微分幾何学

束と切断

底空間 base space と呼ばれる空間 \(B\) と全空間 total space と呼ばれる空間 \(E\) に対して, 射影 projection と呼ばれる写像 \(π : E → B\) があるとき, 三対 \((E, π, B)\) を bundle という. \(E \xrightarrow{π} B\), または単に \(E\) を束と呼ぶこともある.

\[\begin{CD} E \\ @VVπV \\ B \end{CD}\]

任意の \(b ∈ B\) について, 射影による逆像 \(π^{-1}(b) ∈ E\) を束の \(b\) 上のファイバー fibre という. 位相空間 \(B\), \(E\) を底空間, 全空間に持つ束 \(E \xrightarrow{π} B\) に対し, 位相空間 \(F\) が任意の \(b ∈ B\) 上のファイバーと同相であるとき, \(F\) を束のファイバーという. 特に \(E = B × F\) であるとき, この束 \(E\) は自明な束 trivial bundle という. このときの射影は \(π = \mathrm{prod}_1\).

\[\begin{CD} B × F \\ @VV{\mathrm{prod}_1}V \\ B \end{CD}\]

また, 写像 \(σ : B → E\) が \(π ∘ σ = 1_B\) を満たすとき, \(σ\) を切断 cross section という. 言い換えると, 切断とは, 任意の底空間上の点 \(b ∈ B\) に対して各ファイバー上の 1 点 \(σ(b) ∈ π^{-1}(b)\) を決める写像 \(σ\) である. 束 \(E\) の切断の全体を \(Γ(E)\) と表す.

\[\begin{CD} E \\ @AA{σ ∈ Γ(E)}A \\ B \end{CD}\]

ファイバー束と構造群

全空間 \(E\), 底空間 \(M\), ファイバー \(F\) が可微分多様体で, 射影 \(π\) が全射である束 \(E \xrightarrow{π} M\) について考える. \(M\) の開被覆 \(\{U_i\}\) に対して, 局所自明化 local trivialization と呼ばれる微分同相写像 \(φ_i : U_i × F → π^{-1}(U_i)\) が存在するとき, この束 \(E \xrightarrow{π} M\) をファイバー束 fibre bundle という.

\[\begin{CD} U_i × F @>{≃}>{φ_i}> π^{-1}(U_i) @>{ι}>> E \\ @VV{\mathrm{pr}_1}V @VV{π}V @VV{π}V \\ U_i @= U_i @>{ι}>> M \end{CD}\]

点 \(p^i ∈ U_i ⊂ M\) における局所自明化 \(φ_i\) を \(φ_{i,p} := φ_i(p,\ ) : F → π^{-1}(p)\) とする. 底空間上の点 \(p ∈ U_i ∩ U_j ≠ \varnothing\) について, \(g_{ij} (p) := φ_{i,p}^{-1} ∘ φ_{j,p} : F → F\) あるいは \(g_{ij} (p)\) を変換関数 transition function といい, \(p ∈ U_i \cup U_j \cup U_k\) に対してコサイクル条件 \(g_{ij} (p) g_{jk} (p) = g_{ik} (p)\) を満たす.

\[\xymatrix{ F \ar[r]_-{φ_{i,p}} & π^{-1}(p) \ar[d]^{π} & F \ar@/_18pt/[ll]_{g_{ij}(p)} \ar[l]^-{φ_{j,p}} \\ \{p\} \ar@{=}[r] & \{p\} & \{p\} \ar@{=}[l] }\]

\(F\) に左作用する位相群 \(G\) を用いて \(g_{ij} (p) : U_i ∩ U_j → G\) であるとき, \(G\) を構造群 structure group といい, このときのファイバー束 \(E \xrightarrow{π} M\) を \(G\)-束 \(G\)-bundle ともいう.

底空間 \(M\)とその開被覆 \(\{U_i\}\), ファイバー \(F\), 構造群 \(G\), 変換関数 \(g_{ij} (p)\) が与えられたとき, ファイバー束を構成可能である.

主 \(G\)-束と同伴ファイバー束

射影 \(π\) が微分可能な \(G\)-束 \(P \xrightarrow{π} M\) を考える. \(G\) が \(P\) に右から作用し, \(p ∈ M\) 上のファイバー上の点が \(G\) の作用で同一ファイバー上に移る (単純推移的 simply transitive) とき, このファイバー束 \(P \xrightarrow{π} M\) を主 \(G\)-束 principal \(G\)-bundle, あるいは単に主束 principal bundle という. 言い換えると, 主 \(G\)-束とは, 射影が微分可能, ファイバーが位相群 \(G\) である \(G\)-束である.

主 \(G\)-束 \(P \xrightarrow{π} M\), \(G\) が左作用する可微分多様体 \(F\) が与えられたとき, 商空間

\[P ×_G F := (P × F) / G\]

と写像 \(π_1 : P ×_G F → M, (u, f) ↦ π(u)\) はファイバー \(F\) のファイバー束 \(P ×_G F \xrightarrow{π_1} M\) を与える. これを同伴ファイバー束 associated fibre bundle という. 反対に, 上の定義のように \(G\)-束から同伴する主 \(G\)-束を構成可能である.

ベクトル束

体 \(K\) 上のベクトル空間 \(V\) をファイバーとするファイバー束 \(E \xrightarrow{π} M\) について考える. \(M\) の開被覆 \(\{U_i\}\) に対して, \(p ∈ U_i ⊂ M\) における局所自明化 \(ϕ_i(p,\ ): V → π^{-1}\) が線形同型を与えるとき, このファイバー束 \(E \xrightarrow{π} M\) をベクトル束 vector bundle という. 言い換えると, ベクトル束とは, 次元 \(n\) のベクトル空間をファイバーとして持つ \(GL(n)\)-束である. 自明かつファイバーが \(V = K\) であるベクトル束を自明な直線束という. また, 主 \(GL(n)\)-束の同伴ファイバー束は同伴ベクトル束と呼ばれる.

接束と余接束

可微分多様体 \(M\) 上の点 \(p ∈ M\) に対し, \(p\) の座標近傍における局所座標 \(\{ x_μ \}\) 上で定義された微分作用素 \(\displaystyle ∂_μ := \pdv{}{x^μ}\) を用いた \(\{ ∂_μ \}\) を基底とするベクトル空間 \(T_pM\) を接空間 tangent space といい, 接空間のベクトルを接ベクトル tangent vector という. 全空間 \(TM := \bigcup_{p ∈ M} T_pM\) に対して射影 \(π : M → TM\) が \(π^{-1} (p) ∈ T_pM\) を満たすようなベクトル束 \(TM \xrightarrow{π} M\) を接束 tangent bundle という. 接束の切断をベクトル場 vector field という.

接空間 \(T_pM\) の双対空間 \(T^{*}_pM\) を余接空間 cotangent space といい, \(T_pM\) の基底 \(\{ ∂_μ \}\) の双対基底は \(\{ \d{x^μ} \}\) である: \(\d{x^μ} (∂_ν) = δ^μ_ν\). また余接空間のベクトルを余接ベクトル cotangent vector という. 全空間 \(T^{*}M := \bigcup_{p ∈ M} T^{*}_pM\) に対して射影 \(π : M → T^{*}M\) が \(π^{-1}(p) ∈ T^{*}_pM\) を満たすようなベクトル束 \(T^{*}M \xrightarrow{π} M\) を余接束 cotangent bundle という.

微分形式とベクトル束上の接続

ベクトル束 \(E \xrightarrow{x} M\) に対し, \(M\) の余接空間の \(k\) 次交代テンソル空間 \(Λ^k (T^{*}M) := \bigcup_{p ∈ M} Λ^k (T^{*}_pM)\) を付け加えた \(Λ^k (T^{*}M) ⊗ E \xrightarrow{π_1} M\) の切断 \(Ω^{k} (M, E) := Γ(Λ^k (T^{*}M) ⊗ E)\) を \(E\) に値を取る \(k\)-形式 \(k\)-form の空間という.

\[\begin{CD} Λ^k (T^{*}M) ⊗ E \\ @AAϕ ∈ Ω^{k} (M, E)A \\ M \end{CD}\]

ベクトル束 \(E\) が自明な直線束であるとき単に \(Ω^k (M) := Ω^k (M, E) = Γ(Λ^k (T^{*}M))\) と書き, 単に \(k\)-形式の空間という.

\[\begin{CD} Λ^k (T^{*}M) \\ @AAϕ ∈ Ω^{k} (M)A \\ M \end{CD}\]

全微分 : \(Ω^0 (M) → Ω^1 (M)\)

自明な直線束に値を取る \(0\)-形式を \(1\)-形式に移す微分 \(\d{} : Ω^0 (M) → Γ(T^{*}M) = Ω^1 (M)\) は全微分である: \(f, g ∈ Ω^0 (M)\), \(fg ∈ Ω^0 (M)\) に対して, Leibniz 則を満たす:

\[\d{(fg)} = (\d{f}) g + f (\d{g}).\] \[\xymatrix{ K & T^{*}M \\ \ \ar@{=>}[r]^{\d{}} & \ \\ M \ar[uu]^{Ω^0 (M) ∋ f} & M \ar[uu]_{\d{f} ∈ Ω^1 (M)} }\]

\(T^{*}_pM\) の基底 \(\{d x^μ\}\) に対し, \(f ∈ Ω^0 (M)\) は局所的に

\[\d{f} := (∂_μ f )\ \d{x^μ}.\]

外微分 : \(Ω^k (M) → Ω^{k+1} (M)\)

自明な直線束に値を取る \(k\)-形式を \((k+1)\)-形式に移す微分 \(\d{} : Ω^k (M) → Ω^{k+1} (M)\) を外微分 exterior derivative という: \(ω ∈ Ω^k (M)\), \(ξ ∈ Ω^l (M)\), \(ω ∧ ξ ∈ Ω^{k+l} (M)\) に対して, Leibniz 則を満たす:

\[\d{(ω ∧ ξ)} = \d{ω} ∧ ξ + (-1)^k ω ∧ \d{ξ}.\] \[\xymatrix{ Λ^k (T^{*}M) & Λ^{k+1} (T^{*}M) \\ \ \ar@{=>}[r]^{\d{}} & \ \\ M \ar[uu]^{Ω^{k} (M) ∋ ω} & M \ar[uu]_{\d{ω} ∈ Ω^{k+1} (M)} }\]

\(T^{*}_pM\) の基底 \(\{d x^μ\}\) に対し, \(ω = \frac1{k!} ω_{μ_1 ⋯ μ_k} \d{x^{μ_1}} ∧ ⋯ ∧ \d{x^{μ_k}} ∈ Ω^k (M)\) は局所的に

\[\d{ω} := \frac1{k!} (∂_ν ω_{μ_1 ⋯ μ_k}) \d{x^ν} ∧ \d{x^{μ_1}} ∧ ⋯ ∧ \d{x^{μ_k}}.\]

このとき, 外積代数の交代性より外微分を2回作用させると0になる: \(\d{{}^2} = 0\). また, \(X, Y ∈ T_pM\) に対し, \(ω ∈ Ω^1 (M)\) の外微分は次の等式を満たす:

\[\d{ω} (X, Y) = X (ω (Y)) - Y (ω (X)) - ω ([ X, Y ]).\]

共変微分 : \(Ω^0 (M, E) → Ω^1(M, E)\)

ベクトル束 \(E\) に値を取る \(0\)-形式を \(1\)-形式に移す微分 \(D : Ω^0 (M, E) → Ω^1 (M, E)\) を接続 connection という: \(f ∈ Ω^0 (M)\), \(ξ' ∈ Ω^0 (M, E) = Γ(E)\), \(f ξ' ∈ Ω^0 (M, E)\) に対して, Leibniz 則を満たす:

\[D (f ξ') = \d{f} ⊗ ξ' + f D ξ'.\] \[\xymatrix{ E & T^{*}M ⊗ E \\ \ \ar@{=>}[r]^{D} & \ \\ M \ar[uu]^{Ω^0 (M, E) ∋ ϕ} & M \ar[uu]_{D ϕ ∈ Ω^1 (M, E)} }\]

\(p ∈ M\) の座標近傍 \(U_i ⊂ M\) とその局所自明化 \(φ_{i,p} := φ_i (p,\ )\) に対し, 切断 \(ϕ ∈ Γ(E)\) の接続は

\[D ϕ := φ_{i,p} (\d{} + A_i) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ.\]

ここで, Lie 代数に値を取る \(1\)-形式 \(A_i ∈ Ω^1 (U_i, \mathrm{End} (E)) = Γ(T^{*}U_i ⊗ \frak{g})\) は接続 \(1\)-形式またはゲージ場 gauge field といい, 局所標構場 local frame field と呼ばれる \(Ω (U_i, E) = Γ(π^{-1} (U_i))\) の局所的な基底 \(\{ e_a \}\) を用いて, \(∇ e_a = φ_{i,p} {(A_i)^b}_a ⊗ φ_{i,p}^{-1} ∘ e_b\) と展開できる. また, ゲージ場は別の座標近傍と「接続」する役割を持つ: \(p ∈ M\) の座標近傍 \(U_i, U_j ⊂ M\) とその局所自明化 \(φ_{i,p} := φ_i (p,\ )\), \(φ_{j,p} := φ_j (p,\ )\) に対し, 切断 \(ϕ ∈ Γ(E)\) は

\[D ϕ = φ_{i,p} (\d{} + A_i) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ = φ_{j,p} (\d{} + A_j) φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ,\]

あるいは 局所切断 \(ϕ_i := φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ\), \(ϕ_j := φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ\) と, それらに対する局所的な接続 \(D_i := \d{} + A_i\), \(D_j := \d{} + A_j\) を用いて, 変換関数による局所的な接続の変換式が得られる:

\[D_i ϕ_i = g_{ij} (p) D_j ϕ_j.\]

また, ベクトル束の構造群が \(GL(n)\) であることを用いて,

\[\begin{aligned} φ_{j,p} (\d{} + A_j) φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ &= φ_{j,p} \d{(φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ)} + φ_{j,p} A_j φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ \\ &= φ_{j,p} \d{(φ_{j,p}^{-1} ∘ φ_{i,p} ∘ φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ)} + φ_{j,p} A_j φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ \\ &= φ_{j,p} \d{(g_{ji} (p) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ)} + φ_{j,p} A_j φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ \\ &= φ_{j,p} \d{(g_{ji} (p))} φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ + φ_{j,p} g_{ji} (p) \d{(φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ)} + φ_{j,p} A_j φ_{j,p}^{-1} ∘ ϕ \\ &= φ_{i,p} \d{(φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ)} + φ_{i,p} g_{ij} (p) \d{(g_{ji} (p))} φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ + φ_{i,p} g_{ij} (p) A_j g_{ji} (p) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ \\ &= φ_{i,p} (d + g_{ij} (p) \d{g_{ji} (p)} + g_{ij} (p) A_j g_{ji} (p)) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ . \end{aligned}\]

これが \(φ_{i,p} (\d{} + A_i) φ_{i,p}^{-1} ∘ ϕ\) と等しい条件は,

\[A_i = g_{ij} (p) \d{g_{ji}} (p) + g_{ij} (p) A_j g_{ji} (p),\]

あるいは \(A := A_j\), \(A' := A_i\), \(g := g_{ij} (p)\) として,

\[A' = g \d{g^{-1}} + g A g^{-1}.\]

変換関数による変換に相当する \(A ↦ A' = g \d{g^{-1}} + g A g^{-1}\) をゲージ変換 gauge transformation という. また, ゲージ場をスカラー倍 \(A ↦ λ A\) しても接続の性質は変わらない.

\[\xymatrix{ F \ar[r]_-{φ_{i,p}} & π^{-1}(p) & F \ar@/_18pt/[ll]_{g_{ij}(p)} \ar[l]^-{φ_{j,p}} & T^{*}_pM ⊗ F \ar[r]_-{φ_{i,p}} & T^{*}_pM ⊗ π^{-1}(p) & T^{*}_pM ⊗ F \ar@/_18pt/[ll]_{g_{ij}(p)} \ar[l]^-{φ_{j,p}} \\ & \ \ar@{=>}@/^8pt/[rrr]^{D} &&& \ \\ \{p\} \ar[uu]^{ϕ_i} \ar@{=}[r] & \{p\} \ar[uu]^{ϕ} & \{p\} \ar@{=}[l] \ar[uu]_{ϕ_j} & \{p\} \ar@{=}[r] \ar[uu]_{(d+A_i)ϕ_i} & \{p\} \ar[uu]_{Dϕ} & \{p\} \ar@{=}[l] \ar[uu]_{(d+A_j)ϕ_j} }\]

実用上, 接続はしばしば局所的な接続と同一視される:

\[D ϕ := (\d{} + A) ϕ.\]

例えば, \(D e_a = {A^b}_a ⊗ e_b\), \(D' ϕ' = g D ϕ\) など. \(T^{*}_pM\) の基底 \(\{ d x^μ \}\) に対して, 接続 \(1\)-形式 \(A = A_μ \d{x^μ}\) を用いて, 局所的に \(D ϕ = D_μ ϕ \ \d{x^μ} = (∂_μ + A_μ) ϕ \ \d{x^μ}\) と展開される. このとき, 接続の成分表示を共変微分 convariant derivative という:

\[D_μ ϕ = (∂_μ + A_μ) ϕ.\]

また, \(\{ \d{x^μ} \}\) を双対基底に持つ \(T_pM\) の基底 \(\{ ∂_μ \}\) に対して, \(X = X^μ ∂_μ ∈ T_pM\) を用いた \(D_X ϕ := D ϕ (X) = X^μ D_μ ϕ : Γ (E) → Γ (E)\) を共変微分と呼ぶこともある. また, 単に接続 \(D ϕ = (\d{} + A) ϕ\) を共変微分と呼ぶこともある.

共変外微分 : \(Ω^k (M, E) → Ω^{k+1} (M, E)\)

ベクトル束 \(E\) に値を取る \(k\)-形式を \((k+1)\)-形式に移す微分 \(D : Ω^k (M, E) → Ω^{k+1} (M, E)\) を共変外微分 covariant exterior derivative という: \(ω ∈ Ω^k (M) = Γ (Λ^k(T^{*}M))\), \(ξ ∈ Ω^l (M, E) = Γ (Λ^l(T^{*}M) ⊗ E)\), \(ω ∧ ξ ∈ Ω^{k+l} (M, E) = Γ (Λ^{k+l} (T^{*}M) ⊗ E)\) に対して, Leibniz 則を満たす:

\[D (ω ∧ ξ) = \d{ω} ∧ ξ + (-1)^k ω ∧ D ξ,\]

あるいは, \(l = 0\) のとき,

\[D (ω ⊗ ξ) = \d{ω} ⊗ ξ + (-1)^k ω ∧ D ξ.\] \[\xymatrix{ Λ^k (T^{*}M) ⊗ E & Λ^{k+1} (T^{*}M) ⊗ E \\ \ \ar@{=>}[r]^{D} & \ \\ M \ar[uu]^{Ω^{k} (M, E) ∋ ϕ} & M \ar[uu]_{Dϕ ∈ Ω^{k+1} (M, E)} }\]

接ベクトル \(X, Y ∈ T_pM\) に対し, \(ϕ ∈ Ω^1 (M, E)\) の共変外微分は次の等式を満たす:

\[D ϕ (X, Y) = D_X (ϕ (Y)) - D_Y (ϕ (X)) - ϕ ([ X, Y ]).\]

曲率

\(p ∈ M\) において \(E\) の切断を2回共変外微分する操作 \(R := D^2 : π^{-1} (p) → Λ^2(T^{*}_pM) ⊗ π^{-1} (p)\) を \(p\) における接続 \(D\) の曲率 curvature という. このとき, Bianchi 恒等式 Bianchi identity を満たす:

\[DR = 0.\]

\(ξ ∈ Γ(E) = Ω^0 (M, E)\) に対し, \(p ∈ M\) の接ベクトル \(X, Y ∈ T_pM\) を用いた等式

\[\begin{aligned} D (D ξ) (X, Y) &= D_X (D ξ (Y)) - D_Y (D ξ (X)) - D ξ ([ X, Y ]) \\ &= D_X D_Y ξ - D_Y D_X ξ - D_{[ X, Y ]} ξ \end{aligned}\]

より, Ricchi 恒等式 Ricci identity が得られる:

\[R (X, Y) ξ = (D_X D_Y - D_Y D_X - D_{[X, Y]}) ξ.\]

局所標構場 \(\{ e_a \}\) の曲率は, 接続 \(1\)-形式 \(A = ({A^b}_a)\) を用いて,

\[\begin{aligned} D^2 e_a &= D ({A^b}_a ⊗ e_b) \\ &= d {A^b}_a ⊗ e_b - {A^b}_a ∧ D e_b \\ &= d {A^b}_a ⊗ e_b - {A^b}_a ∧ {A^c}_b ⊗ e_c \\ &= (d {A^c}_a + {A^c}_b ∧ {A^b}_a) ⊗ e_c \end{aligned}\]

であるから, 構造方程式 structure equation が得られる:

\[R e_a = (d {A^b}_a + {A^b}_c ∧ {A^c}_a) ⊗ e_b.\]

このとき, \(R e_a = {F^b}_a ⊗ e_b\) となる Lie 代数に値を取る \(2\)-形式

\[\begin{aligned} F &= ({F^b}_a) \\ &= (\d{{A^b}_a} + {A^b}_c ∧ {A^c}_a) \\ &= \d{A} + A ∧ A \\ &∈ Ω^2 (M, \mathrm{End}(E)) = Γ (Λ^2 (T^{*}M) ⊗ \frak{g}) \end{aligned}\]

曲率 \(2\)-形式 curvature \(2\)-form あるいは場の強さ field strength という. ゲージ変換 \(A ↦ A' = g \d{g^{-1}} + gAg^{-1}\) に対して, 場の強さ \(F\) の変換規則は \(F ↦ F' = gFg^{-1}\) である. また, 場の強さの外微分より, Bianchi 恒等式の別の表示が得られる:

\[\begin{aligned} d F &= \d{(\d{A} + A ∧ A)} \\ &= \d{{}^2} A + \d{(A ∧ A)} \\ &= \d{A} ∧ A - A ∧ \d{A} \\ &= (F - A ∧ A) ∧ A - A ∧ (F - A ∧ A) \\ &= F ∧ A - A ∧ F \\ &=: - [A, F]. \\ \end{aligned}\] \[∴ \d{{}_A} F := \d{F} + [A, F] = 0.\]

また, ゲージ場 \(A = A_μ \d{x^μ}\), 場の強さ \(\displaystyle F = \frac12 F_{μν} \d{x^μ} ∧ \d{x^ν}\) について,

\[\begin{aligned} F &= \d{A} + A ∧ A \\ &= \d{(A_μ \d{x^μ})} + (A_μ \d{x^μ}) ∧ (A_ν \d{x^ν}) \\ &= ∂_ν A_μ \d{x^ν} ∧ \d{x^μ} + A_μ A_ν \d{x^μ} ∧ \d{x^ν} \\ &= \frac12 (∂_μ A_ν - ∂_ν A_μ) \d{x^μ} ∧ \d{x^ν} + \frac12 (A_μ A_ν - A_ν A_μ) \d{x^μ} ∧ \d{x^ν} \\ &= \frac12 (∂_μ A_ν - ∂_ν A_μ + [A_μ, A_ν]) \d{x^μ} ∧ \d{x^ν}. \end{aligned}\]

したがって, 場の強さの成分表示は,

\[F_{μν} = ∂_μ A_ν - ∂_ν A_μ + [A_μ, A_ν].\]

主 \(G\)-束の接続

参考文献