調和振動子まとめ

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ポテンシャルが

\[V(x)=\frac12mω^2x^2\]

で与えられる1次元粒子を調和振動子という1. ここでは, 調和振動子および非調和項を含むポテンシャル

\[V(x) = \frac12mω^2x^2+λx^4\]

中の粒子の古典論とその量子化を考える.

古典論

調和振動子の Lagrangian は

\[L(x,\.x,t) = \frac12m\.x^2 - \frac12mω^2x^2\]

である. Euler-Lagrange 方程式

\[\pdv{L}{x} - \dv{}{t}\pdv{L}{\.x} = 0\]

に代入すれば

\[-mω^2x - m\"x = 0\]

が得られ, \(x\) に関する運動方程式

\[\"x = -ω^2x\]

が得られる. 初期条件 \(x(0)=a\), \(\.x(0)=0\) として \(x\) の解を求めよう. 一般解は

\[x(t) = A \cos ωt + B \sin ω t\]

であるが, 初期条件 \(a = x(0) = A\), \(0 = \.x(0) = ωB\) より, \(A=a\), \(B=0\). したがって, \(x\) の解は

\[x(t) = a \cos ωt\]

と求まる. この解を \(x_0(t)\) と書くことにする. つまり,

\[\qty(\dv[2]{}{t}+ω^2)x_0(t)=0\]

を満たす.

非調和項を含むときの Lagrangian は

\[L(x,\.x,t) = \frac12m\.x^2 - \frac12mω^2x^2 - λx^4\]

である. Euler-Lagrangian 方程式に代入すれば,

\[- mω^2x - 4λx^3 - m\"x=0\]

が得られ, \(x\) に関する運動方程式

\[\"x = - ω^2x - \frac{4λ}{m} x^3\]

が得られる. 先程と同様, 初期条件 \(x(0)=a\), \(\.x(0)=0\) として \(x\) の解を求めるが, 今回の場合では厳密に解くことができない. そこで, \(x(t)\) を \(λ\) について展開することを考える. すなわち,

\[x(t) = x_0(t) + λx_1(t) + λ^2 x_2(t) + \cdots\]

とする. 運動方程式の右辺第一項を左辺へ移項すれば

\[\qty(\dv[2]{}{t}+ω^2)x(t) = -\frac{4λ}{m}x^3 = \frac{4λ}{m}∫_0^∞\d{t'}[-δ(t-t')]x^3(t')\]

であるから, 時間 \(t\) の関数 \(G_R(t)\) (遅延 Green 関数と呼ばれる)を

\[\qty(\dv[2]{}{t}+ω^2)G_R(t)=-δ(t)\]

と定義すれば, 解はこの \(G_R(t)\) を使って

\[x(t) = x_0(t) + \frac{4λ}{m}∫_0^∞\d{t'}G_R(t-t')x^3(t')\]

と書ける. この式の右辺にこの式自身を繰り返し代入することで, 帰納的に \(λ\) による展開係数が求まる. すなわち,

\[\begin{aligned} x_1(t) &= \frac4m ∫_0^∞\d{t'} G_R(t-t') x_0^3(t'), \\ x_2(t) &= \frac{12}m ∫_0^∞\d{t'} G_R(t-t') x_0^2(t')x_1(t') \\ &= \frac{48}{m^2} ∫_0^∞\d{t'}∫_0^∞\d{t''} G_R(t-t') x_0^2(t') G_R(t'-t'') x_0(t'') \\ \end{aligned}\]

と計算できる.

参考文献

Footnotes

  1. 簡単のため, ここでは粒子の質量は \(m=0\) とする. ↩