場の量子論ノート
正準量子化
場の解析力学における Poisson 括弧 \(\{⋅,⋅\}_\mathrm{P}\) に対し, 場の量子論における交換関係 \(\displaystyle -i[⋅,⋅]_\mathrm{H}\) が対応するという要請を正準量子化という:
\[\{A,B\}_\mathrm{P} \quad \xmapsto{\text{要請}} \quad -i[A_\mathrm{H},B_\mathrm{H}].\]正準変数 \((ϕ^α(t, \bm{x}), π_α(t, \bm{x}))\) に対して正準量子化すると,
\[\begin{aligned} \{ϕ^α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} &= δ^α_β δ^3(\bm{x}-\bm{x}'), \\ \xrightarrow{\text{正準量子化}} \quad - i [{ϕ^α}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}), {π_β}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}')] &= δ^α_β δ^3(\bm{x}-\bm{x}'), \\ ⇔ \quad [ϕ^α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')] &= i δ^α_β δ^3(\bm{x}-\bm{x}'). \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \{ϕ^α(t, \bm{x}), ϕ^β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} = \{π_α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} &= 0, \\ \xrightarrow{\text{正準量子化}} \quad - i [{ϕ^α}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}), {ϕ^β}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}')] = - i [{π_α}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}), {π_β}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}')] &= 0, \\ ⇔ \quad [ϕ^α(t, \bm{x}), ϕ^β(t, \bm{x}')] = [π_α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')] &= 0. \\ \end{aligned}\]したがって, 演算子 \((ϕ^α(t, \bm{x}), π_α(t, \bm{x}))\) の交換関係が得られる:
演算子 \((ϕ^α(t, \bm{x}), π_α(t, \bm{x}))\) は(同時刻)正準交換関係と呼ばれる以下の交換関係を満たす:
\[\begin{gathered} [ϕ^α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')] = i δ^α_β δ^3(\bm{x}-\bm{x}'), \\ [ϕ^α(t, \bm{x}), ϕ^β(t, \bm{x}')] = [π_α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')] = 0. \\ \end{gathered}\]生成・消滅演算子
演算子 \(a(\bm{p})\) とその Hermite 共役 \(a^{\dagger}(\bm{p})\) が次の交換関係を満たすとき, \(a(\bm{p})\) を消滅演算子 annihilation operator, \(a^{\dagger}(\bm{p})\) を生成演算子 creation operator という:
\[\begin{gathered} {}[a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p}')] = δ^3(\bm{p}-\bm{p}'), \\ [a(\bm{p}), a(\bm{p}')] = [a^{\dagger}(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p}')] = 0. \end{gathered}\]また, Hermite 演算子 \(n(\bm{p}) ≡ a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p})\) を数密度演算子, \(N≡∫\d{{}^3 \bm{p}} n(\bm{p}) = ∫\d{{}^3 \bm{p}} a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p})\) を数演算子 the number operation という.
\(N\) の固有値 \(c\) に属する固有状態を \(|ψ_c⟩\) とする:
\[N|Ψ_c⟩ = c|Ψ_c⟩.\]このとき, \(a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩\) は固有値 \(c+1\) に属する固有状態である:
\[\begin{aligned} Na^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩ &= ∫\d{{}^3 \bm{p}'} a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}') a^{\dagger}(\bm{p}) |Ψ_c⟩ \\ &= ∫\d{{}^3 \bm{p}'} a^{\dagger}(\bm{p}') \big\{ a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}') + δ^3(\bm{p}'-\bm{p}) \big\} |Ψ_c⟩ \\ &= a^{\dagger}(\bm{p}) \pqty{ ∫\d{{}^3 \bm{p}'} a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}') + 1} |Ψ_c⟩ \\ &= a^{\dagger}(\bm{p})(N + 1)|Ψ_c⟩ \\ &= (c + 1)a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩. \end{aligned}\]したがって \(|Ψ_{c+1}⟩\) は \(a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩\) を正規化して,
\[\begin{gathered} |Ψ_{c+1}⟩ = \frac{a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{⟨Ψ_c|a(\bm{p})a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩}} = \frac{a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{⟨Ψ_c|(N + 1)|Ψ_c⟩}} = \frac{a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{c+1}}. \\ ∴ a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩ = \sqrt{c+1}|Ψ_{c+1}⟩. \end{gathered}\]また, 同様に \(a(\bm{p})|Ψ_c⟩\) は固有値 \(c-1\) に属する固有状態である:
\[\begin{aligned} Na(\bm{p})|Ψ_c⟩ &= ∫\d{{}^3 \bm{p}'} a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}') a(\bm{p})|Ψ_c⟩ \\ &= ∫\d{{}^3 \bm{p}'} \qty{a(\bm{p}) a^{\dagger}(\bm{p}')-δ^3(\bm{p}'-\bm{p})} a(\bm{p}')|Ψ_c⟩ \\ &= a(\bm{p}) \pqty{ ∫\d{{}^3 \bm{p}'}a^{\dagger}(\bm{p}')a(\bm{p}') - 1} |Ψ_c⟩ \\ &= a(\bm{p}) (N - 1) |Ψ_c⟩ \\ &= (c - 1)a(\bm{p})|Ψ_c⟩. \end{aligned}\]したがって \(|Ψ_{c-1}⟩\) は \(a(\bm{p})|Ψ_c⟩\) を正規化して,
\[\begin{gathered} |Ψ_{c-1}⟩ = \frac{a(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{⟨Ψ_c|a^{\dagger}(\bm{p})a(\bm{p})|Ψ_c⟩}} = \frac{a(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{⟨Ψ_c|N|Ψ_c⟩}} = \frac{a(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{c}}. \\ ∴ a(\bm{p})|Ψ_c⟩ = \sqrt{c}|Ψ_{n-1}⟩. \end{gathered}\]特に \(c=0\) のときの状態 \(|Ψ_0⟩≡|0⟩\) を真空状態といい, \(a(\bm{p})|0⟩ = 0\) を満たす: \(⟨0| a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) |0⟩ ≥ 0\) かつ
\[∫\d{{}^3 \bm{p}} ⟨0| a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) |0⟩ = ⟨0| N |0⟩ = 0.\]\(c<0\) は許されない: ある固有値 \(c<0\) に属する固有状態 \(|Ψ_c⟩\) に対し,
\[c = ⟨Ψ_c|N|Ψ_c⟩ = ∫\d{{}^3 \bm{p}} ⟨Ψ_c|a^{\dagger}(\bm{p})a(\bm{p})|Ψ_c⟩ = ∫\d{{}^3 \bm{p}} ⟨a(\bm{p})Ψ_c|a(\bm{p})Ψ_c⟩ ≥ 0.\]ただし \(|a(\bm{p})Ψ_c⟩ ≡ a(\bm{p})|Ψ_c⟩\). これは \(c<0\) に矛盾する. したがって, \(c≥0\) である. また, \(c\) が正の非整数とすると, 繰り返し \(c\) を左右することで \(c\) を負にすることができてしまうから, \(c\) は非整数ではない. したがって, \(c = 0,1,2,…\).
状態 \(|\bm{p}⟩ ≡ a^{\dagger}(\bm{p})|0⟩\) は対応する粒子の運動量が \(\bm{p}\) の 1 粒子状態, \(|\bm{p},\bm{p}'⟩ ≡ a^{\dagger}(\bm{p})a^{\dagger}(\bm{p}')|0⟩\) は運動量 \(\bm{p}\), \(\bm{p}'\) の 2 粒子状態である. 一般に基底 \(\{|\bm{p}_1,\bm{p}_2,…⟩\}\) で張られる Hilbert 空間を Fock 空間という.
例: 実 Klein-Gordon 場
実 Klein-Gordon 場 \(ϕ(x)\) と一般化運動量 \(π(x)\) の平面波展開は
\[\begin{aligned} ϕ(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}}, \\ π(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} (-i) p_0 \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} - a^*(\bm{p}) e^{ipx}}. \\ \end{aligned}\]または \(a(\bm{p})\), \(a^*(\bm{p})\) について解いて,
\[\begin{aligned} a(\bm{p}) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{p_0 ϕ(x) + i π(x)} e^{ipx}, \\ a^{*}(\bm{p}) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{p_0 ϕ(x) - i π(x)} e^{-ipx}. \\ \end{aligned}\]これらの量を量子化する. 同時刻交換関係 \([ϕ(t,\bm{x}), π(t,\bm{x}')] = iδ^3(\bm{x}-\bm{x}')\) の下で \([a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p})]\) の括弧積を計算すると,
\[\begin{aligned} &\ [a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p'})] \\ =&\ \bqty{∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \qty{p_0 ϕ(t,\bm{x}) + i π(t,\bm{x})} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})}, ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} \qty{p_0' ϕ(t,\bm{x}') - i π(t,\bm{x}')} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x}')}} \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} \bqty{p_0 ϕ(t,\bm{x}) + i π(t,\bm{x}), p_0' ϕ(t,\bm{x}') - i π(t,\bm{x}')} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x}')} \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x}')} \\ &\ \qquad \quad × \qty{ p_0 p_0' \bqty{ϕ(t,\bm{x}), ϕ(t,\bm{x}')} - i p_0 \bqty{ϕ(t,\bm{x}),π(t,\bm{x}')} + i p_0' \bqty{π(t,\bm{x}), ϕ(t,\bm{x}')} + \bqty{π(t,\bm{x}), π(t,\bm{x}')} } \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x}')} \qty{p_0 δ^3(\bm{x} - \bm{x}') + p_0' δ^3(\bm{x} - \bm{x}')} \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x}')} (p_0 + p_0') δ^3(\bm{x} - \bm{x}') \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \frac{1}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x})} (p_0 + p_0') \\ =&\ \frac{p_0 + p_0'}{\sqrt{4p_0p'_0}} e^{i(p_0 - p_0')t} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{(2π)^3} e^{-i(\bm{p} - \bm{p}')⋅\bm{x}} = \frac{p_0 + p_0'}{\sqrt{4p_0p'_0}} e^{i(p_0 - p_0')t} δ^3(\bm{p} - \bm{p}') \\ =&\ δ^3(\bm{p} - \bm{p}'). \end{aligned}\]したがって \(a(\bm{p})\), \(a^{\dagger}(\bm{p})\) の交換関係は,
\[\begin{gathered} {}[a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p}')] = δ^3(\bm{p}-\bm{p}'), \\ [a(\bm{p}), a(\bm{p}')] = [a^{\dagger}(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p}')] = 0. \end{gathered}\]したがって, \(a(\bm{p})\), \(a^{\dagger}(\bm{p})\) はそれぞれ消滅・生成演算子である. また, Hermite 演算子
\[N ≡ ∫ \d{{}^3 \bm{p}} a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p})\]は数演算子である.
また, 場 \(ϕ(x)\) を消滅演算子で構成される部分 \(ϕ^{(+)}(x)\) と消滅演算子で構成される部分 \(ϕ^{(-)}(x)\) に分ける:
\[\begin{gathered} ϕ(x) = ϕ^{(+)}(x) + ϕ^{(-)}(x), \\ ϕ^{(+)}(x) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} a(\bm{p}) e^{-ipx}, \\ ϕ^{(-)}(x) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{ipx}. \end{gathered}\]このとき, 場の積は,
\[\begin{aligned} ϕ(x)ϕ(y) &= \qty{ϕ^{(+)}(x) + ϕ^{(-)}(x)}\qty{ϕ^{(+)}(y) + ϕ^{(-)}(y)} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ &\qquad × \Big\{\ e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') + e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') \\ &\qquad \qquad + e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') + e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') \Big\}. \\ \end{aligned}\]また, これの真空期待値は,
\[\begin{aligned} ⟨0| ϕ(x)ϕ(y) |0⟩ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ &\qquad × \Big\{\ ⟨0| e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') |0⟩ + ⟨0| e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') |0⟩ \\ &\qquad \qquad + ⟨0| e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') |0⟩ + ⟨0| e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') |0⟩ \Big\}. \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} e^{-ipx} e^{ip'y} ⟨0| a(\bm{p}) a^{\dagger}(\bm{p}') |0⟩. \\ & \quad \pqty{∵ a(\bm{p}) |0⟩ = ⟨0| a^{\dagger}(\bm{p}) = 0} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} e^{-ipx} e^{ip'y} ⟨0| \big\{ a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}) + δ^3(\bm{p}-\bm{p}') \big\} |0⟩. \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} e^{-ipx} e^{ip'y} δ^3(\bm{p}-\bm{p}'). \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{(2π)^3 2p_0} e^{-ip(x-y)}. \\ \end{aligned}\]あるいは, 場の交換積の真空期待値は,
\[\begin{aligned} ⟨0| [ϕ(x), ϕ(y)] |0⟩ &= ⟨0| ϕ(x)ϕ(y) |0⟩ - ⟨0| ϕ(y)ϕ(x) |0⟩ \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{(2π)^3 2p_0} \pqty{e^{-ip(x-y)} - e^{ip(x-y)}}. \end{aligned}\]正規積
場の積で与えられる量については, 量子化後に生成演算子が消滅演算子の左側に来るよう, 古典論の段階で並び換えられていることを要請する. この操作を正規順序積と呼ばれる記号 \({:}…{:}\) で表す; 例えば, \({:}a_1 a_2^{\dagger} a_3 a_4^{\dagger}{:} = a_2^{\dagger} a_4^{\dagger} a_1 a_3\).
正規積の真空期待値はゼロである: 演算子 \({:}A{:} = a^{\dagger}…a^{\dagger}a…a\) に対して,
\[⟨0|{:}A{:}|0⟩ = ⟨0|a^{\dagger}…a^{\dagger}a…a|0⟩ = 0.\]ただし, \(a|0⟩ = ⟨0|a^{\dagger} = 0\) であることを用いた. 生成演算子, 消滅演算子のみで構成される演算子も同様である.
例: 実 Klein-Gordon 場
実 Klein-Gordon 場
\[ϕ(x) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}}\]の場の積は
\[\begin{aligned} ϕ(x)ϕ(y) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ &\qquad × \Big\{\ e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') + e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') \\ &\qquad \qquad + e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') + e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') \Big\}. \\ \end{aligned}\]これに正規積を適用させると,
\[\begin{aligned} {:}ϕ(x)ϕ(y){:} &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ &\qquad × \Big\{\ {:} e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') {:} + {:} e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') {:} \\ &\qquad \qquad + {:} e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') {:} + {:} e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') {:} \Big\}. \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ &\qquad × \Big\{\ e^{-ipx} e^{-ip'y} a(\bm{p}) a(\bm{p}') + e^{ip'y} e^{-ipx} a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}) \\ &\qquad \qquad + e^{ipx} e^{-ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}') + e^{ipx} e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}) a^{\dagger}(\bm{p}') \Big\}. \\ \end{aligned}\]また, 実 Klein-Gordon 場の Hamiltonian を \(a(\bm{p})\), \(a^*(\bm{p})\) で表示すると,
\[H[ϕ, π] = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}.\]この Hamiltonian を演算子化する: \([a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p}')] = δ^3(\bm{p}-\bm{p}')\) に注意して,
\[\begin{aligned} H &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p})]} \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 δ^3(0). \end{aligned}\]第二項は演算子を含まない無限 c-数であり, 真空状態のエネルギーである: \(⟨0|H|0⟩ = \frac12 ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 δ^3(0)\). これは正規順序積を用いることで除くことができる: \({:}[a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p})]{:} = 0\) に注意して,
\[\begin{aligned} H &= {:}∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p})]}{:} \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}). \end{aligned}\]あるいは同様にして, 4 元全運動量演算子 \(P = (H,\bm{P})\) は,
\[P_μ = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_μ a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}).\]さて, 真空状態は \(a(\bm{p})|0⟩ = 0\) を満たすが, 真空状態に 4 元全運動量演算子を作用させると,
\[P_μ|0⟩ = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_μ a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) |0⟩ = 0.\]したがって, 真空状態は系全体のエネルギーと運動量が \(0\) である状態である. また, 真空状態に生成演算子 \(a^{\dagger}(\bm{p})\) を作用させた状態 \(|\bm{p}⟩ = a^{\dagger}(\bm{p})|0⟩\) について, 4 元全運動量演算子を作用させると
\[\begin{aligned} P_μ|\bm{p}⟩ &= P_μ a^{\dagger}(\bm{p})|0⟩ \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p'}} p_μ' a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}') a^{\dagger}(\bm{p}) |0⟩. \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p'}} p_μ' a^{\dagger}(\bm{p}') \bqty{a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}') + δ^3(\bm{p} - \bm{p}')} |0⟩. \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p'}} p_μ' a^{\dagger}(\bm{p}') \bqty{a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}') + δ^3(\bm{p} - \bm{p}')} |0⟩. \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p'}} p_μ' \bqty{a^{\dagger}(\bm{p}) a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}') + a^{\dagger}(\bm{p}') δ^3(\bm{p} - \bm{p}')} |0⟩ \\ &= p_μ a^{\dagger}(\bm{p}) |0⟩ = p_μ |\bm{p}⟩. \\ \end{aligned}\]また, 数演算子を作用させると同様に \(N|\bm{p}⟩ = |\bm{p}⟩\). したがって, \(|\bm{p}⟩\) は 4 元運動量 \(p=(p_0, \bm{p})\) の粒子が \(1\) 個存在する状態と解釈ができる. 同様に, \(|\bm{p}_1,…,\bm{p}_n⟩ ≡ a^{\dagger}(\bm{p}_1)⋯a^{\dagger}(\bm{p}_n)|0⟩\) は 4 元運動量 \(p_1,…,p_n\) の \(n\) 個の粒子が存在する状態である.
伝播関数
場 \(ϕ(x)\) に対し,
\[Δ_\mathrm{F}(x-y) ≡ ⟨0|Tϕ(x)ϕ(y)|0⟩\]を Feynman 伝播関数 Feynman propagator という.
例: 実 Klein-Gordon 場
場の積の真空期待値 \(\displaystyle ⟨0| ϕ(x)ϕ(y) |0⟩ = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{(2π)^3 2p_0} e^{-ip(x-y)}\) より,
\[\begin{aligned} &\ ⟨0| Tϕ(x)ϕ(y) |0⟩ \\ =&\ θ(x^0-y^0) ⟨0| ϕ(x)ϕ(y) |0⟩ + θ(y^0-x^0) ⟨0| ϕ(y)ϕ(x) |0⟩ \\ =&\ θ(x^0-y^0) ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{(2π)^3 2p_0} e^{-ip(x-y)} + θ(y^0-x^0) ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{(2π)^3 2p_0} e^{ip(x-y)} \\ &\ \quad \pqty{\text{$\displaystyle θ(x^0-y^0) = \frac{i}{2π} ∫_{-∞}^∞ \d{α} \frac{e^{-iα(x^0-y^0)}}{α+iε'}$, $\displaystyle θ(y^0-x^0) = \frac{-i}{2π} ∫_{-∞}^∞ \d{α} \frac{e^{-iα(x^0-y^0)}}{α-iε'}$ を用いて}} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{α}}}{(2π)^4 2p_0} \frac{e^{-iα(x^0-y^0)}}{α+iε'} e^{-ip(x-y)} - i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{α}}}{(2π)^4 2p_0} \frac{e^{-iα(x^0-y^0)}}{α-iε'} e^{ip(x-y)} \\ &\ \quad \pqty{\text{$p_0 ≡ \sqrt{|\bm{p}|^2 + m^2}$ に注意し, 第一項 $α↦\~p_0+p_0$, 第二項 $α↦\~p_0-p_0$, $\bm{p}↦-\bm{p}$}} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4 2p_0} \frac{e^{-i(\~p_0-p_0)(x^0-y^0)}}{\~p_0-p_0+iε'} e^{-ip_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})} \ - i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4 2p_0} \frac{e^{-i(\~p_0+p_0)(x^0-y^0)}}{\~p_0+p_0-iε'} e^{ip_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4 2p_0} \pqty{\frac{1}{\~p_0-p_0+iε'} - \frac{1}{\~p_0+p_0-iε'}} e^{-i\~p_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})} \\ &\ \quad \pqty{\text{$\displaystyle \frac{p_0-iε}{p_0}=1$ として通分}} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4} \frac{e^{-i\~p_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})}}{\~p_0^2-(p_0-iε')^2} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4} \frac{e^{-i\~p_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})}}{\~p_0^2-p_0^2-ip_0ε'} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4} \frac{e^{-i\~p_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})}}{\~p_0^2-|\bm{p}|^2 + m^2-iε'} \\ &\ \quad \pqty{\text{$ε≡p_0ε'$ として, $\~p_0$ を新たに $p_0$ とすれば}} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^4 p}}{(2π)^4} \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 + m^2-iε}. \\ \end{aligned}\]ただし, このときの \(p_0\) は \(p_0=\sqrt{|\bm{p}|^2 + m^2}\) とは異なることに注意. したがって,
\[Δ_\mathrm{F}(x-y) = i ∫ \frac{\d{{}^4 p}}{(2π)^4} \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 + m^2-iε}.\]Feynman 図形
\({ϕ}^4\) モデルの Lagrangian 密度
\[\begin{gathered} ℒ = \frac12 ∂_μ ϕ ∂^μ ϕ - \frac12 m^2 {ϕ}^2 - λ{ϕ}^4. \end{gathered}\]参考文献
- 桂 太郎 『新版 演習 場の量子論』 (サイエンス社, 2006)
- 日置 善郎 『場の量子論 -摂動計算の基礎- (第3版)』 (吉岡書店, 2022)
- 日置 善郎, 場の量子論への第一歩, 2011.