回転行列と生成子

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座標回転を考える. ある直交座標系 KK で粒子の位置が x=(xi)i=1,2,3\bm{x}=(x^i)_{i=1,2,3} だったとする.

x′=Rx or x′i=Rijxj\bm{x}' = R \bm{x} \qq{or} x'^i = {R^i}_j x^j δijRikRjℓ=δkℓδ_{ij} {R^i}_k {R^j}_{\ell} = δ_{k\ell}

両辺に δkmδ^{km} をかけて

R⊤R=1 or RjmRjℓ=δℓmR^{\top}R = 1 \qq{or} {R_j}^m {R^j}_{\ell} = δ^m_{\ell} R=I+ε or Rij=δji+ϵij(ϵij≪1)R = I + ε \qq{or} {R^i}_j = δ^i_j + {ϵ^i}_j \quad ({ϵ^i}_j ≪ 1) δijRikRjℓ=δij(δki+ϵik)(δℓj+ϵjℓ)=δkℓ+δiℓϵik+δkjϵjℓ+O(ϵ2)=δkℓδ_{ij} {R^i}_k {R^j}_{\ell} = δ_{ij} (δ^i_k + {ϵ^i}_k)(δ^j_{\ell} + {ϵ^j}_{\ell}) = δ_{k\ell} + δ_{i\ell} {ϵ^i}_k + δ_{kj} {ϵ^j}_{\ell} + O(ϵ^2) = δ_{k\ell} ϵji+ϵij=0.ϵ_{ji} + ϵ_{ij} = 0. x′=(1−i2ϵkℓMkℓ)x\bm{x}' = \pqty{1-\frac{i}2ϵ^{k\ell}M_{k\ell}} \bm{x}