解析力学

最小作用の原理

時間に依存する一般化座標と呼ばれるパラメータ \(q^i\) に対して, 作用 action と呼ばれる汎関数 \(S[q^i]\) が存在し, \(q^i\) は物理現象において \(S[q^i]\) が最小となるよう変化する. つまり, 停留条件 \(δS[q^i] = 0\) を満たす.

Euler–Lagrange の運動方程式

作用は, 座標と時間に関する Lagrangian \(L(q^i, \.q^i, t)\) を用いて以下のように表される:

\[S[q^i] = ∫ \d{t} L(q^i, \.q^i, t).\]

\(q^i + δq^i\) の変分をとって,

\[\begin{aligned} δS[q^i] =& ∫ \d{t} \bqty{ L\pqty{q^i + δq^i, \.q^i + \dv{δq^i}{t}, t} - L(q^i, \.q^i, t) } \\ =& ∫ \d{t} \bqty{ δq^i \pdv{L}{q^i} + \dv{δq^i}{t} \pdv{L}{\.q^i} } \\ =& ∫ \d{t} \bqty{ δq^i \pdv{L}{q^i} - δq^i \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} + \dv{}{t} \pqty{ δq^i \pdv{L}{\.q^i} } }. \end{aligned}\]

ここで, 発散項は境界条件より消える:

\[δS[q^i] = ∫ \d{t} δq^i \bqty{ \pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} }.\]

したがって, 停留条件 \(δS[q^i] = 0\) より, Euler–Lagrange の運動方程式が得られる:

\[\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} = 0.\]

または, 作用の汎関数微分は

\[\begin{aligned} \fdv{S[q^i(t')]}{q^i(t)} &= \lim_{ε → 0} \frac{S[q^i(t') + ε δ(t' - t)] - S[q^i(t')]}{ε} \\ &= \lim_{ε → 0} \frac1ε ∫ \d{t'} \bqty{ L ( q^i(t') + ε δ(t' - t), \.q^i(t') + ε \.δ(t' - t), t') - L (q^i(t'), \.q^i(t'), t') } \\ &= \lim_{ε → 0} \frac1ε ∫ \d{t'} \bqty{ \pdv{L}{q^i(t')} ε δ(t' - t) + \pdv{L}{\.q^i(t')} ε \.δ(t' - t) + o(ε^2) } \\ &= ∫ \d{t} \bqty{ \pdv{L}{q^i(t')} δ(t' - t) + \pdv{L}{\.q^i(t')} \.δ(t' - t) } \\ &= \pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}. \qquad \pqty{∵ ∫ \d{t'} f(t') \.δ(t' - t) = - \.f(t)} \end{aligned}\]

これを用いると Euler–Lagrange の運動方程式は

\[\fdv{S[q^i(t')]}{q^i(t)} = \pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} = 0.\]

例: 一次元一粒子系

一次元一粒子系の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - V(q).\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{L}{q} &= - \pdv{V}{q}, & \dv{}{t}\pqty{\pdv{L}{\.q}} &= \dv{}{t} (m \.q) = m \"q. \end{aligned}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\[m\"q + \pdv{V}{q} = 0.\]

例: 調和振動子

調和振動子の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - \frac12 m ω^2 q^2.\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{L}{q} &= - m ω^2 q, & \dv{}{t}\pqty{\pdv{L}{\.q}} &= \dv{}{t} (m \.q) = m \"q. \end{aligned}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\[m\"q + m ω^2 q = 0.\]

Noether の定理

時間の微小変換 \(t↦t'=t+δt\) に対し, 座標が \(q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+δq^i(t)\) と変換されるとする. このとき作用は

\[\begin{aligned} δS[q^i] &= ∫ \d{t'} L(q'^i(t'),∂'_tq'^i(t'),t') - ∫ \d{t} L(q^i(t),\.q^i(t),t) \\ & \quad \pqty{\d{t'} = \d{t} \dv{t'}{t} = \d{t}(1+δ\.t)} \\ &= ∫ \d{t} \Big[ (1+δ\.t) L(q'^i(t'),∂'_tq'^i(t'),t') - L(q^i(t),\.q^i(t),t) \Big] \\ & \quad \pqty{ ∂'_tq'(t') = \dv{t}{t'} ∂_t (q^i(t)+δq^i(t)) = (1-δ\.t)(\.q^i+δ\.q^i) = \.q^i+δ\.q^i-\.q^iδ\.t } \\ &= ∫ \d{t} \Big[ δ\.t L + L(q^i+δq^i,\.q^i+δ\.q^i-\.q^iδ\.t,t+δt) - L(q^i,\.q^i,t) \Big] \\ &= ∫ \d{t} \bqty{δ\.t L + δq^i \pdv{L}{q^i} + (δ\.q^i-\.q^iδ\.t) \pdv{L}{\.q^i} + δt \pdv{L}{t}} \\ & \quad \pqty{\text{Lie 微分 $δ^Lq^i(t) := q'^i(t) - q^i(t) = δq^i - \.q^i δt$}} \\ &= ∫ \d{t} \bqty{δ\.t L + (δ^Lq^i + \.q^i δt) \pdv{L}{q^i} + (∂_tδ^Lq^i + \"q^i δt) \pdv{L}{\.q^i} + δt \pdv{L}{t}} \\ &= ∫ \d{t} \bqty{δ\.t L + δ^Lq^i \pdv{L}{q^i} + δt \.q^i \pdv{L}{q^i} + ∂_tδ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i} + δt \"q^i \pdv{L}{\.q^i} + δt \pdv{L}{t}} \\ &= ∫ \d{t} \bqty{ ∂_t \pqty{δt L} + δ^Lq^i \pdv{L}{q^i} + ∂_t\pqty{δ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i}} - δ^Lq^i \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}} } \\ &= ∫ \d{t} \qty{ δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + \dv{}{t} \pqty{δ^Lq^i \pdv{L}{\.q^i} + δt L} } \\ &= ∫ \d{t} δ^Lq^i \bqty{\pdv{L}{q^i} - \dv{}{t} \pqty{\pdv{L}{\.q^i}}} + ∫ \d{t} \dv{}{t} \bqty{δq^i \pdv{L}{\.q^i} - δt \pqty{\.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L}}. \\ \end{aligned}\]

ここで, 第一項は Euler–Lagrange の運動方程式より無視でき, 第二項の積分範囲は任意である. したがって, この変換に対し作用が不変 \(δS=0\) であるとすると, 対応する保存量が得られる:

\[δQ := δq^i \pdv{L}{\.q^i} + δt \pqty{\pdv{L}{\.q^i} \.q^i - L} = \mathrm{const.}\]

に対し,

\[\dv{δQ}{t} = 0.\]

例: 空間並進に対する不変量

時間並進 \(t↦t'=t, q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)+ε^i\) に対し, 作用が不変であるとき, 対応する保存量は

\[\begin{gathered} δQ = ε^i \pdv{L}{\.q^i} = \mathrm{const.} \\ ∴ \pdv{L}{\.q^i} = \mathrm{const.} \end{gathered}\]

この不変量 \(\displaystyle p_i := \pdv{L}{\.q^i}\) を一般化運動量という.

例: 時間並進に対する不変量

時間並進 \(t↦t'=t+ε\), \(q^i(t)↦q'^i(t')=q^i(t)\) に対し, 作用が不変であるとき, 対応する保存量は

\[\begin{gathered} δQ = ε \pqty{\.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L} = \mathrm{const.} \\ ∴ \.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L = \mathrm{const.} \end{gathered}\]

この不変量 \(\displaystyle H := \.q^i \pdv{L}{\.q^i} - L = \.q^i p_i - L\) を Hamiltonian という.

例: 空間回転に対する不変量

TODO: \(D=3\) とする. 空間回転 \(t↦t'=t, \bm{x}(t) ↦ \bm{x}'(t') = R(\bm{ε}) \bm{x}(t) = \bm{x}(t) - \bm{ε} × \bm{x}(t)\) に対し, 作用が不変であるとき, 対応する保存量は

\[δQ = (- \bm{ε} × \bm{x}) ⋅ \pdv{L}{\.{\bm{x}}} = - \bm{ε} ⋅ \pqty{\bm{x} × \pdv{L}{\.{\bm{x}}}} = \mathrm{const.}\] \[∴ \bm{x} × \pdv{L}{\.{\bm{x}}} = \mathrm{const.}\]

この不変量 \(\displaystyle \bm{l} := \bm{x} × \pdv{L}{\.{\bm{x}}} = \bm{x} × \bm{p}\) を角運動量という.

Hamilton の運動方程式

一般化運動量 \(p_i ≡ ∂L / ∂\.q^i\) を用いて, Hamiltonian \(H(q^i, p_i, t) ≡ \.q^i p_i - L\) を定義する. Hamiltonian の全微分は,

\[\begin{aligned} \d{H} &= \.q^i \d{p_i} + p_i \d{\.q^i} - \d{L} \\ &= \.q^i \d{p_i} + p_i \d{\.q^i} - \pdv{L}{q^i} \d{q^i} - p_i \d{\.q^i} - \pdv{L}{t} \d{t} \\ & \quad \pqty{ ∵ \d{L} = \pdv{L}{q^i} \d{q^i} + \pdv{L}{\.q^i} \d{\.q^i} + \pdv{L}{t} \d{t} } \\ &= - \pdv{L}{q^i} \d{q^i} + \.q^i \d{p_i} - \pdv{L}{t} \d{t}. \end{aligned}\]

ここで, Euler-Lagrangian 方程式が成立するとき \(\.p_i = ∂L / ∂q^i\) であることを用いると, Hamilton の運動方程式あるいは正準方程式 canonical equation が得られる:

\[\begin{aligned} \.p_i = - \pdv{H}{q^i}, && \.q^i = \pdv{H}{p_i}. \end{aligned}\]

このとき \(p_i\) は \(q^i\) に共役な運動量 conjugate momentum といい, また \((q^i, p_i)\) の組を正準変数 canonical variables という.

また, Lagrangian が時間に陽に依存しないとき, Hamiltonian は保存する:

\[\pdv{H}{t} = -\pdv{L}{t} = 0.\]

例: 一次元一粒子系

一次元一粒子系の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - V(q).\]

ここで, 一般化運動量の定義より,

\[p = \pdv{L}{\.q} = m \.q.\]

したがって \(\.q = p / m\) であるから, Hamiltonian の定義より,

\[H(q, p, t) = \frac{p}{m} p - L\pqty{q, \frac{p}{m}, t} = \frac{p^2}{2m} + V(q).\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{H}{q} &= \dv{V}{q}, & \pdv{H}{p} &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

したがって, Hamilton の運動方程式は,

\[\begin{aligned} \.p &= - \dv{V}{q}, & \.q &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

例: 調和振動子

調和振動子の Lagrangian は,

\[L(q, \.q, t) = \frac12 m \.q^2 - \frac12 m ω^2 q^2.\]

ここで, 一般化運動量の定義より,

\[p = \pdv{L}{\.q} = m \.q.\]

したがって \(\.q = p / m\) であるから, Hamiltonian の定義より,

\[H(q, p, t) = \frac{p}{m} p - L\pqty{q, \frac{p}{m}, t} = \frac{p^2}{2m} + \frac12 m ω^2 q^2.\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{H}{q} &= m ω^2 q, & \pdv{H}{p} &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

したがって, Hamilton の運動方程式は,

\[\begin{aligned} \.p &= - m ω^2 q, & \.q &= \frac{p}{m}. \end{aligned}\]

正準変換

正準変数の変換 \((q^i, p_i) ↦ (Q^j, P_j) = (Q^j(q^i, p_i), P_j(q^i, p_i))\) に対して Hamiltonian が \(H (q^i, p_i) ↦ K (Q^j, P_j)\) と変換されるとき, この正準変数の変換を正準変換という. Hamiltonian の定義から, \(δ∫ \d{t} (\.q^i p_i - H) = 0\) かつ \(δ∫ \d{t} (\.Q^i P_i - K) = 0\). したがって, ある関数 \(W\) が存在して,

\[\begin{gathered} (\.q^i p_i - H) - (\.Q^i P_i - K) = \dv{W}{t}. \\ ∴\d{W} = p_i \d{q^i} - P_i \d{Q^i} - (H - K) \d{t}. \end{gathered}\]

または, 両辺に \(\d{Q^i P_i}/\d{t}\) を足して,

\[\begin{gathered} (\.q^i p_i - H) - (- Q^i \.P_i - K) = \dv{}{t} \pqty{W + Q^i P_i} =: \dv{W'}{t}. \\ ∴\d{W'} = p_i \d{q^i} + Q^i \d{P_i} - (H - K) \d{t}. \end{gathered}\]

これら \(W(q^i, Q^i, t)\), \(W'(q^i, P_i, t)\) をどちらも母関数といい, 以下を満たす.

\[\begin{gathered} p_i = \pdv{W}{q^i}, \quad P_i = - \pdv{W}{Q^i}, \quad K = H + \pdv{W}{t}, \\ p_i = \pdv{W'}{q^i}, \quad Q^i = \pdv{W'}{P_i}, \quad K = H + \pdv{W'}{t}. \end{gathered}\]

Poisson 括弧

正準変数 \((q^i, p_i)\) に対し, Poisson 括弧 Poisson braket は以下で定義される演算である:

\[\{A, B\}_\mathrm{P} ≡ \pdv{A}{q^i}\pdv{B}{p_i} - \pdv{B}{q^i}\pdv{A}{p_i}.\]

例えば,

\[\begin{aligned} \{q^i, H\}_\mathrm{P} = \.q^i, && \{p_i, H\}_\mathrm{P} = \.p_i. \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \{q^i, q^j\} = \{p_i, p_j\} = 0, && \{q^i, p_j\} = δ_i^j. \end{aligned}\]

ある物理量 \(A(q^i, p_i, t)\) について, 時間発展に関する式は:

\[\dv{A}{t} = \{A, H\}_\mathrm{P} + \pdv{A}{t}.\]

実際, \(A\) の時間による完全微分は,

\[\begin{aligned} \dv{A}{t} &= \pdv{A}{q^i} \.q^i + \pdv{A}{p_i} \.p_i + \pdv{A}{t} \\ &= \pdv{A}{q^i} \pdv{H}{p_i} - \pdv{A}{p_i} \pdv{H}{q^i} + \pdv{A}{t} \\ &= \{A, H\}_\mathrm{P} + \pdv{A}{t}. \end{aligned}\]