Galilei 変換

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Newton 力学とは, 運動方程式

F=mx¨\bm{F} = m \"{\bm{x}}

で特徴付けられる力学である. この力学は, Galilei 変換と呼ばれる次の時間・空間変換で不変であるという特徴がある1.

  1. Galilei ブースト:
t⟼t′=t,x⟼x′=x+vt.t \longmapsto t'=t, \quad \bm{x} \longmapsto \bm{x}'=\bm{x}+\bm{v}t.
  1. 時間・空間並進:
t⟼t′=t+s,x⟼x′=x+a.t \longmapsto t'=t+s, \quad \bm{x} \longmapsto \bm{x}'=\bm{x}+\bm{a}.
  1. 時間反転: λ=±1λ = ±1 に対し,
t⟼t′=λt,x⟼x′=x.t \longmapsto t'=λt, \quad \bm{x} \longmapsto \bm{x}'=\bm{x}.
  1. 空間回転・反転: 直交行列 RR に対し,
t⟼t′=t,x⟼x′=Rx.t \longmapsto t'=t, \quad \bm{x} \longmapsto \bm{x}'=R\bm{x}.

あるいは, 一つにまとめて, Galilei 変換は

t⟼t′=t+s,x⟼x′=Rx+vt+at \longmapsto t'=t+s, \quad \bm{x} \longmapsto \bm{x}'=R\bm{x}+\bm{v}t+\bm{a}

と書ける. または, 行列を用いて

(1tx)⟼(1t′x′)=(100sλ0avR)(1tx)\pmqty{1 \\ t \\ \bm{x}} \longmapsto \pmqty{1 \\ t' \\ \bm{x}'} = \pmqty{1 & 0 & 0 \\ s & λ & 0 \\ \bm{a} & \bm{v} & R} \pmqty{1 \\ t \\ \bm{x}}

と簡単に書ける. det⁡R≠0\det R ≠ 0 であることから, この係数の行列は

det⁡(100sλ0avR)≠0\det \pmqty{1 & 0 & 0 \\ s & λ & 0 \\ \bm{a} & \bm{v} & R} ≠ 0

となり, 逆行列は

(100sλ0avR)−1=(100−λsλ0−R⊤(a−vλs)−λR⊤vR⊤)\pmqty{1 & 0 & 0 \\ s & λ & 0 \\ \bm{a} & \bm{v} & R}^{-1} = \pmqty{1 & 0 & 0 \\ -λs & λ & 0 \\ -R^{\top}\pqty{\bm{a}-\bm{v}λs} & -λR^{\top}\bm{v} & R^{\top}}

で与えられる. これらの行列から明らかなように, Galilei 変換は群の公理を満たし, 変換の全体を Galilei 群という. 特に λ=1λ=1, det⁡R=1\det R=1 である変換は恒等変換と連結であり, この変換を固有順時 Galilei 変換という. 以下ではこの場合のみを考える.

ところで, Galilei 変換に対して作用が不変なとき, 保存量は何になるだろうか. 微小 Galilei 変換を調べよう.

TODO: 生成子の話

(1tx)⟼(1t′x′)=(1tx)+(000s00avR−1)(1tx)=(1tx)+(0sa+vt+(R−1)x)\begin{aligned} \pmqty{1 \\ t \\ \bm{x}} \longmapsto \pmqty{1 \\ t' \\ \bm{x}'} &= \pmqty{1 \\ t \\ \bm{x}} + \pmqty{0 & 0 & 0 \\ s & 0 & 0 \\ \bm{a} & \bm{v} & R-1} \pmqty{1 \\ t \\ \bm{x}} \\ &= \pmqty{1 \\ t \\ \bm{x}} + \pmqty{0 \\ s \\ \bm{a} + \bm{v}t + \pqty{R-1}\bm{x}} \end{aligned}

Footnotes

  1. むしろ「正規直交座標系から Galilei 変換で結ばれる座標系で Newton 力学が成立する」と言うべきである. このような座標系を「慣性系」という. ↩