t'-t'') x_0(t'') \\ \end{aligned}

と計算できる.

参考文献

Footnotes

  1. 簡単のため, ここでは粒子の質量は m=0m=0 とする.