微分幾何学

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束と切断

底空間 base space と呼ばれる空間 BB と全空間 total space と呼ばれる空間 EE に対して, 射影 projection と呼ばれる写像 π:E→Bπ : E → B があるとき, 三対 (E,π,B)(E, π, B) を束 bundle という. E→πBE \xrightarrow{π} B, または単に EE を束と呼ぶこともある.

E↓πB\begin{CD} E \\ @VVπV \\ B \end{CD}

任意の b∈Bb ∈ B について, 射影による逆像 π−1(b)∈Eπ^{-1}(b) ∈ E を束の bb 上のファイバー fibre という. 位相空間 BB, EE を底空間, 全空間に持つ束 E→πBE \xrightarrow{π} B に対し, 位相空間 FF が任意の b∈Bb ∈ B 上のファイバーと同相であるとき, FF を束のファイバーという. 特に E=B×FE = B × F であるとき, この束 EE は自明な束 trivial bundle という. このときの射影は π=prod1π = \mathrm{prod}_1.

B×F↓prod1B\begin{CD} B × F \\ @VV{\mathrm{prod}_1}V \\ B \end{CD}

また, 写像 σ:B→Eσ : B → E が π∘σ=1Bπ ∘ σ = 1_B を満たすとき, σσ を切断 cross section という. 言い換えると, 切断とは, 任意の底空間上の点 b∈Bb ∈ B に対して各ファイバー上の 1 点 σ(b)∈π−1(b)σ(b) ∈ π^{-1}(b) を決める写像 σσ である. 束 EE の切断の全体を Γ(E)Γ(E) と表す.

E↑σ∈Γ(E)B\begin{CD} E \\ @AA{σ ∈ Γ(E)}A \\ B \end{CD}

ファイバー束と構造群

全空間 EE, 底空間 MM, ファイバー FF が可微分多様体で, 射影 ππ が全射である束 E→πME \xrightarrow{π} M について考える. MM の開被覆 {Ui}\{U_i\} に対して, 局所自明化 local trivialization と呼ばれる微分同相写像 φi:Ui×F→π−1(Ui)φ_i : U_i × F → π^{-1}(U_i) が存在するとき, この束 E→πME \xrightarrow{π} M をファイバー束 fibre bundle という.

Ui×F→φi≃π−1(Ui)→ιE↓pr1↓π↓πUi=Ui→ιM\begin{CD} U_i × F @>{≃}>{φ_i}> π^{-1}(U_i) @>{ι}>> E \\ @VV{\mathrm{pr}_1}V @VV{π}V @VV{π}V \\ U_i @= U_i @>{ι}>> M \end{CD}

点 pi∈Ui⊂Mp^i ∈ U_i ⊂ M における局所自明化 φiφ_i を φi,p:=φi(p, ):F→π−1(p)φ_{i,p} := φ_i(p,\ ) : F → π^{-1}(p) とする. 底空間上の点 p∈Ui∩Uj≠∅p ∈ U_i ∩ U_j ≠ \varnothing について, gij(p):=φi,p−1∘φj,p:F→Fg_{ij} (p) := φ_{i,p}^{-1} ∘ φ_{j,p} : F → F あるいは gij(p)g_{ij} (p) を変換関数 transition function といい, p∈Ui∪Uj∪Ukp ∈ U_i \cup U_j \cup U_k に対してコサイクル条件 gij(p)gjk(p)=gik(p)g_{ij} (p) g_{jk} (p) = g_{ik} (p) を満たす.

\xymatrix{ F \ar[r]_-{φ_{i,p}} & π^{-1}(p) \ar[d]^{π} & F \ar@/_18pt/[ll]_{g_{ij}(p)} \ar[l]^-{φ_{j,p}} \\ \{p\} \ar@{=}[r] & \{p\} & \{p\} \ar@{=}[l] }

FF に左作用する位相群 GG を用いて gij(p):Ui∩Uj→Gg_{ij} (p) : U_i ∩ U_j → G であるとき, GG を構造群 structure group といい, このときのファイバー束 E→πME \xrightarrow{π} M を GG-束 GG-bundle ともいう.

底空間 MMとその開被覆 {Ui}\{U_i\}, ファイバー FF, 構造群 GG, 変換関数 gij(p)g_{ij} (p) が与えられたとき, ファイバー束を構成可能である.

主 GG-束と同伴ファイバー束

射影 ππ が微分可能な GG-束 P→πMP \xrightarrow{π} M を考える. GG が PP に右から作用し, p∈Mp ∈ M 上のファイバー上の点が GG の作用で同一ファイバー上に移る (単純推移的 simply transitive) とき, このファイバー束 P→πMP \xrightarrow{π} M を主 GG-束 principal GG-bundle, あるいは単に主束 principal bundle という. 言い換えると, 主 GG-束とは, 射影が微分可能, ファイバーが位相群 GG である GG-束である.

主 GG-束 P→πMP \xrightarrow{π} M, GG が左作用する可微分多様体 FF が与えられたとき, 商空間

P×GF:=(P×F)/GP ×_G F := (P × F) / G

と写像 π1:P×GF→M,(u,f)↦π(u)π_1 : P ×_G F → M, (u, f) ↦ π(u) はファイバー FF のファイバー束 P×GF→π1MP ×_G F \xrightarrow{π_1} M を与える. これを同伴ファイバー束 associated fibre bundle という. 反対に, 上の定義のように GG-束から同伴する主 GG-束を構成可能である.

ベクトル束

体 KK 上のベクトル空間 VV をファイバーとするファイバー束 E→πME \xrightarrow{π} M について考える. MM の開被覆 {Ui}\{U_i\} に対して, p∈Ui⊂Mp ∈ U_i ⊂ M における局所自明化 ϕi(p, ):V→π−1ϕ_i(p,\ ): V → π^{-1} が線形同型を与えるとき, このファイバー束 E→πME \xrightarrow{π} M をベクトル束 vector bundle という. 言い換えると, ベクトル束とは, 次元 nn のベクトル空間をファイバーとして持つ GL(n)GL(n)-束である. 自明かつファイバーが V=KV = K であるベクトル束を自明な直線束という. また, 主 GL(n)GL(n)-束の同伴ファイバー束は同伴ベクトル束と呼ばれる.

接束と余接束

可微分多様体 MM 上の点 p∈Mp ∈ M に対し, pp の座標近傍における局所座標 {xμ}\{ x_μ \} 上で定義された微分作用素 ∂μ:=∂∂xμ\displaystyle ∂_μ := \pdv{}{x^μ} を用いた {∂μ}\{ ∂_μ \} を基底とするベクトル空間 TpMT_pM を接空間 tangent space といい, 接空間のベクトルを接ベクトル tangent vector という. 全空間 TM:=⋃p∈MTpMTM := \bigcup_{p ∈ M} T_pM に対して射影 π:M→TMπ : M → TM が π−1(p)∈TpMπ^{-1} (p) ∈ T_pM を満たすようなベクトル束 TM→πMTM \xrightarrow{π} M を接束 tangent bundle という. 接束の切断をベクトル場 vector field という.

接空間 TpMT_pM の双対空間 Tp∗MT^{*}_pM を余接空間 cotangent space といい, TpMT_pM の基底 {∂μ}\{ ∂_μ \} の双対基底は {dxμ}\{ \d{x^μ} \} である: dxμ(∂ν)=δνμ\d{x^μ} (∂_ν) = δ^μ_ν. また余接空間のベクトルを余接ベクトル cotangent vector という. 全空間 T∗M:=⋃p∈MTp∗MT^{*}M := \bigcup_{p ∈ M} T^{*}_pM に対して射影 π:M→T∗Mπ : M → T^{*}M が π−1(p)∈Tp∗Mπ^{-1}(p) ∈ T^{*}_pM を満たすようなベクトル束 T∗M→πMT^{*}M \xrightarrow{π} M を余接束 cotangent bundle という.

微分形式とベクトル束上の接続

ベクトル束 E→xME \xrightarrow{x} M に対し, MM の余接空間の kk 次交代テンソル空間 Λk(T∗M):=⋃p∈MΛk(Tp∗M)Λ^k (T^{*}M) := \bigcup_{p ∈ M} Λ^k (T^{*}_pM) を付け加えた Λk(T∗M)⊗E→π1MΛ^k (T^{*}M) ⊗ E \xrightarrow{π_1} M の切断 Ωk(M,E):=Γ(Λk(T∗M)⊗E)Ω^{k} (M, E) := Γ(Λ^k (T^{*}M) ⊗ E) を EE に値を取る kk-形式 kk-form の空間という.

Λk(T∗M)⊗E↑ϕ∈Ωk(M,E)M\begin{CD} Λ^k (T^{*}M) ⊗ E \\ @AAϕ ∈ Ω^{k} (M, E)A \\ M \end{CD}

ベクトル束 EE が自明な直線束であるとき単に Ωk(M):=Ωk(M,E)=Γ(Λk(T∗M))Ω^k (M) := Ω^k (M, E) = Γ(Λ^k (T^{*}M)) と書き, 単に kk-形式の空間という.

Λk(T∗M)↑ϕ∈Ωk(M)M\begin{CD} Λ^k (T^{*}M) \\ @AAϕ ∈ Ω^{k} (M)A \\ M \end{CD}

全微分 : Ω0(M)→Ω1(M)Ω^0 (M) → Ω^1 (M)

自明な直線束に値を取る 00-形式を 11-形式に移す微分 d:Ω0(M)→Γ(T∗M)=Ω1(M)\d{} : Ω^0 (M) → Γ(T^{*}M) = Ω^1 (M) は全微分である: f,g∈Ω0(M)f, g ∈ Ω^0 (M), fg∈Ω0(M)fg ∈ Ω^0 (M) に対して, Leibniz 則を満たす:

d(fg)=(df)g+f(dg).\d{(fg)} = (\d{f}) g + f (\d{g}). \xymatrix{ K & T^{*}M \\ \ \ar@{=>}[r]^{\d{}} & \ \\ M \ar[uu]^{Ω^0 (M) ∋ f} & M \ar[uu]_{\d{f} ∈ Ω^1 (M)} }

Tp∗MT^{*}_pM の基底 {dxμ}\{d x^μ\} に対し, f∈Ω0(M)f ∈ Ω^0 (M) は局所的に

df:=(∂μf) dxμ.\d{f} := (∂_μ f )\ \d{x^μ}.

外微分 : Ωk(M)→Ωk+1(M)Ω^k (M) → Ω^{k+1} (M)

自明な直線束に値を取る kk-形式を (k+1)(k+1)-形式に移す微分 d:Ωk(M)→Ωk+1(M)\d{} : Ω^k (M) → Ω^{k+1} (M) を外微分 exterior derivative という: ω∈Ωk(M)ω ∈ Ω^k (M), ξ∈Ωl(M)ξ ∈ Ω^l (M), ω∧ξ∈Ωk+l(M)ω ∧ ξ ∈ Ω^{k+l} (M) に対して, Leibniz 則を満たす:

d(ω∧ξ)=dω∧ξ+(−1)kω∧dξ.\d{(ω ∧ ξ)} = \d{ω} ∧ ξ + (-1)^k ω ∧ \d{ξ}. \xymatrix{ Λ^k (T^{*}M) & Λ^{k+1} (T^{*}M) \\ \ \ar@{=>}[r]^{\d{}} & \ \\ M \ar[uu]^{Ω^{k} (M) ∋ ω} & M \ar[uu]_{\d{ω} ∈ Ω^{k+1} (M)} }

Tp∗MT^{*}_pM の基底 {dxμ}\{d x^μ\} に対し, ω=1k!ωμ1⋯μkdxμ1∧⋯∧dxμk∈Ωk(M)ω = \frac1{k!} ω_{μ_1 ⋯ μ_k} \d{x^{μ_1}} ∧ ⋯ ∧ \d{x^{μ_k}} ∈ Ω^k (M) は局所的に

dω:=1k!(∂νωμ1⋯μk)dxν∧dxμ1∧⋯∧dxμk.\d{ω} := \frac1{k!} (∂_ν ω_{μ_1 ⋯ μ_k}) \d{x^ν} ∧ \d{x^{μ_1}} ∧ ⋯ ∧ \d{x^{μ_k}}.

このとき, 外積代数の交代性より外微分を2回作用させると0になる: d2=0\d{{}^2} = 0. また, X,Y∈TpMX, Y ∈ T_pM に対し, ω∈Ω1(M)ω ∈ Ω^1 (M) の外微分は次の等式を満たす:

dω(X,Y)=X(ω(Y))−Y(ω(X))−ω([X,Y]).\d{ω} (X, Y) = X (ω (Y)) - Y (ω (X)) - ω ([ X, Y ]).

共変微分 : Ω0(M,E)→Ω1(M,E)Ω^0 (M, E) → Ω^1(M, E)

ベクトル束 EE に値を取る 00-形式を 11-形式に移す微分 D:Ω0(M,E)→Ω1(M,E)D : Ω^0 (M, E) → Ω^1 (M, E) を接続 connection という: f∈Ω0(M)f ∈ Ω^0 (M), ξ′∈Ω0(M,E)=Γ(E)ξ' ∈ Ω^0 (M, E) = Γ(E), fξ′∈Ω0(M,E)f ξ' ∈ Ω^0 (M, E) に対して, Leibniz 則を満たす:

D(fξ′)=df⊗ξ′+fDξ′.D (f ξ') = \d{f} ⊗ ξ' + f D ξ'. \xymatrix{ E & T^{*}M ⊗ E \\ \ \ar@{=>}[r]^{D} & \ \\ M \ar[uu]^{Ω^0 (M, E) ∋ ϕ} & M \ar[uu]_{D ϕ ∈ Ω^1 (M, E)} }

p∈Mp ∈ M の座標近傍 Ui⊂MU_i ⊂ M とその局所自明化 φi,p:=φi(p, )φ_{i,p} := φ_i (p,\ ) に対し, 切断 ϕ∈Γ(E)ϕ ∈ Γ(E) の接続は

Dϕ:=φi,p(d+Ai)φi,p−1∘ϕ.D ϕ := φ_{i,p} (\d{} + A_i) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ.

ここで, Lie 代数に値を取る 11-形式 Ai∈Ω1(Ui,End(E))=Γ(T∗Ui⊗g)A_i ∈ Ω^1 (U_i, \mathrm{End} (E)) = Γ(T^{*}U_i ⊗ \frak{g}) は接続 11-形式またはゲージ場 gauge field といい, 局所標構場 local frame field と呼ばれる Ω(Ui,E)=Γ(π−1(Ui))Ω (U_i, E) = Γ(π^{-1} (U_i)) の局所的な基底 {ea}\{ e_a \} を用いて, ∇ea=φi,p(Ai)ba⊗φi,p−1∘eb∇ e_a = φ_{i,p} {(A_i)^b}_a ⊗ φ_{i,p}^{-1} ∘ e_b と展開できる. また, ゲージ場は別の座標近傍と「接続」する役割を持つ: p∈Mp ∈ M の座標近傍 Ui,Uj⊂MU_i, U_j ⊂ M とその局所自明化 φi,p:=φi(p, )φ_{i,p} := φ_i (p,\ ), φj,p:=φj(p, )φ_{j,p} := φ_j (p,\ ) に対し, 切断 ϕ∈Γ(E)ϕ ∈ Γ(E) は

Dϕ=φi,p(d+Ai)φi,p−1∘ϕ=φj,p(d+Aj)φj,p−1∘ϕ,D ϕ = φ_{i,p} (\d{} + A_i) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ = φ_{j,p} (\d{} + A_j) φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ,

あるいは 局所切断 ϕi:=φi,p−1∘ϕϕ_i := φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ, ϕj:=φj,p−1∘ϕϕ_j := φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ と, それらに対する局所的な接続 Di:=d+AiD_i := \d{} + A_i, Dj:=d+AjD_j := \d{} + A_j を用いて, 変換関数による局所的な接続の変換式が得られる:

Diϕi=gij(p)Djϕj.D_i ϕ_i = g_{ij} (p) D_j ϕ_j.

また, ベクトル束の構造群が GL(n)GL(n) であることを用いて,

φj,p(d+Aj)φj,p−1∘ϕ=φj,pd(φj,p−1∘ϕ)+φj,pAjφj,p−1∘ϕ=φj,pd(φj,p−1∘φi,p∘φi,p−1∘ϕ)+φj,pAjφj,p−1∘ϕ=φj,pd(gji(p)φi,p−1∘ϕ)+φj,pAjφj,p−1∘ϕ=φj,pd(gji(p))φi,p−1∘ϕ+φj,pgji(p)d(φi,p−1∘ϕ)+φj,pAjφj,p−1∘ϕ=φi,pd(φi,p−1∘ϕ)+φi,pgij(p)d(gji(p))φi,p−1∘ϕ+φi,pgij(p)Ajgji(p)φi,p−1∘ϕ=φi,p(d+gij(p)dgji(p)+gij(p)Ajgji(p))φi,p−1∘ϕ.\begin{aligned} φ_{j,p} (\d{} + A_j) φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ &= φ_{j,p} \d{(φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ)} + φ_{j,p} A_j φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ \\ &= φ_{j,p} \d{(φ_{j,p}^{-1} ∘ φ_{i,p} ∘ φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ)} + φ_{j,p} A_j φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ \\ &= φ_{j,p} \d{(g_{ji} (p) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ)} + φ_{j,p} A_j φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ \\ &= φ_{j,p} \d{(g_{ji} (p))} φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ + φ_{j,p} g_{ji} (p) \d{(φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ)} + φ_{j,p} A_j φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ \\ &= φ_{i,p} \d{(φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ)} + φ_{i,p} g_{ij} (p) \d{(g_{ji} (p))} φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ + φ_{i,p} g_{ij} (p) A_j g_{ji} (p) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ \\ &= φ_{i,p} (d + g_{ij} (p) \d{g_{ji} (p)} + g_{ij} (p) A_j g_{ji} (p)) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ . \end{aligned}

これが φi,p(d+Ai)φi,p−1∘ϕφ_{i,p} (\d{} + A_i) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ と等しい条件は,

Ai=gij(p)dgji(p)+gij(p)Ajgji(p),A_i = g_{ij} (p) \d{g_{ji}} (p) + g_{ij} (p) A_j g_{ji} (p),

あるいは A:=AjA := A_j, A′:=AiA' := A_i, g:=gij(p)g := g_{ij} (p) として,

A′=gdg−1+gAg−1.A' = g \d{g^{-1}} + g A g^{-1}.

変換関数による変換に相当する A↦A′=gdg−1+gAg−1A ↦ A' = g \d{g^{-1}} + g A g^{-1} をゲージ変換 gauge transformation という. また, ゲージ場をスカラー倍 A↦λAA ↦ λ A しても接続の性質は変わらない.

\xymatrix{ F \ar[r]_-{φ_{i,p}} & π^{-1}(p) & F \ar@/_18pt/[ll]_{g_{ij}(p)} \ar[l]^-{φ_{j,p}} & T^{*}_pM ⊗ F \ar[r]_-{φ_{i,p}} & T^{*}_pM ⊗ π^{-1}(p) & T^{*}_pM ⊗ F \ar@/_18pt/[ll]_{g_{ij}(p)} \ar[l]^-{φ_{j,p}} \\ & \ \ar@{=>}@/^8pt/[rrr]^{D} &&& \ \\ \{p\} \ar[uu]^{ϕ_i} \ar@{=}[r] & \{p\} \ar[uu]^{ϕ} & \{p\} \ar@{=}[l] \ar[uu]_{ϕ_j} & \{p\} \ar@{=}[r] \ar[uu]_{(d+A_i)ϕ_i} & \{p\} \ar[uu]_{Dϕ} & \{p\} \ar@{=}[l] \ar[uu]_{(d+A_j)ϕ_j} }

実用上, 接続はしばしば局所的な接続と同一視される:

Dϕ:=(d+A)ϕ.D ϕ := (\d{} + A) ϕ.

例えば, Dea=Aba⊗ebD e_a = {A^b}_a ⊗ e_b, D′ϕ′=gDϕD' ϕ' = g D ϕ など. Tp∗MT^{*}_pM の基底 {dxμ}\{ d x^μ \} に対して, 接続 11-形式 A=AμdxμA = A_μ \d{x^μ} を用いて, 局所的に Dϕ=Dμϕ dxμ=(∂μ+Aμ)ϕ dxμD ϕ = D_μ ϕ \ \d{x^μ} = (∂_μ + A_μ) ϕ \ \d{x^μ} と展開される. このとき, 接続の成分表示を共変微分 convariant derivative という:

Dμϕ=(∂μ+Aμ)ϕ.D_μ ϕ = (∂_μ + A_μ) ϕ.

また, {dxμ}\{ \d{x^μ} \} を双対基底に持つ TpMT_pM の基底 {∂μ}\{ ∂_μ \} に対して, X=Xμ∂μ∈TpMX = X^μ ∂_μ ∈ T_pM を用いた DXϕ:=Dϕ(X)=XμDμϕ:Γ(E)→Γ(E)D_X ϕ := D ϕ (X) = X^μ D_μ ϕ : Γ (E) → Γ (E) を共変微分と呼ぶこともある. また, 単に接続 Dϕ=(d+A)ϕD ϕ = (\d{} + A) ϕ を共変微分と呼ぶこともある.

共変外微分 : Ωk(M,E)→Ωk+1(M,E)Ω^k (M, E) → Ω^{k+1} (M, E)

ベクトル束 EE に値を取る kk-形式を (k+1)(k+1)-形式に移す微分 D:Ωk(M,E)→Ωk+1(M,E)D : Ω^k (M, E) → Ω^{k+1} (M, E) を共変外微分 covariant exterior derivative という: ω∈Ωk(M)=Γ(Λk(T∗M))ω ∈ Ω^k (M) = Γ (Λ^k(T^{*}M)), ξ∈Ωl(M,E)=Γ(Λl(T∗M)⊗E)ξ ∈ Ω^l (M, E) = Γ (Λ^l(T^{*}M) ⊗ E), ω∧ξ∈Ωk+l(M,E)=Γ(Λk+l(T∗M)⊗E)ω ∧ ξ ∈ Ω^{k+l} (M, E) = Γ (Λ^{k+l} (T^{*}M) ⊗ E) に対して, Leibniz 則を満たす:

D(ω∧ξ)=dω∧ξ+(−1)kω∧Dξ,D (ω ∧ ξ) = \d{ω} ∧ ξ + (-1)^k ω ∧ D ξ,

あるいは, l=0l = 0 のとき,

D(ω⊗ξ)=dω⊗ξ+(−1)kω∧Dξ.D (ω ⊗ ξ) = \d{ω} ⊗ ξ + (-1)^k ω ∧ D ξ. \xymatrix{ Λ^k (T^{*}M) ⊗ E & Λ^{k+1} (T^{*}M) ⊗ E \\ \ \ar@{=>}[r]^{D} & \ \\ M \ar[uu]^{Ω^{k} (M, E) ∋ ϕ} & M \ar[uu]_{Dϕ ∈ Ω^{k+1} (M, E)} }

接ベクトル X,Y∈TpMX, Y ∈ T_pM に対し, ϕ∈Ω1(M,E)ϕ ∈ Ω^1 (M, E) の共変外微分は次の等式を満たす:

Dϕ(X,Y)=DX(ϕ(Y))−DY(ϕ(X))−ϕ([X,Y]).D ϕ (X, Y) = D_X (ϕ (Y)) - D_Y (ϕ (X)) - ϕ ([ X, Y ]).

曲率

p∈Mp ∈ M において EE の切断を2回共変外微分する操作 R:=D2:π−1(p)→Λ2(Tp∗M)⊗π−1(p)R := D^2 : π^{-1} (p) → Λ^2(T^{*}_pM) ⊗ π^{-1} (p) を pp における接続 DD の曲率 curvature という. このとき, Bianchi 恒等式 Bianchi identity を満たす:

DR=0.DR = 0.

ξ∈Γ(E)=Ω0(M,E)ξ ∈ Γ(E) = Ω^0 (M, E) に対し, p∈Mp ∈ M の接ベクトル X,Y∈TpMX, Y ∈ T_pM を用いた等式

D(Dξ)(X,Y)=DX(Dξ(Y))−DY(Dξ(X))−Dξ([X,Y])=DXDYξ−DYDXξ−D[X,Y]ξ\begin{aligned} D (D ξ) (X, Y) &= D_X (D ξ (Y)) - D_Y (D ξ (X)) - D ξ ([ X, Y ]) \\ &= D_X D_Y ξ - D_Y D_X ξ - D_{[ X, Y ]} ξ \end{aligned}

より, Ricchi 恒等式 Ricci identity が得られる:

R(X,Y)ξ=(DXDY−DYDX−D[X,Y])ξ.R (X, Y) ξ = (D_X D_Y - D_Y D_X - D_{[X, Y]}) ξ.

局所標構場 {ea}\{ e_a \} の曲率は, 接続 11-形式 A=(Aba)A = ({A^b}_a) を用いて,

D2ea=D(Aba⊗eb)=dAba⊗eb−Aba∧Deb=dAba⊗eb−Aba∧Acb⊗ec=(dAca+Acb∧Aba)⊗ec\begin{aligned} D^2 e_a &= D ({A^b}_a ⊗ e_b) \\ &= d {A^b}_a ⊗ e_b - {A^b}_a ∧ D e_b \\ &= d {A^b}_a ⊗ e_b - {A^b}_a ∧ {A^c}_b ⊗ e_c \\ &= (d {A^c}_a + {A^c}_b ∧ {A^b}_a) ⊗ e_c \end{aligned}

であるから, 構造方程式 structure equation が得られる:

Rea=(dAba+Abc∧Aca)⊗eb.R e_a = (d {A^b}_a + {A^b}_c ∧ {A^c}_a) ⊗ e_b.

このとき, Rea=Fba⊗ebR e_a = {F^b}_a ⊗ e_b となる Lie 代数に値を取る 22-形式

F=(Fba)=(dAba+Abc∧Aca)=dA+A∧A∈Ω2(M,End(E))=Γ(Λ2(T∗M)⊗g)\begin{aligned} F &= ({F^b}_a) \\ &= (\d{{A^b}_a} + {A^b}_c ∧ {A^c}_a) \\ &= \d{A} + A ∧ A \\ &∈ Ω^2 (M, \mathrm{End}(E)) = Γ (Λ^2 (T^{*}M) ⊗ \frak{g}) \end{aligned}

を曲率 22-形式 curvature 22-form あるいは場の強さ field strength という. ゲージ変換 A↦A′=gdg−1+gAg−1A ↦ A' = g \d{g^{-1}} + gAg^{-1} に対して, 場の強さ FF の変換規則は F↦F′=gFg−1F ↦ F' = gFg^{-1} である. また, 場の強さの外微分より, Bianchi 恒等式の別の表示が得られる:

dF=d(dA+A∧A)=d2A+d(A∧A)=dA∧A−A∧dA=(F−A∧A)∧A−A∧(F−A∧A)=F∧A−A∧F=:−[A,F].\begin{aligned} d F &= \d{(\d{A} + A ∧ A)} \\ &= \d{{}^2} A + \d{(A ∧ A)} \\ &= \d{A} ∧ A - A ∧ \d{A} \\ &= (F - A ∧ A) ∧ A - A ∧ (F - A ∧ A) \\ &= F ∧ A - A ∧ F \\ &=: - [A, F]. \\ \end{aligned} ∴dAF:=dF+[A,F]=0.∴ \d{{}_A} F := \d{F} + [A, F] = 0.

また, ゲージ場 A=AμdxμA = A_μ \d{x^μ}, 場の強さ F=12Fμνdxμ∧dxν\displaystyle F = \frac12 F_{μν} \d{x^μ} ∧ \d{x^ν} について,

F=dA+A∧A=d(Aμdxμ)+(Aμdxμ)∧(Aνdxν)=∂νAμdxν∧dxμ+AμAνdxμ∧dxν=12(∂μAν−∂νAμ)dxμ∧dxν+12(AμAν−AνAμ)dxμ∧dxν=12(∂μAν−∂νAμ+[Aμ,Aν])dxμ∧dxν.\begin{aligned} F &= \d{A} + A ∧ A \\ &= \d{(A_μ \d{x^μ})} + (A_μ \d{x^μ}) ∧ (A_ν \d{x^ν}) \\ &= ∂_ν A_μ \d{x^ν} ∧ \d{x^μ} + A_μ A_ν \d{x^μ} ∧ \d{x^ν} \\ &= \frac12 (∂_μ A_ν - ∂_ν A_μ) \d{x^μ} ∧ \d{x^ν} + \frac12 (A_μ A_ν - A_ν A_μ) \d{x^μ} ∧ \d{x^ν} \\ &= \frac12 (∂_μ A_ν - ∂_ν A_μ + [A_μ, A_ν]) \d{x^μ} ∧ \d{x^ν}. \end{aligned}

したがって, 場の強さの成分表示は,

Fμν=∂μAν−∂νAμ+[Aμ,Aν].F_{μν} = ∂_μ A_ν - ∂_ν A_μ + [A_μ, A_ν].

主 GG-束の接続

参考文献