代数学

集合 \(G\) と写像 \(μ : G × G → G\) に対して, 以下の3条件を考える.

  1. 結合律: \(μ(μ(x, y), z) = μ(x, μ(y, z))\),
  2. 単位元の存在: \(∃ e ∈ G\), \(μ(x, e) = μ(e, x) = x\),
  3. 逆元の存在: \(∃ x' ∈ G\), \(μ(x, x') = μ(x', x) = e\),
  4. 可換律: \(μ(x, y) = μ(y, x)\).

組 \((G, μ)\) あるいは単に \(G\) について, 条件1を満たすものを半群 semi-group, 条件1,2を満たすものをモノイド monoid, 条件1,2,3を満たすものを group, 条件1,2,3,4を満たすものを可換群 commutative group あるいは Abel 群 abelian group という. \(μ(x, y) =: x ⋅ y =: xy\), \(e =: 1\), \(x' =: x^{-1}\) などと表記される. また, 可換群において, \(μ(x, y) =: x + y\), \(e =: 0\), \(x' =: -x\) などと表記される.

群 \(G\) が有限集合であるとき, \(G\) を有限群 finite group という. このとき, \(G\) の濃度を \(G\) の位数 order といい, \(|G|\) と書く. 群 \(G\) が有限群でないとき, \(G\) を無限群 infinite group という.

群 \(G\) の元 \(g\) に対して, \(g^n = e\) となる \(n ∈ ℕ\) が存在するとき, \(g\) は有限位数であるといい, またこれを満たす最小の \(n\) を \(g\) の位数といい, \(\mathrm{ord}(g)\) と書く. 位数 \(n\) の \(g\) の羃乗で作られる群を巡回群という.

集合 \(X\) から \(X\) への全単射の全体は, 写像の合成に関して群をなし, これを \(X\) の自己同型群といい, \(\mathrm{Aut}(X)\) と書く.

部分群と剰余類

群 \(G\) について, 部分集合 \(H⊂G\) が群の元 \(x,y∈H\) に対して \(xy^{-1}∈H\) を満たすとき, \(H\) を \(G\) の部分群という. また, 部分集合 \(S ⊂ G\) に対して, \(S\) を含む最小の部分群を \(S\) が生成する部分群 subgroup generated by \(S\) といい, \(⟨S⟩\) と書く. 特に \(G = ⟨S⟩\) であるとき, \(S\) を \(G\) の生成系 system of generators という.

群 \(G\) の部分群 \(H\) について, \(gH := \{ gh ∣ h ∈ H \} ⊂ G\) を左剰余類 left conset という. 左剰余類の全体を \(G/H\) と書く. 同様に右剰余類 \(Hg\) とその全体 \(H \backslash G\) が定まる.

群 \(G\) の部分群 \(H\) について, 群の元 \(g ∈ G\) に対し \(gHg^{-1} = H\) を満たす \(H\) を \(G\) の正規部分群 normal subgroup といい, \(H \triangleleft G\) と書く. 群の元 \(g, g' ∈ G\) に対して, \(G/H\) 上の演算 \((gH)(g'H) := (gg')H\) によって \(G/H\) は群となる. この群を商群 quotient group という.

準同型写像

群 \(G\), \(G'\) について, 写像 \(f : G → G'\) が群の元 \(x, y ∈ G\) に対し \(f(xy) = f(x) f(y)\) を満たすとき, \(f\) を \(G\) から \(G'\) への準同型写像 homomorphism, あるいは単に準同型 hommomorohic という. また, 準同型 \(f\) が全単射であるとき, \(f\) を同型写像 isomorphism, あるいは単に同型 isomorphic といい, \(G ≃ G'\) と書く.

準同型写像 \(f : G → G'\) に対して, 部分群 \(\Im f := \{ f(x) ∈ G' ∣ x ∈ G \}\) を \(f\) の, 部分群 \(\mathrm{Ker} f := \{ x ∈ G ∣ f(x) = e' ∈ G' \}\) を \(f\) のという. また, \(\mathrm{Ker} f\) は \(G\) の正規部分群である: \(\mathrm{Ker} f \triangleleft G\). また, \(\mathrm{Coker} f := G' / \Im f\) を余核 cokernel, \(\mathrm{Coim} f := G' / \mathrm{Ker} f\) を余像 coimage という.

群の作用

群 \(G\) と集合 \(X\) について, 準同型 \(ρ : G → \mathrm{Aut} (X)\) が与えられたとき, 群 \(G\) が集合 \(X\) に左作用する \(G\) acts on \(X\) あるいは単に作用するといい, \(g ⋅ x = gx := ρ(g) (x)\) と書く. このとき, \(g, h ∈ G\), \(x ∈ X\) に対し, \(g (hx) = (gh) x\), \(ex = x\) を満たす. また, この \(X\) を左 \(G\)-集合 left \(G\)-set あるいは単に \(G\)-集合 \(G\)-set という. 同様に右作用と右 \(G\)-集合も \(x ⋅ g = xg := ρ(g) (x)\) によって定義される.

群 \(G\) の \(X\) への作用 \(G × X → X\) に対して, \(Gx := \{ gx ∣ g ∈ G \}\) を \(x\) の軌道 orbit という. また, \(G_x := \{ g ∈ G ∣ gx = x \}\) を固定化部分群 stabilizer という. このとき, \(G\) の \(G_x\) による商群と軌道 \(Gx\) は同型である: \(G / G_x ≃ Gx\).

左 \(G\)-集合 \(X\) について, \(x ∈ X\) に対して \(Gx = X\) となる作用は推移的 transitive であるという. また, \(G_x = \{ e \}\) であるとき, この作用は単一推移的 simply transitive という.

環・体

集合 \(R\) に対して, 加法 \(+\) について Abel 群, 乗法 \(⋅\) について半群で, \(x, y, z ∈ R\) に対して分配法則 \(x (y + z) = x y + x z\), \((x + y) z = x z + y z\) を満たすとき, 組 \((R, +, ⋅)\) あるいは単に \(R\) を ring という.

乗法について可換である環を可換環 commutative ring という. 乗法について群である環を斜体 skew field または可除環 division ring という. 乗法について可換群である環, つまり可換環かつ斜体である環を可換体 commutative ring または単に field という.

環 \(R\) が任意の元 \(x, y ∈ R\) について \(x, y ≠ 0\) ならば \(xy ≠ 0\) であるとき, \(R\) を整環 domain という. 聖域である可換環を特に整域 integral domain という.

部分環

環 \(R\) の加法に関する部分群 \(S\) について, \(S\) が \(R\) の乗法で閉じている, つまり任意の \(S\) の元 \(x, y ∈ S\) について \(xy ∈ S\) であるとき, \(S\) を \(R\) の部分環 subring という.

環 \(R\) 部分環 \(\{ x∈R ∣ ∀y∈R, xy=yx \}\) を \(R\) の中心といい, \(Z(R)\) と書く.

環準同型

環 \(G\), \(G'\) について, 写像 \(φ : R → R'\) が環の元 \(x, y ∈ R\) に対し \(fφ(x + y) = φ(x) + φ(y)\), \(φ(xy) = φ(x) φ(y)\) を満たすとき, \(φ\) を \(R\) から \(R'\) への環準同型写像 ring homomorphism, あるいは単に環準同型 ring hommomorohic という.

代数

環 \(R\) に対し, 環 \(S\) および環準同型 \(ρ : R → Z(S)\) の組 \((R, ρ)\) または単に \(S\) を \(R\) 上の代数 algebra または \(R\) 代数という.

体 \(K\) 上の代数 \(S\) について, \(S\) の \(K\) 上の基底 \(\{ e_μ \}\) に対し

\[e_μ e_ν = {a^λ}_{μν} e_λ\]

を満たす \({a^λ}_{μν} ∈ K\) を \(S\) の構造定数 structure constant という.

環上の加群

環 \(R\) に対し, Abel 群 \(M\) の加法 \(+\) と写像 \(λ : R × M → M\) が \(a, b ∈ R\), \(m, m' ∈ R\) に対し以下の条件を満たすとき, 組 \((M, +, λ)\) または単に \(M\) を \(R\) 上の左加群 left module over \(R\) または単に左 \(R\) 加群 left \(R\)-module, \(R\) 加群 \(R\)-module という:

  1. Abel 群の加法に対するスカラー作用の分配律: \(λ(a, m + m') = λ(a, m) + λ(a, m')\),
  2. 環の加法に対するスカラー作用の分配則: \(λ(a + b, m) = λ(a, m) + λ(a, m')\),
  3. 環の乗法とスカラー作用の両立条件: \(λ(ab, m) = λ(a, λ(b, m))\),
  4. スカラー作用の単位元の存在: \(λ(1, m) = m\).

\(R\) 上の右加群または右 \(R\)-加群も同様に定義される.

参考文献