汎関数の計算

ここでは定義域が関数であるような関数を汎関数 functional とする. 例えば, \(F:(A→B)→C\) など. このとき, \(φ:A→B\) を用いて \(F[φ(x)]∈C\) と書く. ただし表記中 \(x∈A\) は「ダミー」であって, 汎関数の定義中で用いられる文字である. 誤解が無いとき \(F[φ]\) と略記される. \(F[φ(x)]\) が汎関数であるとき, 通常の関数 \(g:C→D\) を用いた \(g(F[φ(x)])\) もまた汎関数である.

以下では物理において頻出する汎関数の基本的な計算方法についてまとめる. ここでは数学的な厳密性は一切考慮しない. 高校微積分程度の理解を目指している1.

汎関数の考え方

区間 \(I∈[a,b]\) で実数に値を取る関数 \(φ(x)\) に対し, 汎関数 \(F[φ(x)]\) を考える. \(I\) の分割 \(a = x_0 < ⋯ < x_N = b\) に対し, \(φ_n := φ(x_n)\) として, ある関数 \(f_N(φ_0,…,φ_N)\) の分割数を極限まで増やしたものと見做すことができる. たとえば \(\displaystyle F[φ(x)] = ∫_a^b \d{x} φ(x)\) では, Riemann 積分の考え方を用いて,

\[f_N(φ_0,…,φ_N) = ∑_{n=1}^{N} φ_n (x_n - x_{n-1}) (x_n - x_{n-1}) \overset{N→∞}{⟶} ∫_a^b \d{x} φ(x) = F[φ(x)].\]

または, 等間隔な分割 \(\displaystyle x_n := a + \frac{n(b-a)}{N}\), \(\displaystyle Δx := \frac{b-a}{N}\) に対し, 例えば \(φ(x) := x^2\) とすると,

\[f_N(x_1^2,…,x_N^2) = ∑_{n=1}^{N} x_n^2 \Delta{x} \overset{N→∞}{⟶} ∫_a^b \d{x} x^2 = F[x^2].\]

汎関数の例

以下は汎関数である:

  1. 積分 \(\displaystyle I[φ(x)] = ∫ \d{x} φ(x)\).

  2. 代入 \(\displaystyle S[φ(x)](x') = φ(x') = ∫ \d{x} φ(x) δ(x-x')\).

  3. Fourier 変換 \(\displaystyle \mathcal{F}[φ(x)](k) = ∫ \frac{\d{x}}{\sqrt{2πℏ}} φ(x) e^{-(i/ℏ) kx}\).

  4. Fourier 逆変換 \(\displaystyle \mathcal{F}^{-1}[\~φ(k)](x) = ∫ \frac{\d{k}}{\sqrt{2πℏ}} \~φ(k) e^{(i/ℏ) kx}\); 実際 \(\mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[φ(\~x)](k)](x) = φ(x)\).

汎関数微分

汎関数 \(F[φ(x)]\) の点 \(y\) における汎関数微分は

\[\fdv{F[φ(x)]}{φ(y)} := \lim_{h→0} \frac{F[φ(x) + hδ(x-y)] - F[φ(x)]}{h}.\]

汎関数微分の計算例

以下の汎関数 \(F[φ(x)]\) について汎関数微分 \(\displaystyle \fdv{F[φ(x)]}{φ(y)}\) を計算する:

  1. \(\displaystyle F[φ(x)] = ∫ \d{x} g(x) φ(x)\):
\[\begin{aligned} \fdv{}{φ(y)} ∫ \d{x} g(x) φ(x) &= \lim_{h→0} \frac1h \bqty{∫ \d{x} g(x) (φ(x) + hδ(x-y)) - ∫ \d{x} g(x) φ(x)} \\ &= \lim_{h→0} \frac1h ∫ \d{x} g(x) hδ(x-y) \\ &= ∫ \d{x} g(x) δ(x-y) = g(y). \end{aligned}\]
  1. \(F[φ(x)] = φ(x')\):
\[\fdv{φ(x')}{φ(y)} = \fdv{}{φ(y)} ∫ \d{z} δ(x'-z) φ(z) = δ(x'-y).\]
  1. \(\displaystyle F[φ(x)] = ∫ \d{x} g(φ(x))\):
\[\begin{aligned} \fdv{}{φ(y)} ∫ \d{x} g(φ(x)) &= \lim_{h→0} \frac1h \bqty{∫ \d{x} g(φ(x) + hδ(x-y)) - ∫ \d{x} g(φ(x))} \\ &= \lim_{h→0} \frac1h \qty{∫ \d{x} \bqty{h \dv{g(φ(x))}{φ(x)} δ(x-y) + O(h^2)}} \\ &= \lim_{h→0} \frac1h \bqty{h \dv{g(φ(y))}{φ(y)} + O(h^2)} \\ &= \dv{g(φ(y))}{φ(y)}. \end{aligned}\]

汎関数冪級数

連続な汎関数は Tayler 級数に相当する以下の冪級数に展開することができる. これを Volterra 級数 Volterra series という:

\[\begin{aligned} F[φ(x)] &= F[0] + ∫ \d{y} \fdv{F[φ(x)]}{φ(y)} φ(y) + \frac12 ∫ \d{y_1} ∫ \d{y_2} \frac{δ^2F[φ(x)]}{δφ(y_1) δφ(y_2)} φ(y_1) φ(y_2) + ⋯ \\ &= ∑_{n = 0}^∞ \frac1{n!} ∫ \d{y_1} ⋯ ∫ \d{y_n} \frac{δ^n F[φ(x)]}{δφ(y_1)⋯δφ(y_n)} φ(y_1)⋯φ(y_n), \end{aligned}\]

または微小な関数 \(η(x)\) を用いて,

\[\begin{aligned} F[φ(x) + η(x)] &= F[φ(x)] + ∫ \d{y} \fdv{F[φ(x)]}{φ(y)} η(y) + \frac12 ∫ \d{y_1} ∫ \d{y_2} \frac{δ^2F[φ(x)]}{δφ(y_1) δφ(y_2)} η(y_1) η(y_2) + ⋯ \\ &= ∑_{n = 0}^∞ \frac1{n!} ∫ \d{y_1} ⋯ ∫ \d{y_n} \frac{δ^n F[φ(x)]}{δφ(y_1)⋯δφ(y_n)} η(y_1)⋯η(y_n). \end{aligned}\]

\(n\) 階汎関数微分 \(\displaystyle \frac{δ^n F[φ(x)]}{δφ(y_1)⋯δφ(y_n)}\) が \(y_1,…,y_n\) について対称であると仮定して, \(\displaystyle \fdv{{}^n F}{φ^n}\) と略記する. また,

\[\fdv{{}^n F}{φ^n} * φ^n := ∫ \d{y_1} ⋯ ∫ \d{y_n} \frac{δ^n F[φ(x)]}{δφ(y_1)⋯δφ(y_n)} φ(y_1)⋯φ(y_n)\]

とすると, Volterra 級数は以下のように書き直せる:

\[F[φ(x)] = ∑_{n = 0}^∞ \frac1{n!} \fdv{{}^n F}{φ^n} * φ^n.\]

冪級数を用いた汎関数微分の計算例

以下の汎関数について汎関数微分を計算する:

  1. \(\displaystyle \fdv{{}^n F}{φ^n} * φ^n\):
\[\begin{aligned} &\ \fdv{}{φ(y)} \pqty{\fdv{{}^n F}{φ^n} * φ^n} \\ =&\ \lim_{h→0} \frac1h \left[∫ \d{y_1} ⋯ ∫ \d{y_n} \frac{δ^n F[φ(x) + hδ(x - y)]}{δφ(y_1)⋯δφ(y_n)} φ(y_1)⋯φ(y_n)\right. \\ &\qquad\qquad\quad - \left.∫ \d{y_1} ⋯ ∫ \d{y_n} \frac{δ^n F[φ(x)]}{δφ(y_1)⋯δφ(y_n)} φ(y_1)⋯φ(y_n)\right] \\ =&\ \lim_{h→0} \frac1h ∫ \d{z} \fdv{}{z} \pqty{∫ \d{y_1} ⋯ ∫ \d{y_n} \frac{δ^n F[φ(x)]}{δφ(y_1)⋯δφ(y_n)} φ(y_1)⋯φ(y_n)} hδ(z - y) \\ =&\ \lim_{h→0} \frac1h ∑_{i=0}^n ∫ \d{y_1} ⋯ ∫ \d{y_n} \frac{δ^n F[φ(x)]}{δφ(y_1)⋯δφ(y_n)} φ(y_1)⋯\widehat{φ(y_i)}⋯φ(y_n) hδ(y_i-y) \\ =&\ n ∫ \d{y_1} ⋯ ∫ \d{y_{n-1}} \frac{δ^n F[φ(x)]}{δφ(y)δφ(y_1)⋯δφ(y_{n-1})} φ(y_1)⋯φ(y_{n-1}) \\ =&\ n \fdv{}{φ(y)} \pqty{\fdv{{}^{n-1} F}{φ^{n-1}}} * φ^{n-1}. \end{aligned}\]
  1. \(g(F[φ(x)])\):
\[\begin{aligned} \fdv{g(F[φ(x)])}{φ(y)} &= \lim_{h→0} \frac1h \bqty{g(F[φ(x) + hδ(x-y)]) - g(F[φ(x)])} \\ &= \lim_{h→0} \frac1h \bqty{g \pqty{F[φ(x)] + ∫ \d{z} \fdv{F[φ(x)]}{φ(z)} hδ(z-y) + O(h^2)} - g(F[φ(x)])} \\ &= \lim_{h→0} \frac1h \bqty{g \pqty{F[φ(x)] + h \fdv{F[φ(x)]}{φ(y)} + O(h^2)} - g(F[φ(x)])} \\ &= \lim_{h→0} \frac1h \bqty{h \dv{g(φ(x))}{φ(x)} \fdv{F[φ(x)]}{φ(y)} + O(h^2)} \\ &= \dv{g(φ(x))}{φ(x)} \fdv{F[φ(x)]}{φ(y)}. \end{aligned}\]

汎関数積分

\(I\) 上の関数 \(φ(x)\) 上の汎関数 \(F[φ(x)]\) の汎関数積分は,

\[\begin{aligned} ∫ \mathcal{D} [φ(x)] F[φ(x)] &:= \frac1{θ} \pqty{∏_{x∈I} ∫ \d{φ(x)}} F[φ(x)] \\ &:= \lim_{N→∞} \frac1{θ(N)} ∫ \d{φ_0} ⋯ ∫ \d{φ_N} f_N(φ_0,…,φ_N). \end{aligned}\]

ただし, \(θ\) は有限値に収束させるための正規化因子である. また, \(f_N(φ_0,…,φ_N)\) は汎関数の考え方のものと同じで, 例えば \(F[φ(x)] = ∫_I\d{x}g(φ(x))\) であるとき, 積分範囲 \(I = [x_0, x_N]\) の \(N\) 等分割 \(x_0,…,x_N\), \(Δx=(x_N-x_0)/N\), \(x_n=x_0+nΔx\), \(φ_n:=φ(x_n)\) を用いて, \(f_N(φ_0,…,φ_N) = ∑_{n=1}^{N} g(φ_m) Δx\) \(\overset{N→∞}{⟶} F[φ(x)]\) である. 誤解が無いとき, \(∫ \mathcal{D} φ F[φ]\) と略記される.

\(\varphi(x)\) の端を固定した汎関数積分も重要である:

\[\begin{aligned} ∫_{φ_0}^φ \mathcal{D} [φ(x)] F[φ(x)] &:= \left. \frac1{θ} \pqty{∏_{x∈I} ∫ \d{φ(x)}} F[φ(x)] \right|_{φ_0}^φ \\ &:= \lim_{N→∞} \frac1{θ(N)} ∫ \d{φ_1} ⋯ ∫ \d{φ_{N-1}} f_N(φ_0,φ_1,…,φ_{N-1},φ). \end{aligned}\]

これは, 端点を固定した経路について経路上各点について積分した積になっていることから, 経路積分とも呼ばれる.

汎関数積分の計算例

以下の汎関数 \(F[φ(x)]\) について汎関数積分 \(\displaystyle I(φ) = ∫_{φ_0}^φ \mathcal{D} [φ(x)] F[φ(x)]\) を計算する. ただし, \(\displaystyle ∫ \d{φ} I(φ) = 1\) として正規化する:

  1. \(\displaystyle F[φ(x)] = \exp \bqty{i ∫_a^b \d{x} \pqty{\dv{\varphi(x)}{x}}^2}\):
\[\begin{aligned} I(φ) &= ∫_{φ(a)=φ_0}^{φ(b)=φ} \mathcal{D} [φ(x)] \exp \bqty{i ∫_a^b \d{x} \pqty{\dv{\varphi(x)}{x}}^2} \\ &= \lim_{N→∞} \frac1{θ(N)} ∫ \d{φ_1} ⋯ ∫ \d{φ_{N-1}} \exp \bqty{i ∑_{n=1}^N \pqty{\frac{φ_n - φ_{n-1}}{Δx}}^2 Δx}_{φ_0=φ_0}^{φ_N=φ} \quad \pqty{Δx := \frac{b-a}{N}} \\ &= \lim_{N→∞} \frac1{θ(N)} ∫ \d{φ_1} ⋯ ∫ \d{φ_{N-1}} \exp \bqty{\frac{i}{Δx} ∑_{n=1}^N (φ_n - φ_{n-1})^2}_{φ_0=φ_0}^{φ_N=φ} \\ &= \lim_{N→∞} \frac1{θ(N)} ∫ \d{φ_1} ⋯ ∫ \d{φ_{N-1}} \exp \qty{\frac{i}{Δx} \bqty{(φ - φ_{N-1})^2 + ∑_{k=1}^{N-1} (φ_{N-k} - φ_{N-(k+1)})^2}}_{φ_0=φ_0}. \end{aligned}\]

ここで,

\[\begin{aligned} & ∫ \d{φ_{N-k}} \exp \qty{\frac{i}{Δx} \bqty{\frac1k (φ - φ_{N-k})^2 + (φ_{N-k} - φ_{N-(k+1)})^2}} \\ =& ∫ \d{φ_{N-k}} \exp \qty{\frac{i}{Δx} \bqty{\frac{k+1}k φ_{N-k}^2 - 2 \pqty{\frac1k φ + φ_{N-(k+1)}} φ_{N-k} + \pqty{\frac1k φ^2 + φ_{N-(k+1)}^2}}} \\ =& ∫ \d{φ_{N-k}} \exp \bqty{\frac{i}{Δx} \frac{k+1}k φ_{N-k}^2 - \frac{i}{Δx} 2 \pqty{\frac1k φ + φ_{N-(k+1)}} φ_{N-k} + \frac{i}{Δx} \pqty{\frac1k φ^2 + φ_{N-(k+1)}^2}} \\ =& \sqrt{\frac{k}{k+1}} \sqrt{iπΔx} \exp \bqty{- \frac{i}{Δx} \frac{k}{k+1} (φ + φ_{N-(k+1)})^2 + \frac{i}{Δx} \pqty{\frac1k φ^2 + φ_{N-(k+1)}^2}} \\ & \quad \pqty{∵ ∫ \d{x} \exp \pqty{-iax^2+ibx} = \sqrt{\frac{π}{ia}} \exp \pqty{\frac{ib^2}{4a}} } \\ =& \sqrt{\frac{k}{k+1}} \sqrt{iπΔx} \exp \bqty{\frac{i}{Δx} \frac1{k+1} \pqty{φ - φ_{N-(k+1)}}^2} \end{aligned}\]

より, \(k=1,…,N-1\) で順に積分することで,

\[\begin{aligned} I(φ) &= \lim_{N→∞} \frac1{θ(N)} \sqrt{\frac12} \sqrt{\frac23} ⋯ \sqrt{\frac{N-1}{N}} \pqty{\sqrt{iπΔx}}^{N-1} \exp \bqty{\frac{i}{NΔx} \pqty{φ - φ_0}^2} \\ &= \lim_{N→∞} \frac1{θ(N)} \frac1{\sqrt{N}} \pqty{iπΔx}^{(N-1)/2} \exp \bqty{\frac{i}{NΔx} \pqty{φ - φ_0}^2}. \end{aligned}\]

ここで, 定数 \(C\) を用いて \(θ(N) = \pqty{iπΔx}^{N/2}/C\) とすれば,

\[\begin{aligned} I(φ) &= \lim_{N→∞} \frac{C}{\pqty{iπΔx}^{N/2}} \frac1{\sqrt{N}} \pqty{iπΔx}^{(N-1)/2} \exp \bqty{\frac{i}{NΔx} \pqty{φ - φ_0}^2} \\ &= \lim_{N→∞} \frac{C}{\sqrt{iπNΔx}} \exp \bqty{\frac{i}{NΔx} \pqty{φ - φ_0}^2} \\ &= \frac{C}{\sqrt{iπ(b-a)}} \exp \bqty{i \frac{(φ - φ_0)^2}{b-a}}. \end{aligned}\]

また, 正規化条件より定数 \(C\) を決定する:

\[∫ \d{φ} I(φ) = ∫ \d{φ} \frac{C}{\sqrt{iπ(b-a)}} \exp \bqty{i \frac{(φ - φ_0)^2}{b-a}} = C = 1.\]

したがって,

\[I(φ) = ∫_{φ(a)=φ_0}^{φ(b)=φ} \mathcal{D} [φ(x)] \exp \bqty{i ∫_a^b \d{x} \pqty{\dv{\varphi(x)}{x}}^2} = \frac1{\sqrt{iπ(b-a)}} \exp \bqty{i \frac{(φ - φ_0)^2}{b-a}}.\]

参考文献

Footnotes

  1. それすら怪しいかもしれない. 気付いたことがあれば随時更新する.