一般相対論

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反変べクトルと共変ベクトル

{eμ(x)}\{\bm{e}_μ(\bm{x})\} の双対基底を {Wμ(x)}\{\bm{W}^μ(\bm{x})\} とする. それぞれの基底で張られるベクトル u=uμeμ(x)\bm{u} = u^μ \bm{e}_μ(\bm{x}), V=VμWμ(x)\bm{V} = V_μ \bm{W}^μ(\bm{x}) について, uμu^μ を反変ベクトル, VμV_μ を共変ベクトルという. 以降, わかりやすいように

⟨V,u⟩≡V(u)⟨\bm{V},\bm{u}⟩ ≡ \bm{V}(\bm{u})

と書くことにする. つまり, 反変ベクトルの基底 {Wμ(x)}\{\bm{W}^μ(\bm{x})\} は

⟨Wμ(x),eν(x)⟩=δνμ⟨\bm{W}^μ(\bm{x}),\bm{e}_ν(\bm{x})⟩ = δ^μ_ν

を満たすから,

⟨V,u⟩=⟨VμWμ(x),uνeν(x)⟩=Vμuν⟨Wμ(x),eν(x)⟩=Vμuμ⟨\bm{V},\bm{u}⟩ = ⟨V_μ \bm{W}^μ(\bm{x}), u^ν \bm{e}_ν(\bm{x})⟩ = V_μ u^ν ⟨\bm{W}^μ(\bm{x}),\bm{e}_ν(\bm{x})⟩ = V_μ u^μ

となる.

反変ベクトルの共変微分

点 x\bm{x} から有限変位 ΔxΔ\bm{x} 移した点 x′≡x+Δx\bm{x}'≡\bm{x}+Δ\bm{x} について, ベクトル場 u(x)\bm{u}(\bm{x}) と u(x′)\bm{u}(\bm{x}') を比較する. u(x)\bm{u}(\bm{x}) を点 x′\bm{x}' 上に平行移動したベクトルを u∥(x′)\bm{u}_{\parallel}(\bm{x}') として, 差を

Δu(x′)≡u(x′)−u∥(x′)Δ\bm{u}(\bm{x}') ≡ \bm{u}(\bm{x}') - \bm{u}_{\parallel}(\bm{x}')

とする. 点 x′\bm{x}' 上の基底ベクトル {eμ(x′)}\{\bm{e}_μ(\bm{x}')\} で展開して,

Δu(x′)=Δuμ(x′)eμ(x′),u∥(x′)=u∥μ(x′)eμ(x′),u(x′)=uμ(x′)eμ(x′)\begin{aligned} Δ\bm{u}(\bm{x}') &= Δu^μ(\bm{x}') \bm{e}_μ(\bm{x}'), \\ \bm{u}_{\parallel}(\bm{x}') &= {u_{\parallel}}^μ(\bm{x}') \bm{e}_μ(\bm{x}'), \\ \bm{u}(\bm{x}') &= u^μ(\bm{x}') \bm{e}_μ(\bm{x}') \\ \end{aligned}

とする. 有限変位を Δx=Δxβ(x′)eβ(x′)Δ\bm{x} = Δx^β(\bm{x}')\bm{e}_β(\bm{x}') と展開すると, 変位とベクトルの差の関係は

Δuμ(x′)=Δuμ(x′)Δxβ(x′)Δxβ(x′)=uμ(x′)−u∥μ(x′)Δxβ(x′)Δxβ(x′).Δu^μ(\bm{x}') = \frac{Δu^μ(\bm{x}')}{Δx^β(\bm{x}')} Δx^β(\bm{x}') = \frac{u^μ(\bm{x}')-u^μ_{\parallel}(\bm{x}')}{Δx^β(\bm{x}')} Δx^β(\bm{x}').

と書き表せる. さて, 有限変位を Δx→dxΔ\bm{x}→\d{\bm{x}}, Δxβ(x′)→dxβ(x′)Δx^β(\bm{x}')→\d{x^β(\bm{x}')} と無限小にして, 共変微分を

∇βuμ≡lim⁡Δx→0uμ(x′)−u∥μ(x′)Δxβ(x′),∇βu≡∇βuμeμ(x)=lim⁡Δx→0u(x′)−u∥(x′)Δxβ(x′)∇_βu^μ ≡ \lim_{Δx→0} \frac{u^μ(\bm{x}')-u^μ_{\parallel}(\bm{x}')}{Δx^β(\bm{x}')}, \quad ∇_β\bm{u} ≡ ∇_βu^μ \bm{e}_μ(\bm{x}) = \lim_{Δx→0} \frac{\bm{u}(\bm{x}')-\bm{u}_{\parallel}(\bm{x}')}{Δx^β(\bm{x}')}

と定義する. つまり, dx=dxβ eβ(x)\d{\bm{x}} = \d{x^β}\,\bm{e}_β(\bm{x}) に対して

du=dxβ∇βu=∇βuμdxβeμ(x)\d{\bm{u}} = \d{x^β} ∇_β\bm{u} = ∇_βu^μ \d{x^β} \bm{e}_μ(\bm{x})

と書ける. さて, 共変微分を u=uμeμ(x)\bm{u} = u^μ \bm{e}_μ(\bm{x}) に作用させたとき

∇βu=(∂βuμ)eμ(x)+uμ∇βeμ(x)∇_β \bm{u} = (∂_β u^μ) \bm{e}_μ(\bm{x}) + u^μ ∇_β \bm{e}_μ(\bm{x})

と定義する. また, 単位ベクトル eμ(x)\bm{e}_μ(\bm{x}) の共変微分を

∇βeμ(x)=Γαμβeα(x)∇_β \bm{e}_μ(\bm{x}) = {Γ^α}_{μβ} \bm{e}_α(\bm{x})

と定義すれば,

∇βu=(∂βuμ)eμ(x)+Γαμβuμeα(x)=(∂βuμ+Γμαβuα)eμ(x)\begin{gathered} ∇_β \bm{u} = (∂_β u^μ) \bm{e}_μ(\bm{x}) + {Γ^α}_{μβ} u^μ \bm{e}_α(\bm{x}) = (∂_β u^μ + {Γ^μ}_{αβ} u^α) \bm{e}_μ(\bm{x}) \end{gathered}

となる. したがって, 反変ベクトルの共変微分は

∇βuμ=∂βuμ+Γμαβuα∇_βu^μ = ∂_β u^μ + {Γ^μ}_{αβ} u^α

と求まる.

共変ベクトルの共変微分を求める.

∇β⟨Wμ(x),eν(x)⟩=⟨∇βWμ(x),eν(x)⟩+⟨Wμ(x),∇βeν(x)⟩=∇βδνμ=0,∴⟨∇βWμ(x),eν(x)⟩=−⟨Wμ(x),∇βeν(x)⟩=−⟨Wμ(x),Γανβeα(x)⟩=−Γμνβ\begin{gathered} ∇_β⟨\bm{W}^μ(\bm{x}),\bm{e}_ν(\bm{x})⟩ = ⟨∇_β\bm{W}^μ(\bm{x}),\bm{e}_ν(\bm{x})⟩ + ⟨\bm{W}^μ(\bm{x}),∇_β\bm{e}_ν(\bm{x})⟩ = ∇_βδ^μ_ν = 0, \\ ∴⟨∇_β\bm{W}^μ(\bm{x}),\bm{e}_ν(\bm{x})⟩ = - ⟨\bm{W}^μ(\bm{x}),∇_β\bm{e}_ν(\bm{x})⟩ = - ⟨\bm{W}^μ(\bm{x}), {Γ^α}_{νβ} \bm{e}_α(\bm{x})⟩ = -{Γ^μ}_{νβ} \end{gathered}

したがって, 共変ベクトルの基底の共変微分は

∇βWμ(x)=−ΓμνβWν(x)∇_β\bm{W}^μ(\bm{x}) = -{Γ^μ}_{νβ} \bm{W}^ν(\bm{x})

と求まる. V=VμWμ(x)\bm{V} = V_μ \bm{W}^μ(\bm{x}) に共変微分を作用させると

∇βV=(∂βVμ)Wμ(x)+Vμ∇βWμ(x)=(∂βVμ)Wμ(x)−ΓμνβVμWν(x)=(∂βVμ−ΓνμβVν)Wμ(x)∇_β\bm{V} = (∂_βV_μ) \bm{W}^μ(\bm{x}) + V_μ ∇_β\bm{W}^μ(\bm{x}) = (∂_βV_μ) \bm{W}^μ(\bm{x}) - {Γ^μ}_{νβ} V_μ \bm{W}^ν(\bm{x}) = (∂_βV_μ - {Γ^ν}_{μβ} V_ν) \bm{W}^μ(\bm{x})

となるから, 共変ベクトルの共変微分は

∇βVμ=∂βVμ−ΓνμβVν∇_βV_μ = ∂_βV_μ - {Γ^ν}_{μβ} V_ν

と求まる.

反変ベクトル uμu^μ の共変微分は

∇βuμ=∂βuμ+Γμνβuν,∇_βu^μ = ∂_β u^μ + {Γ^μ}_{νβ} u^ν,

共変ベクトル VμV_μ の共変微分は

∇βVμ=∂βVμ−ΓνμβVν∇_βV_μ = ∂_βV_μ - {Γ^ν}_{μβ} V_ν

である.

一般のテンソル

T=Tμ1⋯ν1⋯eμ1⊗⋯⊗Wν1⊗⋯\bm{T} = {T^{μ_1 \cdots}}_{ν_1 \cdots} \bm{e}_{μ_1} \otimes \cdots \otimes \bm{W}_{ν_1} \otimes \cdots

への共変微分も同様にして

∇βTμ1⋯ν1⋯=∂βTμ1⋯ν1⋯+∑nΓμnαβTμ1⋯α⋯ν1⋯−∑mΓανmβTμ1⋯ν1⋯α⋯∇_β {T^{μ_1 \cdots}}_{ν_1 \cdots} = ∂_β {T^{μ_1 \cdots}}_{ν_1 \cdots} + ∑_n {Γ^{μ_n}}_{αβ} {T^{μ_1 \cdots α \cdots}}_{ν_1 \cdots} - ∑_m {Γ^α}_{ν_mβ} {T^{μ_1 \cdots}}_{ν_1 \cdots α \cdots}

と求まる.