代数学

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群

集合 GG と写像 μ:G×G→Gμ:G×G→G に対して, 以下の4条件を考える.

  1. 結合律 associativity: μ(μ(x,y),z)=μ(x,μ(y,z))μ(μ(x,y),z)=μ(x,μ(y,z)),
  2. 単位元の存在 identity: ∃e∈G{}^∃e∈G, μ(x,e)=μ(e,x)=xμ(x,e)=μ(e,x)=x,
  3. 逆元の存在 inverse: ∃x′∈G{}^∃x'∈G, μ(x,x′)=μ(x′,x)=eμ(x,x')=μ(x',x)=e,
  4. 可換律 commutativity: μ(x,y)=μ(y,x)μ(x,y)=μ(y,x).

組 (G,μ)(G,μ) あるいは単に GG について, 条件1を満たすものを半群 semi-group, 条件1,2を満たすものをモノイド monoid, 条件1,2,3を満たすものを群 group, 条件1,2,3,4を満たすものを可換群 commutative group あるいは Abel 群 abelian group, 加法群 addictive group, 加群1などという. μ(x,y)=:x⋅y=:xyμ(x, y) =: x ⋅ y =: xy, e=:1e =: 1, x′=:x−1x' =: x^{-1} などと表記される. また, Abel 群において, μ(x,y)=:x+yμ(x,y)=:x+y, e=:0e=:0, x′=:−xx'=:-x などと表記されることも多い.

1. 結合律2. 単位元3. 逆元4. 可換律
半群◯---
モノイド◯◯--
群◯◯◯-
Abel 群◯◯◯◯

群 GG が有限集合であるとき, GG を有限群 finite group という. このとき, GG の濃度を GG の位数 order といい, ∣G∣|G| と書く. 群 GG が有限群でないとき, GG を無限群 infinite group という.

群 GG の元 gg に対して, gn=eg^n = e となる n∈Nn ∈ ℕ が存在するとき, gg は有限位数であるという. また, これを満たす最小の nn を gg の位数といい, ord⁡(g)\operatorname*{ord}(g) と書く. 位数 nn の gg の羃乗で作られる群を巡回群という.

集合 XX から XX への全単射の全体は, 写像の合成に関して群をなし, これを XX の自己同型群といい, Aut⁡(X)\operatorname*{Aut}(X) と書く.

部分群と剰余類

群の部分集合が積に対してまた群であるとき, この部分集合を部分群 subgroup という. これは, 群 GG の部分集合 H⊂GH⊂G が元 x,y∈Hx,y∈H に対して xy−1∈Hxy^{-1}∈H を満たすことと必要十分である. 部分集合 S⊂GS ⊂ G に対して, SS を含む最小の部分群を SS が生成する部分群 subgroup generated by SS といい, ⟨S⟩⟨S⟩ と書く. 特に G=⟨S⟩G = ⟨S⟩ であるとき, SS を GG の生成系 system of generators という.

群 GG の部分群 HH について, gH:={gh∣h∈H}⊂GgH := \{ gh \mid h ∈ H \} ⊂ G を左剰余類 left conset という. 左剰余類の全体を G/HG/H と書く. 同様に右剰余類 HgHg とその全体 H\GH \backslash G が定まる.

群 GG の部分群 HH について, 群の元 g∈Gg ∈ G に対し gHg−1=HgHg^{-1} = H を満たす HH を GG の正規部分群 normal subgroup といい, H◃GH \triangleleft G と書く. 群の元 g,g′∈Gg, g' ∈ G に対して, G/HG/H 上の演算を

(gH)(g′H):=(gg′)H(gH)(g'H) := (gg')H

と定義すると, G/HG/H は群となる. この群を商群 quotient group という. また, 商群 G/HG/H の元(左剰余類)を [g]:=gH[g]:=gH と書く. これはちょうど, x,y∈Gx,y∈G に対して同値関係を x∼y:⇔xy−1∈Hx∼y:⇔xy^{-1}∈H と定義したときの同値類 [x]={y∈G∣x∼y}[x]=\{y∈G \mid x∼y\} に等しい.

準同型写像

群 GG, G′G' について, 写像 f:G→G′f : G → G' が群の元 x,y∈Gx, y ∈ G に対し

f(xy)=f(x)f(y)f(xy) = f(x) f(y)

を満たすとき, ff を GG から G′G' への準同型写像 homomorphism, あるいは単に準同型 hommomorohic といい, 準同型の全体を Hom⁡(G,G′)\operatorname*{Hom}(G,G') と書く. また, 群 GG, G′G' に対し, 群の図式

G→fG′∥∥←f′\begin{CD} G @>{f}>> G' \\ @| \circlearrowleft & @| \\ G @<<{f'}< G' \end{CD}

が可換になるような準同型 f:G→G′f:G→G', f′:G′→Gf':G'→G が存在するとき, ff を同型写像 isomorphism という. このとき, GG, G′G' は 同型 isomorphic といい, G≃G′G ≃ G' と書く. これは準同型 f:G→G′f:G→G' が全単射であることが必要十分である.

準同型 f:G→G′f : G → G' に対し, 群 G′G' の部分群 Im⁡f:={f(x)∈G′∣x∈G}\operatorname*{Im}f:=\{f(x)∈G' \mid x∈G\} を ff の像 image, 群 GG の正規部分群 Ker⁡f:={x∈G∣f(x)=e′}\operatorname*{Ker}f:=\{x∈G \mid f(x)=e'\} を ff の核 kernel という. また, Coker⁡f:=G′/Im⁡f\operatorname*{Coker}f:=G'/\operatorname*{Im}f を余核 cokernel, Coim⁡f:=G/Ker⁡f\operatorname*{Coim}f:=G/\operatorname*{Ker}f を余像 coimage という. 余像と像は同型

Coim⁡f=G/Ker⁡f≃Im⁡f\operatorname*{Coim} f = G/\operatorname*{Ker} f ≃ \operatorname*{Im} f

である(準同型定理).

群の作用

群 GG と集合 XX について, 準同型 ρ:G→Aut⁡(X)ρ:G→\operatorname*{Aut}(X) が与えられたとき, 群 GG が集合 XX に左作用する GG acts on XX あるいは単に作用するといい, g⋅x=gx:=ρ(g)(x)g⋅x=gx:=ρ(g)(x) と書く. このとき, g,h∈Gg,h∈G, x∈Xx∈X に対し, g(hx)=(gh)xg(hx)=(gh)x, ex=xex=x を満たす. また, この XX を左 GG-集合 left GG-set あるいは単に GG-集合 GG-set という. 同様に右作用と右 GG-集合も x⋅g=xg:=ρ(g)(x)x⋅g=xg:=ρ(g)(x) によって定義される.

群 GG の XX への作用 G×X→XG×X→X に対して, Gx:={gx∣g∈G}Gx:=\{gx \mid g∈G\} を xx の軌道 orbit という. また, Gx:={g∈G∣gx=x}G_x:=\{g∈G \mid gx=x\} を固定化部分群 stabilizer という. このとき, GG の GxG_x による商群と軌道 GxGx は同型である: G/Gx≃GxG/G_x≃Gx.

左 GG-集合 XX について, x∈Xx∈X に対して Gx=XGx=X となる作用は推移的 transitive であるという. また, Gx={e}G_x=\{e\} であるとき, この作用は単一推移的 simply transitive という.

環・体

和 (R,+)(R,+) が Abel 群(単位元 00), 積 (R,⋅)(R,⋅) が半群である集合 RR について, 以下の3条件を考える.

  1. 分配則: x(y+z)=xy+xzx(y+z)=xy+xz, (x+y)z=xz+yz(x+y)z=xz+yz,
  2. 乗法の可換律: xy=yxxy=yx,
  3. 乗法の単位元, 逆元の存在: x1=1xx1=1x, yy−1=y−1y=1yy^{-1}=y^{-1}y=1 (ただし y≠0y≠0)

組 (R,+,⋅)(R,+,⋅) あるいは単に RR について, 条件1を満たすものを環 ring, 条件1,2を満たすものを可換環 commutative ring, 条件1,3を満たすものを斜体 skew field または可除環 division ring, 条件1,2,3を可換体 commutative ring または単に体 field という.

1. 分配則2. 乗法の可換律3. 乗法の単位元, 逆元
環◯--
可換環◯◯-
斜体◯-◯
体◯◯◯

環 RR が任意の元 x,y∈Rx,y∈R について x,y≠0x,y≠0 ならば xy≠0xy≠0 であるとき, RR を整環 domain という. 整環である可換環を特に整域 integral domain という.

部分環と剰余類

環 RR の加法に関する部分群 SS について, SS が RR の乗法で閉じている, つまり任意の SS の元 x,y∈Sx, y ∈ S について xy∈Sxy ∈ S であるとき, SS を RR の部分環 subring という.

環 RR 部分環 {x∈R∣∀y∈R,xy=yx}\{x∈R \mid ∀y∈R,xy=yx\} を RR の中心といい, Z(R)Z(R) と書く.

環 RR の部分集合 II が以下の2条件を満たすとき, II を 環 RR のイデアル ideal という.

環 RR 自身も環 RR のイデアルである. 環 RR のイデアルのうち, RR 以外で集合の包含関係に関して極大なものを極大イデアル maximal ideal という.

環 RR のイデアル II に対し, 和に対する左剰余類の全体 R/I:={x+I∣x∈R}R/I:=\{x+I \mid x∈R\} を考える. 環の元 r,r′∈Rr,r'∈R に対して R/IR/I 上の演算を

(r+I)+(r′+I):=(r+r′)+I,(r+I)(r′+I):=rr′+I\begin{gathered} (r+I)+(r'+I):=(r+r')+I, \\ (r+I)(r'+I):=rr'+I \end{gathered}

と定義すると, R/IR/I は環となる. この環を剰余環 residue ring または商群 quotient ring という. また, 商群 R/IR/I の元(左剰余類)を [r]:=r+I[r]:=r+I と書く. これはちょうど, x,y∈Rx,y∈R に対して同値関係を x∼y:⇔x−y∈Ix∼y:⇔x-y∈I と定義したときの同値類 [x]={y∈R∣x∼y}[x]=\{y∈R \mid x∼y\} に等しい.

環準同型

環 GG, G′G' について, 写像 φ:R→R′φ : R → R' が環の元 x,y∈Rx, y ∈ R に対し

φ(x+y)=φ(x)+φ(y),φ(xy)=φ(x)φ(y)φ(x+y)=φ(x)+φ(y),\quad φ(xy)=φ(x)φ(y)

を満たすとき, φφ を RR から R′R' への環準同型写像 ring homomorphism, あるいは単に環準同型 ring hommomorohic という. また, 環 RR, R′R' に対し, 環の図式

R→fR′∥∥←f′\begin{CD} R @>{f}>> R' \\ @| \circlearrowleft & @| \\ R @<<{f'}< R' \end{CD}

が可換になるような環準同型 f:R→R′f:R→R', f′:R′→Rf':R'→R が存在するとき, ff を環同型写像 ring isomorphism という. このとき, RR, R′R' は 環同型 ring isomorphic といい, R≃R′R ≃ R' と書く.

代数

可換環 kk に対し, 環 RR の中心への環準同型 ρ:k→Z(R)ρ:k→Z(R) が与えられたとき, 組 (R,ρ)(R,ρ) または単に RR を kk 上の代数 algebra または kk-代数といい, ff をその結合射という. 環は Z\mathbb{Z}-代数である.

kk-代数 RR, SS 間の環準同型 f:R→Sf:R→S に対して, 環の図式

k→Z(R)→ιR∥↺↓fk→Z(S)→ιS\begin{CD} k @>>> Z(R) @>{ι}>> R \\ @| & \circlearrowleft & @VV{f}V \\ k @>>> Z(S) @>{ι}>> S \end{CD}

が可換であるとき, ff を kk-代数準同型 kk-algebra homomorphism という. ただし, ιι は包含写像.

体 KK 上の代数 SS について, SS の KK 上の基底 {eμ}\{e_μ\} に対し

eμeν=aλμνeλe_μ e_ν = {a^λ}_{μν} e_λ

を満たす aλμν∈K{a^λ}_{μν}∈K を SS の構造定数 structure constant という.

参考文献

Footnotes

  1. Abel 群は整数環 Z\mathbb{Z} 上の加群でもあるため, この呼び方は一概に間違っているとは言えない. ↩