解析力学ノート

解析力学の基本事項をまとめる. 積極的に汎関数の計算も用いる.

最小作用の原理

古典力学において, 以下を原理として認める.

パラメータ \(ξ^i\) に依存する力学変数 \(X^α(ξ^i)\) に対して, 作用 action と呼ばれる汎関数 \(S[X^α]\) が存在し, 物理現象において力学変数 \(X^α\) は作用 \(S[X^α]\) が最小となるような関数が選ばれる. つまり, \(X^α(t) ↦ X^α(ξ^i) + δX^α(ξ^i)\) (ただし境界固定 \(δX^α=0\)) となる微小変換に対し, 作用が停留値を取る:

\[δS[X^α] ≡ S[X^α + δX^α] - S[X^α] = 0.\]

この古典的原理を最小作用の原理という.

上の変分は 1 次の冪展開を用いて以下のように書き直される:

\[δS[X^α] = ∫_V \d{{}^D X^α} \fdv{S[X^α]}{X^α(ξ^i)} δX^α(ξ^i).\]

ただし 積分範囲 \(V\) は力学変数 \(X^α\) のであり, \(D\) はその次元である. \(δX^α(ξ^i)\) は \(\{ξ^i\} ∈ V - ∂V\) で任意だから, 最小作用の原理は汎関数微分を用いた以下の停留条件と等価である:

\[\fdv{S[q^i(t)]}{q^j(t')} = 0. \quad (t_1<t'<t_2)\]

Euler–Lagrange の運動方程式

作用は, 座標と時間に関する Lagrangian \(L(q^i, \.q^i, t)\) を用いて以下のように表される:

\[S[q^i] = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} L(q^i, \.q^i, t).\]

最小作用の原理に対し, この Lagrangian が満たすべき条件を求めよう. \(q^i ↦ q^i + δq^i\) の変化に対し,

\[\begin{aligned} δS[q^i] =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ L\pqty{q^i + δq^i, \.q^i + \dv{δq^i}{t}, t} - L(q^i, \.q^i, t) } \\ =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ δq^i \pdv{L}{q^i} + \dv{δq^i}{t} \pdv{L}{\.q^i} } \\ =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ δq^i \pdv{L}{q^i} - δq^i \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} + \dv{}{t} \pqty{ δq^i \pdv{L}{\.q^i} } } \\ =& ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δq^i \bqty{ \pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} } + \bqty{ δq^i \pdv{L}{\.q^i}}_{t=t_1}^{t=t_2}. \end{aligned}\]

ここで, 第2項は両端固定の境界条件 \(δq^i(t_1)=δq^i(t_2)=0\) より消える:

\[δS[q^i] = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δq^i \bqty{ \pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} }.\]

\(δq^i(t)\) は \(t_1<t<t_2\) で任意だから, 原理 \(δS[q^i] = 0\) より, 運動方程式が得られる:

最小作用の原理を満たすとき, Lagrangian \(L(q^i,\.q^i,t)\) は以下の Euler–Lagrange の運動方程式を満たす:

\[\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} = 0.\]

汎関数微分を用いても同様の結果が得られる. \(t_1<t<t_2\) における作用の汎関数微分は

\[\begin{aligned} \fdv{S[q^i(t)]}{q^j(t')} &= \lim_{h → 0} \frac{S[q^i(t) + h δ^i_j δ(t - t')] - S[q^i(t)]}{h} \\ &= \lim_{h → 0} \frac1h \bqty{ ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} L ( q^i(t) + h δ^i_j δ(t - t'), \.q^i(t) + h δ^i_j \.δ(t - t'), t) - ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} L (q^i(t), \.q^i(t), t) } \\ &= \lim_{h → 0} \frac1h ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ \pdv{L}{q^i(t)} h δ^i_j δ(t - t') + \pdv{L}{\.q^i(t)} h δ^i_j \.δ(t - t') + o(ε^2) } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ \pdv{L}{q^j(t)} δ(t - t') + \pdv{L}{\.q^j(t)} \.δ(t - t') } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{\pdv{L}{q^j(t)} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^j(t)}}}δ(t - t') + \bqty{\pdv{L}{\.q^j(t)}δ(t-t')}_{t=t_1}^{t=t_2}. \\ \end{aligned}\]

したがって, \(t_1<t'<t_2\) において,

\[\fdv{S[q^i(t)]}{q^i(t')} = \pdv{L}{q^i(t')} - \dv{}{t'} \pqty{\pdv{L}{\.q^i(t')}}.\]

または, 作用の変分を計算して,

\[\begin{aligned} δS[q^i(t)] &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t'} \fdv{S[q^i(t)]}{q^j(t')} δq^j(t') \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t'} \qty{∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{\pdv{L}{q^j(t)} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^j(t)}}}δ(t - t') + \bqty{\pdv{L}{\.q^j(t)}δ(t-t')}_{t=t_1}^{t=t_2}} δq^j(t') \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t'} ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δq^j(t') \bqty{\pdv{L}{q^j(t)} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^j(t)}}}δ(t - t') + \bqty{∫_{t_1}^{t_2} \d{t'} δq^j(t') \pdv{L}{\.q^j(t)}δ(t-t')}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δq^j(t) \bqty{\pdv{L}{q^j(t)} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^j(t)}}} + \bqty{δq^j(t) \pdv{L}{\.q^j(t)}}_{t=t_1}^{t=t_2}. \\ \end{aligned}\]

このように汎関数微分を用いても同様に Euler–Lagrange の運動方程式が得られる.

例: 一次元一粒子系

一次元一粒子系の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - V(q).\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{L}{q} &= - \pdv{V}{q}, & \dv{}{t}\pqty{\pdv{L}{\.q}} &= \dv{}{t} (m \.q) = m \"q. \end{aligned}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式は,

\[m\"q + \pdv{V}{q} = 0.\]

ポテンシャルが無い \(V=0\) ときの作用の表式を求める. 運動方程式 \(m\"q = 0\) を解いて,

\[\.q(t) = \frac{q(t_2)-q(t_1)}{t_2-t_1}.\]

したがって, 作用は,

\[S[q] = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \frac{m}{2} \frac{(q(t_2)-q(t_1))^2}{(t_1-t_2)^2} = \frac{m}{2} \frac{(q(t_2)-q(t_1))^2}{t_2-t_1}.\]

例: 調和振動子

調和振動子の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - \frac12 m ω^2 q^2.\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{L}{q} &= - m ω^2 q, & \dv{}{t}\pqty{\pdv{L}{\.q}} &= \dv{}{t} (m \.q) = m \"q. \end{aligned}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式は

\[m\"q + m ω^2 q = 0.\]

作用の表式を求める. 運動方程式を解いて,

\[\begin{aligned} q(t) &= \frac{q_1 \sin ω(t-t_2) - q_2 \sin ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}, \\ \.q(t) &= ω \frac{q_1 \cos ω(t-t_2) - q_2 \cos ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}. \\ \end{aligned}\]

したがって, 作用は,

\[\begin{aligned} S[q] &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \frac{m}{2} \bqty{\qty{ω \frac{q_1 \cos ω(t-t_2) - q_2 \cos ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}}^2 - ω^2 \qty{\frac{q_1 \sin ω(t-t_2) - q_2 \sin ω(t-t_1)}{\sin ω(t_1-t_2)}}^2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \frac{mω^2}{2} \frac{q_1^2 \cos 2ω(t-t_2) + q_2^2 \cos 2ω(t-t_1) - 2q_1q_2\cos(2t-t_1-t_2)}{\sin^2 ω(t_2-t_1)} \\ &= \frac{mω}{2 \sin ω(t_2-t_1)} \bqty{(q_1^2+q_2^2) \cos ω(t_2-t_1) - 2q_1q_2}. \\ \end{aligned}\]

Noether の定理

時間の微小変換 \(t↦t'=t+δt\) に対し, 座標が \(q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+δq^i(t)\) と変換されるとする. このとき \(t_1<t<t_2\) の作用は

\[\begin{aligned} δS[q^i] &= ∫_{t_1+δt(t_1)}^{t_2+δt(t_2)} \d{t'} L(q'^i(t'),∂'_tq'^i(t'),t') - ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} L(q^i(t),\.q^i(t),t) \\ & \quad \pqty{\d{t'} = \dv{t'}{t} \d{t} = (1+δ\.t) \d{t}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \Big[ (1+δ\.t) L(q'^i(t'),∂'_tq'^i(t'),t') - L(q^i(t),\.q^i(t),t) \Big] \\ & \quad \pqty{ ∂'_tq'(t') = \dv{t}{t'} ∂_t (q^i(t)+δq^i(t)) = (1-δ\.t)(\.q^i+δ\.q^i) = \.q^i+δ\.q^i-\.q^iδ\.t } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \Big[ δ\.t L + L(q^i+δq^i,\.q^i+δ\.q^i-\.q^iδ\.t,t+δt) - L(q^i,\.q^i,t) \Big] \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{δ\.t L + δq^i \pdv{L}{q^i} + (δ\.q^i-\.q^iδ\.t) \pdv{L}{\.q^i} + δt \pdv{L}{t}} \\ & \quad \pqty{\text{Lie 微分 $δ^Lq^i(t) ≡ q'^i(t) - q^i(t) = δq^i - \.q^i δt$}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{δ\.t L + (δ^Lq^i + \.q^i δt) \pdv{L}{q^i} + (∂_tδ^Lq^i + \"q^i δt) \pdv{L}{\.q^i} + δt \pdv{L}{t}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{δ\.t L + δ^Lq^i \pdv{L}{q^i} + δt \.q^i \pdv{L}{q^i} + ∂_tδ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i} + δt \"q^i \pdv{L}{\.q^i} + δt \pdv{L}{t}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{ ∂_t \pqty{δt L} + δ^Lq^i \pdv{L}{q^i} + ∂_t\pqty{δ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i}} - δ^Lq^i \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \qty{ δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + \dv{}{t} \pqty{δ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i} + δt L} } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + \bqty{δ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i} + δt L}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + \bqty{δq^i \pdv{L}{\.q^i} - δt \pqty{\.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L}}_{t=t_1}^{t=t_2}. \\ \end{aligned}\]

ここで, 第一項は Euler–Lagrange の運動方程式より消えて, 第二項の \(t_1\), \(t_2\) は任意である1. したがって, この変換に対し作用が不変 \(δS=0\) であるとすると, 対応する保存量が得られる:

時間の微小変換 \(t↦t'=t+δt\) に対し, 座標が \(q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+δq^i(t)\) と変換されるとき, 作用が不変であるならば, 量

\[δQ ≡ δq^i \pdv{L}{\.q^i} - δt \pqty{\pdv{L}{\.q^i} \.q^i - L}\]

は保存する(Noether の定理 Noether’s theorem):

\[\dv{δQ}{t} = 0.\]

同じ結果を汎関数微分を用いて導出しよう. 以下, 混乱を防ぐために作用の積分変数を添字で書く. つまり, \(S_t[q^i]≡S[q^i(t)]\) である. 変分 \(δS_t[q^i]\) を1次で展開すると2,

\[δS_t[q^i] = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t_0} \fdv{S_t[q^i]}{q^i(t_0)} δ^Lq^i(t_0) + ∫_{t_1}^{t_2} \d{t_0} \left.\fdv{S_{τ(t)}[q^i]}{τ(t_0)}\right|_{τ(t)=t} δt(t_0).\]

それぞれの汎関数微分を計算すると,

\[\fdv{S_t[q^i]}{q^i(t_0)} = ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{\pdv{L}{q^i(t)} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i(t)}}}δ(t - t_0) + \bqty{\pdv{L}{\.q^i(t)}δ(t-t_0)}_{t=t_1}^{t=t_2},\] \[\begin{aligned} \fdv{S_{τ(t)}[q^i]}{τ(t_0)} &= \lim_{h→0} \frac{S_{τ(t)+hδ(t-t_0)}[q^i] - S_{τ(t)}[q^i]}h \\ &= \lim_{h→0} \frac1h \left\{∫_{τ(t_1)}^{τ(t_2)} \d{(τ(t)+hδ(t-t_0))} L(q^i(τ(t)+hδ(t-t_0)),\.q^i(τ(t)+hδ(t-t_0)),τ(t)+hδ(t-t_0))\right. \\ &\qquad\qquad\quad - \left.∫_{τ(t_1)}^{τ(t_2)} \d{τ(t)} L(q^i(τ(t)),\.q^i(τ(t)),τ(t))\right\} \\ &= \lim_{h→0} \frac1h \left\{∫_{τ(t_1)}^{τ(t_2)} \d{τ(t)} L(q^i(τ(t)+hδ(t-t_0)),\.q^i(τ(t)+hδ(t-t_0)),τ(t)+hδ(t-t_0))\right. \\ &\qquad\qquad\quad + ∫_{τ(t_1)}^{τ(t_2)} \d{τ(t)} h L(q^i(τ(t)+hδ(t-t_0)),\.q^i(τ(t)+hδ(t-t_0)),τ(t)+hδ(t-t_0)) \dv{δ(t-t_0)}{τ(t)} \\ &\qquad\qquad\quad - \left.∫_{τ(t_1)}^{τ(t_2)} \d{τ(t)} L(q^i(τ(t)),\.q^i(τ(t)),τ(t))\right\} \\ &= \lim_{h→0} \frac1h \left\{∫_{τ(t_1)}^{τ(t_2)} \d{τ(t)} \bqty{\pdv{L}{q^i(τ(t))} \.q^i(τ(t)) hδ(t-t_0) + \pdv{L}{\.q^i(τ(t))} \"q^i(τ(t)) hδ(t-t_0) + \pdv{L}{τ(t)} hδ(t-t_0)}\right. \\ &\qquad\qquad\quad + \left.∫_{τ(t_1)}^{τ(t_2)} \d{τ(t)} h L(q^i(τ(t)),\.q^i(τ(t)),τ(t)) \dv{δ(t-t_0)}{τ(t)} + O(h^2) \right\} \\ &= ∫_{τ(t_1)}^{τ(t_2)} \d{τ(t)} \qty{\bqty{\pdv{L}{q^i(τ(t))} \.q^i(τ(t)) + \pdv{L}{\.q^i(τ(t))} \"q^i(τ(t)) + \pdv{L}{τ(t)}} δ(t-t_0) + L(q^i(τ(t)),\.q^i(τ(t)),τ(t)) \dv{δ(t-t_0)}{τ(t)}} \\ &= ∫_{τ(t_1)}^{τ(t_2)} \d{τ(t)} \dv{}{τ(t)} \bqty{L(q^i(τ(t)),\.q^i(τ(t)),τ(t)) δ(t-t_0)} \\ &= \bqty{L(q^i(τ(t)),\.q^i(τ(t)),τ(t)) δ(t-t_0)}_{τ(t)=τ(t_1)}^{τ(t)=τ(t_2)} \\ \end{aligned}\] \[∴ \left.\fdv{S_{τ(t)}[q^i]}{τ(t_0)}\right|_{τ(t)=t} = \bqty{L(q^i(t),\.q^i(t),t) δ(t-t_0)}_{t=t_1}^{t=t_2}. \\\]

これらを変分の式に代入すると,

\[\begin{aligned} δS_t[q^i] &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t_0} δ^Lq^i(t_0) \qty{∫_{t_1}^{t_2} \d{t} \bqty{\pdv{L}{q^i(t)} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i(t)}}}δ(t - t_0) + \bqty{\pdv{L}{\.q^i(t)}δ(t-t_0)}_{t=t_1}^{t=t_2}} \\ &\quad\quad+ ∫_{t_1}^{t_2} \d{t_0} δt(t_0) \bqty{L(q^i(t),\.q^i(t),t) δ(t-t_0)}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t_0} ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δ^Lq^i(t_0) \bqty{\pdv{L}{q^i(t)} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i(t)}}}δ(t - t_0) + \bqty{∫_{t_1}^{t_2} \d{t_0} δ^Lq^i(t_0) \pdv{L}{\.q^i(t)}δ(t-t_0)}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &\quad\quad+ \bqty{∫_{t_1}^{t_2} \d{t_0} δt(t_0) L(q^i(t),\.q^i(t),t) δ(t-t_0)}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δ^Lq^i(t) \bqty{\pdv{L}{q^i(t)} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i(t)}}} + \bqty{δ^Lq^i(t) \pdv{L}{\.q^i(t)} + δt(t) L(q^i(t),\.q^i(t),t)}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t} δ^Lq^i(t) \bqty{\pdv{L}{q^i(t)} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i(t)}}} + \bqty{δq^i(t) \pdv{L}{\.q^i(t)} - δt \pqty{\.q^i(t) \pdv{L}{\.q^i(t)} - L(q^i(t),\.q^i(t),t)}}_{t=t_1}^{t=t_2}. \\ \end{aligned}\]

したがって同様に示された.

例: 空間並進に対する不変量

時間並進 \(t↦t'=t, q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+ε^i\) に対し, 作用が不変であるとき, 対応する保存量は

\[\begin{gathered} δQ = ε^i \pdv{L}{\.q^i} = \mathrm{const.} \\ ∴ \pdv{L}{\.q^i} = \mathrm{const.} \end{gathered}\]

この不変量 \(\displaystyle p_i ≡ \pdv{L}{\.q^i}\) は一般化運動量と呼ばれる.

例: 時間並進に対する不変量

時間並進 \(t↦t'=t+ε\), \(q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)\) に対し, 作用が不変であるとき, 対応する保存量は

\[\begin{gathered} δQ = - ε \pqty{\.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L} = \mathrm{const.} \\ ∴ \.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L = \mathrm{const.} \end{gathered}\]

この不変量 \(\displaystyle H ≡ \.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L = \.q^i p_i - L\) は Hamiltonian と呼ばれる.

例: 空間回転に対する不変量

3 次元空間での一粒子 \(q=\bm{x}\) を考える. 空間回転 \(t↦t'=t, \bm{x}(t) ↦ \bm{x}'(t') = R(\bm{ε}) \bm{x}(t) = \bm{x}(t) - \bm{ε} × \bm{x}(t)\) に対し, 作用が不変であるとき, 対応する保存量は

\[δQ = (- \bm{ε} × \bm{x}) ⋅ \pdv{L}{\.{\bm{x}}} = - \bm{ε} ⋅ \pqty{\bm{x} × \pdv{L}{\.{\bm{x}}}} = \mathrm{const.}\] \[∴ \bm{x} × \pdv{L}{\.{\bm{x}}} = \mathrm{const.}\]

この不変量 \(\displaystyle \bm{l} ≡ \bm{x} × \pdv{L}{\.{\bm{x}}} = \bm{x} × \bm{p}\) は角運動量と呼ばれる.

一般化運動量と Hamiltonian

Lagrangian \(L\) が与えられたとき, \(q^i\) に対して

\[p_i ≡ \pdv{L}{\.q^i}\]

一般化運動量, または \(q^i\) に共役な運動量 conjugate momentum といい, 一般化座標とそれに共役な運動量の組 \((q^i, p_i)\) を正準変数 canonical variables という.

Lagrangian \(L\) と正準変数 \((q^i, p_i)\) が与えられたとき,

\[H(q^i, p_i, t) ≡ \.q^i p_i - L\]

Hamiltonian という.

一般化運動量と Hamiltonian は作用を端点で偏微分することで得ることもできる:

\[p_i(t) = \pdv{S}{q^i(t)}, \quad H(q^i,p_i,t) = - \pdv{S}{t}.\]

ただし作用は \(S[q]=∫_{t_0}^{t} \d{t'} L(q^i,\.q^i,t')\) で与えられている. 実際, Norther の定理と同じ状況での変分は

\[δS[q^i] = \bqty{δq^i \pdv{L}{\.q^i} - δt \pqty{\.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L}}_{t'=t_0}^{t'=t} = \bqty{δq^i p_i - δt H}_{t'=t_0}^{t'=t}.\]

始点での変位を \(δt(t_0)=δq^i(t_0)=0\) とすれば,

\[δS[q^i] = δq^i p_i - δt H.\]

この変分は経路の途中 \(t'∈(t_0,t)\) によらない形になっているから, 一点 \(t\) での変位から求めたい全微分が得られる:

\[\d{S} = \d{q^i} p_i - \d{t} H.\]

これらの性質を組み合わせることで以下の方程式が得られる:

最小作用の原理を満たす作用 \(S[q^i] = ∫_{t_0}^t \d{t'} L(q^i,\.q^i,t')\) に対し, 作用の端点 \(t\), \(q(t)\) での偏微分は Hamilton–Jacobi 方程式 Hamilton–Jacobi equation を満たす:

\[H\pqty{q^i(t),\pdv{S}{q^i(t)},t}+\pdv{S}{t}=0.\]

Hamilton の運動方程式

Lagrangian の場合と同様に, 最小作用の原理に対し Hamiltonian が満たす条件を求めよう. Hamiltonian \(H(q^i, p_i, t) ≡ \.q^i p_i - L\) の全微分は,

\[\begin{aligned} \d{H} &= \.q^i \d{p_i} + p_i \d{\.q^i} - \d{L} \\ &= \.q^i \d{p_i} + p_i \d{\.q^i} - \pdv{L}{q^i} \d{q^i} - p_i \d{\.q^i} - \pdv{L}{t} \d{t} \\ & \quad \pqty{ ∵ \d{L} = \pdv{L}{q^i} \d{q^i} + \pdv{L}{\.q^i} \d{\.q^i} + \pdv{L}{t} \d{t} } \\ &= - \pdv{L}{q^i} \d{q^i} + \.q^i \d{p_i} - \pdv{L}{t} \d{t}. \end{aligned}\]

ここで, Euler-Lagrangian 方程式が成立するとき \(\.p_i = ∂L / ∂q^i\) であることを用いると, Hamiltonian に関する運動方程式が得られる:

最小作用の原理を満たすとき, Hamiltonian は以下の Hamilton の運動方程式あるいは正準方程式 canonical equation を満たす:

\[\.p_i = - \pdv{H}{q^i}, \quad \.q^i = \pdv{H}{p_i}.\]

Lagrangian が時間に陽に依存しないとき, Hamiltonian は保存する:

\[\pdv{H}{t} = -\pdv{L}{t} = 0.\]

同じ結果を汎関数微分を用いて導出しよう. 作用を Hamiltonian \(\displaystyle H\pqty{q^i,\pdv{L}{\.q^i},t} = \.q^i\pdv{L}{\.q^i} - L\) で書き直すと,

\[S[q^i(t)] = ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{\.q^i(t) \pdv{L}{\.q^i(t)} - H\pqty{q^i(t),\pdv{L}{\.q^i(t)},t}}.\]

これを汎関数微分して,

\[\begin{aligned} \fdv{S[q^i(t)]}{q^j(t')} &= \lim_{h→0} \frac1h \left\{∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{(\.q^i(t)+hδ^i_j\.δ(t-t')) \pdv{L}{(\.q^i(t)+hδ^i_j\.δ(t-t'))} - H\pqty{q^i(t)+hδ^i_jδ(t-t'),\pdv{L}{(\.q^i(t)+hδ^i_j\.δ(t-t'))},t}}\right. \\ &\qquad\qquad \left. - ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{\.q^i(t) \pdv{L}{\.q^i(t)} - H\pqty{q^i(t),\pdv{L}{\.q^i(t)},t}}\right\} \\ &\quad \pqty{\begin{aligned} p_i(t) ≡ \pdv{L}{\.q^i(t)}, \quad \pdv{L}{(\.q^i(t)+hδ^i_j\.δ(t-t'))} &= \pdv{L}{\.q^i(t)} + \pdv{}{\.q^{k}(t)}\pqty{\pdv{L}{\.q^{i}(t)}} hδ^k_j\.δ(t-t') \\ &= p_i(t)+\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} h\.δ(t-t') \end{aligned}} \\ &= \lim_{h→0} \frac1h \left\{∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{(\.q^i(t)+hδ^i_j\.δ(t-t')) \pqty{p_i(t)+\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} h\.δ(t-t')} - H\pqty{q^i(t)+hδ^i_jδ(t-t'),p_i(t)+\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} h\.δ(t-t'),t}}\right. \\ &\qquad\qquad \left. - ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{\.q^i(t) \pdv{L}{\.q^i(t)} - H\pqty{q^i(t),\pdv{L}{\.q^i(t)},t}}\right\} \\ &= \lim_{h→0} \frac1h ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{\.q^i(t) \pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} h\.δ(t-t') + p_j(t) h\.δ(t-t') - \pdv{H}{q^j(t)} hδ(t-t') - \pdv{H}{p_i(t)} \pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} h\.δ(t-t') + O(h^2)} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{\.q^i(t) \pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \.δ(t-t') + p_j(t) \.δ(t-t') - \pdv{H}{q^j(t)} δ(t-t') - \pdv{H}{p_i(t)} \pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \.δ(t-t') } \\ &= ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{- \dv{}{t} \qty{\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}}} - \pqty{\.p_j(t) + \pdv{H}{q^j(t)}}} δ(t-t') \\ &\quad + \bqty{\qty{\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}} + p_j(t)} δ(t-t')}_{t=t_1}^{t=t_2}. \end{aligned}\]

したがって, 作用の変分は,

\[\begin{aligned} δS[q^i(t)] &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t'} \fdv{S[q^i(t)]}{q^j(t')} δq^j(t') \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t'} δq^j(t') ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{- \dv{}{t} \qty{\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}}} - \pqty{\.p_j(t) + \pdv{H}{q^j(t)}}} δ(t-t') \\ &\quad + ∫_{t_1}^{t_2} \d{t'} δq^j(t') \bqty{\qty{\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}} + p_j(t)} δ(t-t')}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2} \d{t'} ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} δq^j(t') \bqty{- \dv{}{t} \qty{\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}}} - \pqty{\.p_j(t) + \pdv{H}{q^j(t)}}} δ(t-t') \\ &\quad + \bqty{∫_{t_1}^{t_2} \d{t'} δq^j(t') \qty{\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}} + p_j(t)} δ(t-t')}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} δq^j(t) \bqty{- \dv{}{t} \qty{\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}}} - \pqty{\.p_j(t) + \pdv{H}{q^j(t)}}} \\ &\quad + \bqty{δq^j(t) \qty{\pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}} + p_j(t)}}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{δ\.q^j(t) \pdv{p_i}{\.q^{j}(t)} \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}} - δq^j(t) \pqty{\.p_j(t) + \pdv{H}{q^j(t)}}} + \bqty{δq^j(t) p_j(t)}_{t=t_1}^{t=t_2} \\ &\quad \pqty{δp_i(t) ≡ δ\.q^j(t) \pdv{p_i}{\.q^{j}(t)}} \\ &= ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{δp_i(t) \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}} - δq^j(t) \pqty{\.p_j(t) + \pdv{H}{q^j(t)}}} + \bqty{δq^j(t) p_j(t)}_{t=t_1}^{t=t_2}. \\ \end{aligned}\]

ここで, 第2項は両端固定の境界条件 \(δq^j(t_1)=δq^j(t_2)=0\) より消える:

\[δS[q^i(t)] = ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{δp_i(t) \pqty{\.q^i(t) - \pdv{H}{p_i(t)}} - δq^j(t) \pqty{\.p_j(t) + \pdv{H}{q^j(t)}}}.\]

また, \(δq^j(t)\), \(δ\.q^j(t)\) は任意であるから, \(δq^j(t)\) と \(δp_j(t)\) を独立に取ることができる. したがって, 条件 \(δS[q^i] = 0\) より, \(t_1<t<t_2\) で正準方程式が得られる.

\(q^i\) と \(p_i\) の独立性を陽に表した作用

\[S[q^i(t), p_i(t)] = ∫_{t_1}^{t_2}\d{t} \bqty{\.q^i(t) p_i(t) - H\pqty{q^i(t),p_i(t),t}}.\]

も用いられる.

例: 一次元一粒子系

一次元一粒子系の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - V(q).\]

ここで, 一般化運動量の定義より,

\[p = \pdv{L}{\.q} = m \.q.\]

したがって \(\.q = p / m\) であるから, Hamiltonian の定義より,

\[H(q, p, t) = \frac{p}{m} p - L\pqty{q, \frac{p}{m}, t} = \frac{p^2}{2m} + V(q).\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{H}{q} &= \dv{V}{q}, & \pdv{H}{p} &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

したがって, Hamilton の運動方程式は,

\[\begin{aligned} \.p &= - \dv{V}{q}, & \.q &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

例: 調和振動子

調和振動子の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - \frac12 m ω^2 q^2.\]

ここで, 一般化運動量の定義より,

\[p = \pdv{L}{\.q} = m \.q.\]

したがって \(\.q = p / m\) であるから, Hamiltonian の定義より,

\[H(q, p, t) = \frac{p}{m} p - L\pqty{q, \frac{p}{m}, t} = \frac{p^2}{2m} + \frac12 m ω^2 q^2.\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{H}{q} &= m ω^2 q, & \pdv{H}{p} &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

したがって, Hamilton の運動方程式は,

\[\begin{aligned} \.p &= - m ω^2 q, & \.q &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

正準変換

正準変数の変換 \((q^i, p_i) ↦ (Q^j, P_j) = (Q^j(q^i, p_i), P_j(q^i, p_i))\) に対して Hamiltonian が \(H (q^i, p_i) ↦ K (Q^j, P_j)\) と変換されるとき, この正準変数の変換を正準変換 canonical transformation という. Hamiltonian の定義から, \(δS[q^i,p_i] = δ∫\d{t} (\.q^i p_i - H) = 0\) かつ \(δS'[Q^i,P_i] = δ∫\d{t} (\.Q^i P_i - K) = 0\). したがって, ある関数 \(W\) が存在して,

\[\begin{gathered} (\.q^i p_i - H) - (\.Q^i P_i - K) = \dv{W}{t}. \\ ∴\d{W} = p_i \d{q^i} - P_i \d{Q^i} - (H - K) \d{t}. \end{gathered}\]

または, 両辺に \(\d{Q^i P_i}/\d{t}\) を足して,

\[\begin{gathered} (\.q^i p_i - H) - (- Q^i \.P_i - K) = \dv{}{t} \pqty{W + Q^i P_i} =: \dv{W'}{t}. \\ ∴\d{W'} = p_i \d{q^i} + Q^i \d{P_i} - (H - K) \d{t}. \end{gathered}\]

これら \(W(q^i, Q^i, t)\), \(W'(q^i, P_i, t)\) をどちらも母関数といい, 以下を満たす.

\[\begin{gathered} p_i = \pdv{W}{q^i}, \quad P_i = - \pdv{W}{Q^i}, \quad K = H + \pdv{W}{t}, \\ p_i = \pdv{W'}{q^i}, \quad Q^i = \pdv{W'}{P_i}, \quad K = H + \pdv{W'}{t}. \end{gathered}\]

Poisson 括弧

正準変数 \((q^i, p_i)\) に対し, Poisson 括弧 Poisson braket は以下で定義される演算である:

\[\{A, B\}_\mathrm{P} ≡ \pdv{A}{q^i}\pdv{B}{p_i} - \pdv{B}{q^i}\pdv{A}{p_i}.\]

正準変数自身は以下を満たす:

\[\begin{aligned} \{q^i, q^j\}_\mathrm{P} = \{p_i, p_j\}_\mathrm{P} = 0, && \{q^i, p_j\}_\mathrm{P} = δ_j^i. \end{aligned}\]

また, Hamilton の運動方程式は以下のように書き換えられる:

\[\begin{aligned} \{q^i, H\}_\mathrm{P} = \dv{q^i}{t}, && \{p_i, H\}_\mathrm{P} = \dv{p_i}{t}. \end{aligned}\]

より一般に, 正準変数と時間に関する物理量 \(A(q^i, p_i, t)\) について, 時間微分に関して以下が成立する:

\[\dv{A}{t} = \{A, H\}_\mathrm{P} + \pdv{A}{t}.\]

実際, \(A\) の時間による完全微分は,

\[\begin{aligned} \dv{A}{t} &= \pdv{A}{q^i} \.q^i + \pdv{A}{p_i} \.p_i + \pdv{A}{t} \\ &= \pdv{A}{q^i} \pdv{H}{p_i} - \pdv{A}{p_i} \pdv{H}{q^i} + \pdv{A}{t} \\ &= \{A, H\}_\mathrm{P} + \pdv{A}{t}. \end{aligned}\]

参考文献

Footnotes

  1. 最小作用の原理の場合と違い, このときの \(δq^i\) は両端固定でない. そのため, Euler-Lagrange の運動方程式の際に消えた発散項を, 今回の場合は消すことができない.

  2. 積分変数を任意の関数 \(τ(t)\) にしたときの作用 \(S_{τ(t)}[q^i]\) は

    \[δS_τ(t)[q^i] = ∫_{τ(t_1)}^{τ(t_2)} \d{τ(t_0)} \fdv{S_{τ(t)}[q^i]}{q^i(τ(t_0))} δ^Lq^i(τ(t_0)) + ∫_{t_1}^{t_2} \d{t_0} \fdv{S_{τ(t)}[q^i]}{τ(t_0)} δτ(t_0).\]

    で与えられる. このとき \(τ(t)=t\), \(δτ(t) = δt(t)\) とすれば文中の式が得られる.