環上の加群

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環上の加群

\(k\)-代数 \(R\) に対し, Abel 群 \(M\) の加法 \(+\) と写像 \(λ:R×M→M\) が \(a,b∈R\), \(m,m'∈M\) に対し以下の条件を満たすとき, 組 \((M,+,λ)\) または単に \(M\) を \(R\) 上の左加群 left module over \(R\) または左 \(R\)-加群 left \(R\)-module, 単に \(R\)-加群 \(R\)-module という.

  1. Abel 群の加法に対するスカラー作用の分配律: \(λ(a,m+m')=λ(a,m)+λ(a,m')\),
  2. 環の加法に対するスカラー作用の分配則: \(λ(a+b,m)=λ(a,m)+λ(b,m)\),
  3. 環の乗法とスカラー作用の両立条件: \(λ(ab,m)=λ(a,λ(b,m))\),
  4. スカラー作用の単位元の存在: \(λ(1,m)=m\).

\(R\) 上の右加群または右 \(R\)-加群も同様に定義される. Abel 群は \(\mathbb{Z}\)-加群である. 実際, Abel 群 \(G\) の要素 \(g\) に対して

\[n \cdot g := \underbrace{g+g+\cdots+g}_n, \quad (-1) \cdot g:=-g, \quad 0 \cdot g:=0\]

と定義すれば, 加法 \(+\) と写像 \(\cdot : \mathbb{Z}×G→G\) について \(G\) は左 \(\mathbb{Z}\) の定義を満たす.

部分加群と剰余類

\(R\)-加群 \(M\) の部分集合 \(N\) について, \(N\) がまた \(R\)-加群であるとき, \(N\) を \(M\) の部分 \(R\)-加群 submodule という.

\(R\)-加群 \(M\) の部分加群 \(N\) に対し, 和に対する左剰余類の全体 \(M/N:=\{m+N \mid m∈M\}\) を考える. \(R\)-加群の元 \(m,m'∈M\) と \(x∈R\) に対して \(M/N\) 上の演算を

\[\begin{gathered} (m+N)+(m'+N):=(m+m')+N, \\ x(m+N):=xm+N \end{gathered}\]

と定義すると, \(M/N\) は \(R\)-加群となる. これを商加群 quotient \(R\)-module という. また, 商加群 \(M/N\) の元(左剰余類)を \([m]:=m+N\) と書く. これはちょうど, \(m,n∈M\) に対して同値関係を \(m∼n:⇔m-n∈N\) と定義したときの同値類 \([m]=\{m∈M \mid m∼n\}\) に等しい.

\(R\)-準同型

\(R\)-加群 \(M\), \(M'\) について, 写像 \(f:M→M'\) が \(a,b∈R\) と \(m,n ∈ M\) に対し

\[f(am+bn)=af(m)+bf(n)\]

を満たすとき, \(f\) を \(M\) から \(M'\) への \(R\)-準同型写像 \(R\)-homomorphism, あるいは単に \(R\)-準同型 \(R\)-hommomorohic という. \(M\) から \(M'\) への \(R\)-準同型全体を \(\operatorname*{Hom}_R(M,M')\) と書く. また, 環 \(M\), \(M'\) に対し, \(R\)-加群の図式

\[\begin{CD} M @>{f}>> M' \\ @| \circlearrowleft & @| \\ M @<<{f'}< M' \end{CD}\]

が可換になるような \(R\)-準同型 \(f:M→M'\), \(f':M'→M\) が存在するとき, \(f\) を \(R\)-同型写像 \(R\)-isomorphism という. このとき, \(M\), \(M'\) は \(R\)-同型 \(R\)-isomorphic といい, \(M ≃ M'\) と書く.

参考文献