集合論

集合

はっきりと特徴付けを持った数学的対象の集まりを集合 set という. 集合に属する数学的対象を元 element といい, 元 \(a\) が集合 \(A\) に属していることを \(a∈A\) と書く. 集合 \(A\), \(B\) に対して, \(A\) の元すべてが \(B\) の元でもあるとき(つまり \(a∈A\) ならば \(a∈B\) であるとき), \(A\) は \(B\) の部分集合 subset であるといい, \(A⊂B\) と書く. 特に \(A⊂B\) かつ \(A⊃B\) であるとき, \(A\) と \(B\) は等しく, \(A=B\) と書く.

写像

集合 \(A\) の任意の元 \(a∈A\) に対し集合 \(B\) のある元 \(b\) を対応させる規則 \(f\) を写像 map といい, \(f:A→B\) あるいは \(f(a)=b\) と書く. \(A\) の部分集合 \(A'\) に対し, \(A'\) のすべての元を写像 \(f\) で写した \(B\) の元の集合を \(A'\) の \(f\) による像 image といい, \(f(A')\) と書く. つまり,

である. 特に \(A\) 全体の \(f\) にうよる像を \(\operatorname*{Im}f := f(A)\) と書く. また, \(B\) の部分集合 \(B'\) に対し, \(f\) によって \(B'\) の元に写されるような \(A\) の元の集合を \(B'\) の \(f\) による逆像 inverse image といい, \(f^{-1}(B')\) と書く. つまり,

である.