圏論

圏論

圏 category \(\mathcal{C}\) は, 対象 object のあつまり collection \(\operatorname*{Ob}(\mathcal{C})\) と, 任意の 2 つの対象 \(a, b ∈ \operatorname*{Ob}(\mathcal{C})\) に対して射 morphism の集合 \(\operatorname*{Mor}(a, b)\) で構成され, 射の合成 \(\circ : \operatorname*{Mor}(a, b) × \operatorname*{Mor}(b, c) \overset{\circ}{→} \operatorname*{Mor}(a, c)\), \((f,g) \overset{\circ}{↦} g \circ f\) が以下を満たす:

• 結合律 : \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\),
• 単位射 : \(∃1_a∈\operatorname*{Mor}(a,a)\) s.t. \(f \circ 1_a = f\), \(1_a \circ g = g\).

また, \(a \overset{f}{→} b\) に対し, \(f^{-1} \circ f = 1_a\), \(f \circ f^{-1} = 1_b\) となる \(f^{-1}\) が存在するとき, \(f\) を同型射といい, \(f^{-1}\) を \(f\) の逆射という.