色々な Gauss 積分

1変数 Gauss 積分

最も簡単な形の Gauss 積分は

である¹. 実際, $I = ∫ \d{x}\ e^{-\frac12x^2}$ とすれば,

となって, $I = \sqrt{2π}$ がわかる.

以下のように, 実数の係数が付く場合の Gauss 積分も, 簡単な変数変換をすることで順に確かめることができる:

• $\displaystyle ∫ \d{x}\ e^{-\frac12ax^2} = \sqrt{\frac{2π}{a}}. \quad (a>0)$
  ∵ 変数変換 $y = \sqrt{a}x$, $\d{y} = \sqrt{a} \d{x}$ して $y$ で積分.

• $\displaystyle ∫ \d{x}\ e^{-\frac12a(x-x_0)^2} = \sqrt{\frac{2π}{a}}. \quad (a>0)$
  ∵ 変数変換 $y=x-x_0$, $\d{y} = \d{x}$ して $y$ で積分.

• $\displaystyle ∫ \d{x}\ e^{-\frac12ax^2 + bx + c} = \sqrt{\frac{2π}{a}} e^{\frac{b^2}{2a} + c}. \quad (a>0)$
  ∵ 平方完成 $-\frac12ax^2 + bx + c = -\frac12 a\pqty{x - \frac{b}{a}}^2 + \frac{b^2}{2a} + c$ して積分.

また, 係数が複素数であるときにも, いくつかの場合で同様の公式が成立する:

• $\displaystyle ∫\d{x}\ e^{-\frac12a(x-χ_0)^2} = \sqrt{\frac{2π}{a}}. \quad$ $(a>0,\ χ_0∈\mathbb{C})$
  ∵ $\mathbb{C}$ 平面上 $-R→R→R-β→-R-β→-R$ なる平行四辺形の経路で $e^{-\frac12 az^2}$ を複素積分し, 極限 $R→0$.

• $\displaystyle ∫\d{x}\ e^{-\frac12α(x-χ_0)^2} = \sqrt{\frac{2π}{α}}. \quad (α,χ_0∈\mathbb{C},\ \operatorname{Re} α > 0)$
  ∵ $e^{-\frac12a(x-β)^2}$ に対する Gauss 積分で $a$ を $\operatorname{Re} α > 0$ に解析接続.

• $\displaystyle ∫\d{x}\ e^{-\frac12αx^2 + βx + γ} = \sqrt{\frac{2π}{α}} e^{\frac{β^2}{2α} + γ}. \quad (α,β,γ∈\mathbb{C},\ \operatorname{Re} α > 0)$
  ∵ 平方完成 $-\frac12αx^2 + βx + γ = -\frac12 α\pqty{x - \frac{β}{α}}^2 + \frac{β^2}{2α} + γ$ して積分.

• $\displaystyle ∫\d{x}\ e^{-\frac12ax^2+ikx} = \sqrt{\frac{2π}{a}} e^{-\frac12 \frac{k^2}{a}}. \quad (a>0)$
  ∵ 平方完成 $-\frac12ax^2 + ikx = -\frac12 a\pqty{x - \frac{ik}{a}}^2 - \frac12 \frac{k^2}{a}$ して積分.

• $\displaystyle ∫\d{x}\ e^{\frac{i}2 a(x-x_0)^2} = \sqrt{\frac{2πi}{a}}. \quad (a≠0)$²
  ∵ 変数変換 $y=x-x_0$ をした後, $\mathbb{C}$ 平面上 $-R→R→Re^{iπ/4}→-Re^{iπ/4}→-R$ なる扇形を2つ貼り合わせたような経路で $e^{\frac{i}2 az^2}$ を複素積分し, 極限 $R→0$.

公式がたくさんあるように思えるが, 実際の計算ではとにかく平方完成して次の形に持っていくだけでよい:

収束しないときは, それまでの計算を見直すべきだろう.

応用

1. 平均 $x_0$, 分散 $σ^2$ の正規分布 $\mathcal{N}(x_0,σ^2)$ の実軸上での積分:
   確率密度関数 $\displaystyle ρ(x) = \frac1{\sqrt{2πσ^2}} e^{-\frac12 \frac{(x-x_0)^2}{σ^2}}$ を実軸上で積分して,

   $$∫\d{x}\ ρ(x) = \frac1{\sqrt{2πσ^2}} ∫\d{x}\ e^{-\frac12\frac{(x-x_0)^2}{σ^2}} = \frac1{\sqrt{2πσ^2}} × \sqrt{2πσ^2} = 1.$$

2. 正規分布 $\mathcal{N}(x_0,σ^2)$ の Fourier 変換:
   確率密度関数 $\displaystyle ρ(x) = \frac1{\sqrt{2πσ^2}} e^{-\frac12 \frac{(x-x_0)^2}{σ^2}}$ を Fourier 変換して,

   $$\mathcal{F}[ρ(x)](k) ≡ ∫ \frac{\d{x}}{\sqrt{2π}} ρ(x) e^{-ikx} = \frac1{\sqrt{2πσ^2}} ∫ \frac{\d{x}}{\sqrt{2π}} e^{-\frac12 \frac{(x-x_0)^2}{σ^2} -ikx}.$$

   ここで, 指数関数の肩を平方完成すると,

   $$-\frac12 \frac{(x-x_0)^2}{σ^2} -ikx = -\frac12 \frac1{σ^2} [x + i(σ^2k + ix_0)] - \frac1{2} \frac{k^2}{1/σ^2} - ikx_0$$

   となるから, Gauss 積分を実行して

   $$\mathcal{F}[ρ(x)](k) = \frac1{\sqrt{2πσ^2}} × \sqrt{2πσ^2} × \frac1{\sqrt{2π}} e^{- \frac1{2} \frac{k^2}{1/σ^2} - ikx_0} = \frac{e^{- ikx_0}}{\sqrt{2π}} e^{- \frac1{2} \frac{k^2}{1/σ^2}}$$

   となる. 正規分布の Fourier 変換も Gauss 型の関数になっている.

3. ガンマ関数の $1/2$ での値:
   ガンマ関数の定義式 $\displaystyle Γ(z) = ∫_0^∞ \d{t}\ t^{z-1} e^{-t}$ に $z=1/2$ を代入して,

   $$Γ\pqty{\frac12} = ∫_0^∞ \d{t}\ t^{-\frac12} e^{-t} = \sqrt{2} ∫_0^∞ \d{s}\ e^{-\frac12s^2} = \frac1{\sqrt{2}} ∫ \d{s}\ e^{-\frac12s^2} = \sqrt{π}.$$

   ただし, 2つ目のイコールで $s = \sqrt{2} t^{\frac12}$, $\d{s} = \frac1{\sqrt{2}} t^{-\frac12} \d{t}$ と変数変換した. 反対に $Γ(1/2) = \sqrt{π}$ を既知として Gauss 積分を証明することもできる.

多変数 Gauss 積分

最も簡単な多変数への拡張は, $N$ 変数 $\bm{x}=(x^1,\ldots,x^N)^⊤$ に対して

である. ただし $\bm{x}^⊤ \bm{x} = |\bm{x}|^2 = (x^1)^2 + \cdots + (x^N)^2$ である. 実際, $e^{-\frac12 \bm{x}^{\top} \bm{x}} = e^{-\frac12 \sum_{j=1}^N x_j^2} = \prod_{j=1}^N e^{-\frac12 (x^j)^2}$ であるから,

となる.

指数関数の肩を二次形式に拡張しよう. 正定値の対称行列 $A$ に対して,

が成立する. 実際, $A$ を対角化 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(λ_1,\cdots,λ_N)$ して $\dim{P}=1$ となるような直交行列 $P$ が存在し, 変数変換 $\bm{y}=P^{-1}\bm{x}$, $\d{{}^N \bm{y}}=\d{{}^N \bm{x}}$ すると, 指数関数が $e^{-\frac12 \bm{x}^⊤ A \bm{x}} = e^{-\frac12 \bm{y}^⊤ P^{-1}AP \bm{y}} = e^{-\frac12 \sum_{j=1}^N λ_j (y^j)^2} = \prod_{j=1}^N e^{-\frac12 λ_j (y^j)^2}$ となるから,

となる.