回転行列と生成子
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座標回転を考える. ある直交座標系 \(K\) で粒子の位置が \(\bm{x}=(x^i)_{i=1,2,3}\) だったとする.
\[\bm{x}' = R \bm{x} \qq{or} x'^i = {R^i}_j x^j\] \[δ_{ij} {R^i}_k {R^j}_{\ell} = δ_{k\ell}\]両辺に \(δ^{km}\) をかけて
\[R^{\top}R = 1 \qq{or} {R_j}^m {R^j}_{\ell} = δ^m_{\ell}\] \[R = I + ε \qq{or} {R^i}_j = δ^i_j + {ϵ^i}_j \quad ({ϵ^i}_j ≪ 1)\] \[δ_{ij} {R^i}_k {R^j}_{\ell} = δ_{ij} (δ^i_k + {ϵ^i}_k)(δ^j_{\ell} + {ϵ^j}_{\ell}) = δ_{k\ell} + δ_{i\ell} {ϵ^i}_k + δ_{kj} {ϵ^j}_{\ell} + O(ϵ^2) = δ_{k\ell}\] \[ϵ_{ji} + ϵ_{ij} = 0.\] \[\bm{x}' = \qty(1-\frac{i}2ϵ^{k\ell}M_{k\ell}) \bm{x}\]