場の量子論ノート

Jan 6, 2024; draft

正準量子化

場の解析力学における Poisson 括弧 $\{⋅,⋅\}_\mathrm{P}$ に対し, 場の量子論における交換関係 $\displaystyle -i[⋅,⋅]_\mathrm{H}$ が対応するという要請を正準量子化という:

\{A,B\}_\mathrm{P} \quad \xmapsto{\text{要請}} \quad -i[A_\mathrm{H},B_\mathrm{H}].

正準変数 $(ϕ^α(t, \bm{x}), π_α(t, \bm{x}))$ に対して正準量子化すると,

\begin{aligned} \{ϕ^α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} &= δ^α_β δ^3(\bm{x}-\bm{x}'), \\ \xrightarrow{\text{正準量子化}} \quad - i [{ϕ^α}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}), {π_β}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}')] &= δ^α_β δ^3(\bm{x}-\bm{x}'), \\ ⇔ \quad [ϕ^α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')] &= i δ^α_β δ^3(\bm{x}-\bm{x}'). \end{aligned}

\begin{aligned} \{ϕ^α(t, \bm{x}), ϕ^β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} = \{π_α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} &= 0, \\ \xrightarrow{\text{正準量子化}} \quad - i [{ϕ^α}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}), {ϕ^β}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}')] = - i [{π_α}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}), {π_β}{}_\mathrm{H}(t, \bm{x}')] &= 0, \\ ⇔ \quad [ϕ^α(t, \bm{x}), ϕ^β(t, \bm{x}')] = [π_α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')] &= 0. \\ \end{aligned}

したがって, 演算子 $(ϕ^α(t, \bm{x}), π_α(t, \bm{x}))$ の交換関係が得られる:

演算子 $(ϕ^α(t, \bm{x}), π_α(t, \bm{x}))$ は(同時刻)正準交換関係と呼ばれる以下の交換関係を満たす:

\begin{gathered} [ϕ^α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')] = i δ^α_β δ^3(\bm{x}-\bm{x}'), \\ [ϕ^α(t, \bm{x}), ϕ^β(t, \bm{x}')] = [π_α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')] = 0. \\ \end{gathered}

生成・消滅演算子

演算子 $a(\bm{p})$ とその Hermite 共役 $a^{\dagger}(\bm{p})$ が次の交換関係を満たすとき, $a(\bm{p})$ を消滅演算子 annihilation operator, $a^{\dagger}(\bm{p})$ を生成演算子 creation operator という:

\begin{gathered} {}[a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p}')] = δ^3(\bm{p}-\bm{p}'), \\ [a(\bm{p}), a(\bm{p}')] = [a^{\dagger}(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p}')] = 0. \end{gathered}

また, Hermite 演算子 $n(\bm{p}) ≡ a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p})$ を数密度演算子, $N≡∫\d{{}^3 \bm{p}} n(\bm{p}) = ∫\d{{}^3 \bm{p}} a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p})$ を数演算子 the number operation という.

$N$ の固有値 $c$ に属する固有状態を $|ψ_c⟩$ とする:

N|Ψ_c⟩ = c|Ψ_c⟩.

このとき, $a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩$ は固有値 $c+1$ に属する固有状態である:

\begin{aligned} Na^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩ &= ∫\d{{}^3 \bm{p}'} a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}') a^{\dagger}(\bm{p}) |Ψ_c⟩ \\ &= ∫\d{{}^3 \bm{p}'} a^{\dagger}(\bm{p}') \big\{ a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}') + δ^3(\bm{p}'-\bm{p}) \big\} |Ψ_c⟩ \\ &= a^{\dagger}(\bm{p}) \pqty{ ∫\d{{}^3 \bm{p}'} a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}') + 1} |Ψ_c⟩ \\ &= a^{\dagger}(\bm{p})(N + 1)|Ψ_c⟩ \\ &= (c + 1)a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩. \end{aligned}

したがって $|Ψ_{c+1}⟩$ は $a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩$ を正規化して,

\begin{gathered} |Ψ_{c+1}⟩ = \frac{a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{⟨Ψ_c|a(\bm{p})a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩}} = \frac{a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{⟨Ψ_c|(N + 1)|Ψ_c⟩}} = \frac{a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{c+1}}. \\ ∴ a^{\dagger}(\bm{p})|Ψ_c⟩ = \sqrt{c+1}|Ψ_{c+1}⟩. \end{gathered}

また, 同様に $a(\bm{p})|Ψ_c⟩$ は固有値 $c-1$ に属する固有状態である:

\begin{aligned} Na(\bm{p})|Ψ_c⟩ &= ∫\d{{}^3 \bm{p}'} a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}') a(\bm{p})|Ψ_c⟩ \\ &= ∫\d{{}^3 \bm{p}'} \qty{a(\bm{p}) a^{\dagger}(\bm{p}')-δ^3(\bm{p}'-\bm{p})} a(\bm{p}')|Ψ_c⟩ \\ &= a(\bm{p}) \pqty{ ∫\d{{}^3 \bm{p}'}a^{\dagger}(\bm{p}')a(\bm{p}') - 1} |Ψ_c⟩ \\ &= a(\bm{p}) (N - 1) |Ψ_c⟩ \\ &= (c - 1)a(\bm{p})|Ψ_c⟩. \end{aligned}

したがって $|Ψ_{c-1}⟩$ は $a(\bm{p})|Ψ_c⟩$ を正規化して,

\begin{gathered} |Ψ_{c-1}⟩ = \frac{a(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{⟨Ψ_c|a^{\dagger}(\bm{p})a(\bm{p})|Ψ_c⟩}} = \frac{a(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{⟨Ψ_c|N|Ψ_c⟩}} = \frac{a(\bm{p})|Ψ_c⟩}{\sqrt{c}}. \\ ∴ a(\bm{p})|Ψ_c⟩ = \sqrt{c}|Ψ_{n-1}⟩. \end{gathered}

特に $c=0$ のときの状態 $|Ψ_0⟩≡|0⟩$ を真空状態といい, $a(\bm{p})|0⟩ = 0$ を満たす: $⟨0| a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) |0⟩ ≥ 0$ かつ

∫\d{{}^3 \bm{p}} ⟨0| a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) |0⟩ = ⟨0| N |0⟩ = 0.

$c<0$ は許されない: ある固有値 $c<0$ に属する固有状態 $|Ψ_c⟩$ に対し,

c = ⟨Ψ_c|N|Ψ_c⟩ = ∫\d{{}^3 \bm{p}} ⟨Ψ_c|a^{\dagger}(\bm{p})a(\bm{p})|Ψ_c⟩ = ∫\d{{}^3 \bm{p}} ⟨a(\bm{p})Ψ_c|a(\bm{p})Ψ_c⟩ ≥ 0.

ただし $|a(\bm{p})Ψ_c⟩ ≡ a(\bm{p})|Ψ_c⟩$ . これは $c<0$ に矛盾する. したがって, $c≥0$ である. また, $c$ が正の非整数とすると, 繰り返し $c$ を左右することで $c$ を負にすることができてしまうから, $c$ は非整数ではない. したがって, $c = 0,1,2,…$ .

状態 $|\bm{p}⟩ ≡ a^{\dagger}(\bm{p})|0⟩$ は対応する粒子の運動量が $\bm{p}$ の 1 粒子状態, $|\bm{p},\bm{p}'⟩ ≡ a^{\dagger}(\bm{p})a^{\dagger}(\bm{p}')|0⟩$ は運動量 $\bm{p}$ , $\bm{p}'$ の 2 粒子状態である. 一般に基底 $\{|\bm{p}_1,\bm{p}_2,…⟩\}$ で張られる Hilbert 空間を Fock 空間という.

例: 実 Klein-Gordon 場

実 Klein-Gordon 場 $ϕ(x)$ と一般化運動量 $π(x)$ の平面波展開は

\begin{aligned} ϕ(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}}, \\ π(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} (-i) p_0 \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} - a^*(\bm{p}) e^{ipx}}. \\ \end{aligned}

または $a(\bm{p})$ , $a^*(\bm{p})$ について解いて,

\begin{aligned} a(\bm{p}) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{p_0 ϕ(x) + i π(x)} e^{ipx}, \\ a^{*}(\bm{p}) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{p_0 ϕ(x) - i π(x)} e^{-ipx}. \\ \end{aligned}

これらの量を量子化する. 同時刻交換関係 $[ϕ(t,\bm{x}), π(t,\bm{x}')] = iδ^3(\bm{x}-\bm{x}')$ の下で $[a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p})]$ の括弧積を計算すると,

\begin{aligned} &\ [a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p'})] \\ =&\ \bqty{∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \qty{p_0 ϕ(t,\bm{x}) + i π(t,\bm{x})} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})}, ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} \qty{p_0' ϕ(t,\bm{x}') - i π(t,\bm{x}')} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x}')}} \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} \bqty{p_0 ϕ(t,\bm{x}) + i π(t,\bm{x}), p_0' ϕ(t,\bm{x}') - i π(t,\bm{x}')} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x}')} \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x}')} \\ &\ \qquad \quad × \qty{ p_0 p_0' \bqty{ϕ(t,\bm{x}), ϕ(t,\bm{x}')} - i p_0 \bqty{ϕ(t,\bm{x}),π(t,\bm{x}')} + i p_0' \bqty{π(t,\bm{x}), ϕ(t,\bm{x}')} + \bqty{π(t,\bm{x}), π(t,\bm{x}')} } \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x}')} \qty{p_0 δ^3(\bm{x} - \bm{x}') + p_0' δ^3(\bm{x} - \bm{x}')} \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x}')} (p_0 + p_0') δ^3(\bm{x} - \bm{x}') \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \frac{1}{\sqrt{(2π)^3 2p'_0}} e^{i(p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} e^{-i(p_0't - \bm{p}'⋅\bm{x})} (p_0 + p_0') \\ =&\ \frac{p_0 + p_0'}{\sqrt{4p_0p'_0}} e^{i(p_0 - p_0')t} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{(2π)^3} e^{-i(\bm{p} - \bm{p}')⋅\bm{x}} = \frac{p_0 + p_0'}{\sqrt{4p_0p'_0}} e^{i(p_0 - p_0')t} δ^3(\bm{p} - \bm{p}') \\ =&\ δ^3(\bm{p} - \bm{p}'). \end{aligned}

したがって $a(\bm{p})$ , $a^{\dagger}(\bm{p})$ の交換関係は,

\begin{gathered} {}[a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p}')] = δ^3(\bm{p}-\bm{p}'), \\ [a(\bm{p}), a(\bm{p}')] = [a^{\dagger}(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p}')] = 0. \end{gathered}

したがって, $a(\bm{p})$ , $a^{\dagger}(\bm{p})$ はそれぞれ消滅・生成演算子である. また, Hermite 演算子

N ≡ ∫ \d{{}^3 \bm{p}} a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p})

は数演算子である.

また, 場 $ϕ(x)$ を消滅演算子で構成される部分 $ϕ^{(+)}(x)$ と消滅演算子で構成される部分 $ϕ^{(-)}(x)$ に分ける:

\begin{gathered} ϕ(x) = ϕ^{(+)}(x) + ϕ^{(-)}(x), \\ ϕ^{(+)}(x) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} a(\bm{p}) e^{-ipx}, \\ ϕ^{(-)}(x) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{ipx}. \end{gathered}

このとき, 場の積は,

\begin{aligned} ϕ(x)ϕ(y) &= \qty{ϕ^{(+)}(x) + ϕ^{(-)}(x)}\qty{ϕ^{(+)}(y) + ϕ^{(-)}(y)} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ &\qquad × \Big\{\ e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') + e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') \\ &\qquad \qquad + e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') + e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') \Big\}. \\ \end{aligned}

また, これの真空期待値は,

\begin{aligned} ⟨0| ϕ(x)ϕ(y) |0⟩ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ &\qquad × \Big\{\ ⟨0| e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') |0⟩ + ⟨0| e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') |0⟩ \\ &\qquad \qquad + ⟨0| e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') |0⟩ + ⟨0| e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') |0⟩ \Big\}. \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} e^{-ipx} e^{ip'y} ⟨0| a(\bm{p}) a^{\dagger}(\bm{p}') |0⟩. \\ & \quad \pqty{∵ a(\bm{p}) |0⟩ = ⟨0| a^{\dagger}(\bm{p}) = 0} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} e^{-ipx} e^{ip'y} ⟨0| \big\{ a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}) + δ^3(\bm{p}-\bm{p}') \big\} |0⟩. \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} e^{-ipx} e^{ip'y} δ^3(\bm{p}-\bm{p}'). \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{(2π)^3 2p_0} e^{-ip(x-y)}. \\ \end{aligned}

あるいは, 場の交換積の真空期待値は,

\begin{aligned} ⟨0| [ϕ(x), ϕ(y)] |0⟩ &= ⟨0| ϕ(x)ϕ(y) |0⟩ - ⟨0| ϕ(y)ϕ(x) |0⟩ \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{(2π)^3 2p_0} \pqty{e^{-ip(x-y)} - e^{ip(x-y)}}. \end{aligned}

正規積

場の積で与えられる量については, 量子化後に生成演算子が消滅演算子の左側に来るよう, 古典論の段階で並び換えられていることを要請する. この操作を正規順序積と呼ばれる記号 ${:}…{:}$ で表す; 例えば, ${:}a_1 a_2^{\dagger} a_3 a_4^{\dagger}{:} = a_2^{\dagger} a_4^{\dagger} a_1 a_3$ .

正規積の真空期待値はゼロである: 演算子 ${:}A{:} = a^{\dagger}…a^{\dagger}a…a$ に対して,

⟨0|{:}A{:}|0⟩ = ⟨0|a^{\dagger}…a^{\dagger}a…a|0⟩ = 0.

ただし, $a|0⟩ = ⟨0|a^{\dagger} = 0$ であることを用いた. 生成演算子, 消滅演算子のみで構成される演算子も同様である.

例: 実 Klein-Gordon 場

実 Klein-Gordon 場

ϕ(x) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}}

の場の積は

\begin{aligned} ϕ(x)ϕ(y) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ &\qquad × \Big\{\ e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') + e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') \\ &\qquad \qquad + e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') + e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') \Big\}. \\ \end{aligned}

これに正規積を適用させると,

\begin{aligned} {:}ϕ(x)ϕ(y){:} &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ &\qquad × \Big\{\ {:} e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') {:} + {:} e^{-ipx} a(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') {:} \\ &\qquad \qquad + {:} e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{-ip'y} a(\bm{p}') {:} + {:} e^{ipx} a^{\dagger}(\bm{p}) e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}') {:} \Big\}. \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}'}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ &\qquad × \Big\{\ e^{-ipx} e^{-ip'y} a(\bm{p}) a(\bm{p}') + e^{ip'y} e^{-ipx} a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}) \\ &\qquad \qquad + e^{ipx} e^{-ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}') + e^{ipx} e^{ip'y} a^{\dagger}(\bm{p}) a^{\dagger}(\bm{p}') \Big\}. \\ \end{aligned}

また, 実 Klein-Gordon 場の Hamiltonian を $a(\bm{p})$ , $a^*(\bm{p})$ で表示すると,

H[ϕ, π] = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}.

この Hamiltonian を演算子化する: $[a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p}')] = δ^3(\bm{p}-\bm{p}')$ に注意して,

\begin{aligned} H &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p})]} \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 δ^3(0). \end{aligned}

第二項は演算子を含まない無限 c-数であり, 真空状態のエネルギーである: $⟨0|H|0⟩ = \frac12 ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 δ^3(0)$ . これは正規順序積を用いることで除くことができる: ${:}[a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p})]{:} = 0$ に注意して,

\begin{aligned} H &= {:}∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^{\dagger}(\bm{p})]}{:} \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}). \end{aligned}

あるいは同様にして, 4 元全運動量演算子 $P = (H,\bm{P})$ は,

P_μ = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_μ a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}).

さて, 真空状態は $a(\bm{p})|0⟩ = 0$ を満たすが, 真空状態に 4 元全運動量演算子を作用させると,

P_μ|0⟩ = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_μ a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}) |0⟩ = 0.

したがって, 真空状態は系全体のエネルギーと運動量が $0$ である状態である. また, 真空状態に生成演算子 $a^{\dagger}(\bm{p})$ を作用させた状態 $|\bm{p}⟩ = a^{\dagger}(\bm{p})|0⟩$ について, 4 元全運動量演算子を作用させると

\begin{aligned} P_μ|\bm{p}⟩ &= P_μ a^{\dagger}(\bm{p})|0⟩ \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p'}} p_μ' a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}') a^{\dagger}(\bm{p}) |0⟩. \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p'}} p_μ' a^{\dagger}(\bm{p}') \bqty{a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}') + δ^3(\bm{p} - \bm{p}')} |0⟩. \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p'}} p_μ' a^{\dagger}(\bm{p}') \bqty{a^{\dagger}(\bm{p}) a(\bm{p}') + δ^3(\bm{p} - \bm{p}')} |0⟩. \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p'}} p_μ' \bqty{a^{\dagger}(\bm{p}) a^{\dagger}(\bm{p}') a(\bm{p}') + a^{\dagger}(\bm{p}') δ^3(\bm{p} - \bm{p}')} |0⟩ \\ &= p_μ a^{\dagger}(\bm{p}) |0⟩ = p_μ |\bm{p}⟩. \\ \end{aligned}

また, 数演算子を作用させると同様に $N|\bm{p}⟩ = |\bm{p}⟩$ . したがって, $|\bm{p}⟩$ は 4 元運動量 $p=(p_0, \bm{p})$ の粒子が $1$ 個存在する状態と解釈ができる. 同様に, $|\bm{p}_1,…,\bm{p}_n⟩ ≡ a^{\dagger}(\bm{p}_1)⋯a^{\dagger}(\bm{p}_n)|0⟩$ は 4 元運動量 $p_1,…,p_n$ の $n$ 個の粒子が存在する状態である.

伝播関数

場 $ϕ(x)$ に対し,

Δ_\mathrm{F}(x-y) ≡ ⟨0|Tϕ(x)ϕ(y)|0⟩

を Feynman 伝播関数 Feynman propagator という.

例: 実 Klein-Gordon 場

場の積の真空期待値 $\displaystyle ⟨0| ϕ(x)ϕ(y) |0⟩ = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{(2π)^3 2p_0} e^{-ip(x-y)}$ より,

\begin{aligned} &\ ⟨0| Tϕ(x)ϕ(y) |0⟩ \\ =&\ θ(x^0-y^0) ⟨0| ϕ(x)ϕ(y) |0⟩ + θ(y^0-x^0) ⟨0| ϕ(y)ϕ(x) |0⟩ \\ =&\ θ(x^0-y^0) ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{(2π)^3 2p_0} e^{-ip(x-y)} + θ(y^0-x^0) ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{(2π)^3 2p_0} e^{ip(x-y)} \\ &\ \quad \pqty{\text{$\displaystyle θ(x^0-y^0) = \frac{i}{2π} ∫_{-∞}^∞ \d{α} \frac{e^{-iα(x^0-y^0)}}{α+iε'}$, $\displaystyle θ(y^0-x^0) = \frac{-i}{2π} ∫_{-∞}^∞ \d{α} \frac{e^{-iα(x^0-y^0)}}{α-iε'}$ を用いて}} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{α}}}{(2π)^4 2p_0} \frac{e^{-iα(x^0-y^0)}}{α+iε'} e^{-ip(x-y)} - i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{α}}}{(2π)^4 2p_0} \frac{e^{-iα(x^0-y^0)}}{α-iε'} e^{ip(x-y)} \\ &\ \quad \pqty{\text{$p_0 ≡ \sqrt{|\bm{p}|^2 + m^2}$ に注意し, 第一項 $α↦\~p_0+p_0$, 第二項 $α↦\~p_0-p_0$, $\bm{p}↦-\bm{p}$}} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4 2p_0} \frac{e^{-i(\~p_0-p_0)(x^0-y^0)}}{\~p_0-p_0+iε'} e^{-ip_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})} \ - i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4 2p_0} \frac{e^{-i(\~p_0+p_0)(x^0-y^0)}}{\~p_0+p_0-iε'} e^{ip_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4 2p_0} \pqty{\frac{1}{\~p_0-p_0+iε'} - \frac{1}{\~p_0+p_0-iε'}} e^{-i\~p_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})} \\ &\ \quad \pqty{\text{$\displaystyle \frac{p_0-iε}{p_0}=1$ として通分}} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4} \frac{e^{-i\~p_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})}}{\~p_0^2-(p_0-iε')^2} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4} \frac{e^{-i\~p_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})}}{\~p_0^2-p_0^2+ip_0ε'} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p} \d{\~p_0}}}{(2π)^4} \frac{e^{-i\~p_0(x^0-y^0)} e^{i\bm{p}⋅(\bm{x}-\bm{y})}}{\~p_0^2-|\bm{p}|^2 - m^2+iε'} \\ &\ \quad \pqty{\text{$ε≡p_0ε'$ として, $\~p_0$ を新たに $p_0$ とすれば}} \\ =&\ i ∫ \frac{\d{{}^4 p}}{(2π)^4} \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2+iε}. \\ \end{aligned}

ただし, このときの $p_0$ は $p_0=\sqrt{|\bm{p}|^2 + m^2}$ とは異なることに注意. したがって,

Δ_\mathrm{F}(x-y) = i ∫ \frac{\d{{}^4 p}}{(2π)^4} \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2+iε}.

Feynman 図形

${ϕ}^4$ モデルの Lagrangian 密度

\begin{gathered} ℒ = \frac12 ∂_μ ϕ ∂^μ ϕ - \frac12 m^2 {ϕ}^2 - λ{ϕ}^4. \end{gathered}

参考文献

桂太郎『新版演習場の量子論』 (サイエンス社, 2006)
日置善郎『場の量子論 -摂動計算の基礎- (第3版)』 (吉岡書店, 2022)
日置善郎, 場の量子論への第一歩, 2011.