集合論

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集合

はっきりと特徴付けを持った数学的対象の集まりを集合 set という. 集合に属する数学的対象を element といい, 元 aa が集合 AA に属していることを aAa∈A と書く. 集合 AA, BB に対して, AA の元すべてが BB の元でもあるとき(つまり aAa∈A ならば aBa∈B であるとき), AABB部分集合 subset であるといい, ABA⊂B と書く. 特に ABA⊂B かつ ABA⊃B であるとき, AABB は等しく, A=BA=B と書く.

写像

集合 AA の任意の元 aAa∈A に対し集合 BB のある元 bb を対応させる規則 ff写像 map といい, f:ABf:A→B あるいは f(a)=bf(a)=b と書く. AA の部分集合 AA' に対し, AA' のすべての元を写像 ff で写した BB の元の集合を AA'ff による image といい, f(A)f(A') と書く. つまり,

f(A):={f(a)BaA}Bf(A') := \{f(a)∈B \mid a∈A'\} ⊂ B

である. 特に AA 全体の ff にうよる像を Imf:=f(A)\operatorname*{Im}f := f(A) と書く. また, BB の部分集合 BB' に対し, ff によって BB' の元に写されるような AA の元の集合を BB'ff による逆像 inverse image といい, f1(B)f^{-1}(B') と書く. つまり,

f1(B):={aAf(a)B}Af^{-1}(B') := \{a∈A \mid f(a)∈B'\} ⊂ A

である.