場の解析力学

最小作用の原理

4 元座標に依存するパラメータ \(ϕ^α (x)\) について, 作用 action と呼ばれる汎関数 \(S[ϕ^α]\) が存在し, \(ϕ^α\) は物理現象において \(S[ϕ^α]\) が最小となるよう変化する. つまり, 停留条件 \(δS[ϕ^α] = 0\) を満たす.

Euler–Lagrange の運動方程式

作用は, スカラー場 \(ϕ^α\) に関する Lagrangian 密度 Lagrangian density \(ℒ(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α)\) を用いて以下のように表される:

\[S[ϕ^α] = ∫ \d{{}^4 x} ℒ(ϕ^α, ∂_μ {ϕ^α}).\]

\(ϕ^α + δϕ^α\) の変分をとって,

\[\begin{aligned} δS[ϕ^α] =& ∫ \d{{}^4 x} \bqty{ ℒ(ϕ^α + δϕ^α, ∂_μ ϕ^α + ∂_μ δϕ^α) - ℒ(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) } \\ =& ∫ \d{{}^4 x} \bqty{ δϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + δ∂_μ ϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} + o\pqty{\sqrt{ δϕ^{α*} δϕ^α + δ∂_μϕ^{α*} δ∂^μϕ^α }} } \\ =& ∫ \d{{}^4 x} \bqty{ δϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + ∂_μ δϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} } \quad (∵ δ∂_μ ϕ^α = ∂_μ δϕ^α) \\ =& ∫ \d{{}^4 x} \bqty{ δϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} - δϕ^α ∂_μ \pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)}} + ∂_μ \pqty{ δϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} } }. \end{aligned}\]

ここで, 発散項は境界条件より消える:

\[δS[ϕ^α] = ∫ \d{{}^4 x} δϕ^α \bqty{ \pdv{ℒ}{ϕ^α} - ∂_μ \pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)}} }.\]

したがって, 停留条件 \(δS[ϕ^α] = 0\) より, Euler–Lagrange の運動方程式が得られる:

\[\pdv{ℒ}{ϕ^α} - ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} } = 0.\]

または, Lagrangian 密度を空間全体にわたって積分した

\[L[ϕ^α, \.ϕ^α] = ∫ \d{{}^3 \bm{x}} ℒ(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) = ∫ \d{{}^3 \bm{x}} ℒ(ϕ^α, \grad ϕ^α, \.ϕ^α)\]

を Lagrangian \(L[ϕ^α, \.ϕ^α]\) と定義すると,

\[\begin{aligned} \fdv{L[ϕ^α, \.ϕ^α]}{ϕ^α} =& \fdv{}{ϕ^α} ∫ \d{{}^3 \bm{x}} ℒ(ϕ^α, \grad ϕ^α, \.ϕ^α) \\ =& \pdv{ℒ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)}, \\ &\pqty{∵ \text{変分公式 $\displaystyle\fdv{}{φ(y)} ∫ \d{x} g(φ'(x)) = - \dv{}{y} \dv{g(φ'(y))}{(φ'(y))}$}} \\ \fdv{L[ϕ^α, \.ϕ^α]}{\.ϕ^α} =& \fdv{}{\.ϕ^α} ∫ \d{{}^3 \bm{x}} ℒ(ϕ^α, \grad ϕ^α, \.ϕ^α) \\ =& \pdv{ℒ}{\.ϕ^α}. \end{aligned}\]

より,

\[\begin{aligned} \fdv{S[ϕ^α]}{ϕ^α} =& \fdv{L}{ϕ^α} - \dv{}{t} \fdv{L}{\.ϕ^α} \\ =& \pdv{ℒ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)} - \pdv{}{t} \pdv{ℒ}{\.ϕ^α} \\ =& \pdv{ℒ}{ϕ^α} - ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} }. \end{aligned}\]

これを用いると Euler–Lagrange の運動方程式は

\[\fdv{S[ϕ^α]}{ϕ^α} = \fdv{L}{ϕ^α} - \pdv{}{t} \fdv{L}{\.ϕ^α} = 0.\]

例: 実 Klein-Gordon 場

実 Klein-Gordon 場 \(ϕ^α\) の Lagrangian 密度は,

\[ℒ(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) = \frac12 ∂_μ ϕ_α ∂^μ ϕ^α - \frac12 m^2 ϕ_α ϕ^α.\]

ここで,

\[\pdv{ℒ}{ϕ^α} = - m^2 ϕ_α, \quad ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} } = ∂_μ ∂^μ ϕ_α = □ ϕ_α.\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\[(□ + m^2) ϕ^α = 0.\]

これは Klein-Gordon 方程式と呼ばれる.

例: 複素 Klein-Gordon 場

複素 Klein-Gordon 場 \(ϕ^α\) の Lagrangian 密度は,

\[ℒ(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) = \frac12 ∂_μ ϕ_α^* ∂^μ ϕ^α - \frac12 m^2 ϕ_α^* ϕ^α.\]

ここで, \(ϕ^α\) と \({ϕ^α}^*\) を独立に扱って,

\[\begin{gathered} \pdv{ℒ}{{ϕ^α}^*} = - m^2 ϕ_α, & ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ {ϕ^α}^*)} } = ∂_μ ∂^μ ϕ_α ≡ □ ϕ_α, \\ \pdv{ℒ}{ϕ^α} = - m^2 ϕ_α^*, & ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} } = ∂_μ ∂^μ ϕ_α^* ≡ □ ϕ_α^*, \\ \end{gathered}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\[(□ + m^2) ϕ^α = 0, \quad (□ + m^2) {ϕ^α}^* = 0.\]

例: de Broglie 場

de Broglie 場 \(ψ\) の Lagrangian 密度は,

\[ℒ(ψ, ∂_μ ψ) = i ℏ ψ^† ∂_μ ψ - \frac{ℏ^2}{2m} ∂_i ψ^† ∂^i ψ.\]

ここで, \(ψ\) と \(ψ^†\) を独立に扱って,

\[\begin{aligned} \pdv{ℒ}{ψ^†} &= i ℏ ∂_μ ψ, \\ ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ψ^†)} } &= ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ψ^†)} } + ∂_i \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_i ψ^†)} } \\ &= 0 - \frac{ℏ}{2 m} ∂_i ∂^i ψ \\ &= - \frac{ℏ}{2 m} ∇^2 ψ, \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \pdv{ℒ}{ψ} &= 0, \\ ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ψ)} } &= ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ψ)} } + ∂_i \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_i ψ)} } \\ &= i ℏ ∂_i ψ^† - \frac{ℏ}{2 m} ∂_i ∂^i ψ^† \\ &= i ℏ ∂_i ψ^† - \frac{ℏ}{2 m} ∇^2 ψ^†. \end{aligned}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\[\begin{aligned} i ℏ ∂_μ ψ &= - \frac{ℏ}{2 m} ∇^2 ψ, & - i ℏ ∂_μ ψ^† &= - \frac{ℏ}{2 m} ∇^2 ψ^†. \end{aligned}\]

これは de Broglie 方程式と呼ばれ, 非相対論的量子力学における波動関数の Schrödinger 方程式と関係がある.

例: 電磁場

電磁場 \(A_μ\) の Lagrangian 密度は,

\[\begin{aligned} ℒ(A_ν, ∂_μ A_ν) = - \frac14 F_{μν} F^{μν} + A_μ j^μ, && F^{μν} := ∂^μ A^ν - ∂^ν A^μ. \end{aligned}\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{ℒ}{A_ν} &= j^μ, \\ ∂_μ \pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μ A_ν)}} &= ∂_μ \qty{ \pdv{}{(∂_μ A_ν)} \pqty{ - \frac14 F_{ρσ} F^{ρσ} } } \\ &= ∂_μ \qty{ \pdv{}{(∂_μ A_ν)} \bqty{ - \frac12 ( ∂_ρ A_σ ∂^ρ A^σ - ∂_ρ A_σ ∂^σ A^ρ ) } } \\ &= ∂_μ \bqty{ - (∂^μ A^ν - ∂^ν A^μ) } \\ &= - ∂_μ F^{μν}. \end{aligned}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\[∂_μ F^{μν} = - j^ν.\]

これは古典電磁気学の基本方程式の一部として知られている.

例: Dirac 場

Dirac 場 \(ψ\) の Lagrangian 密度は,

\[ℒ(A_ν, ∂_μ A_ν) = \overline{ψ} i\/∂ ψ - m \overline{ψ}ψ.\]

ただし \(\/∂≡γ^μ∂_μ\) は Dirac 演算子, \(γ^μ\) は \(\{γ^μ,γ^ν\}=g^{μν}\) を満たす \(γ\) 行列で, \(\overline{ψ}≡ψγ^0\) は Dirac 共役である. また, Dirac 場 \(ψ\) は Dirac スピノルと呼ばれる列ベクトルで, 例えば4成分である: \(ψ = (ψ_1, ψ_2, ψ_3, ψ_4)^{\mathsf{T}}\). ここで, \(ψ\) と \(\overline{ψ}\) を独立に扱って,

\[\begin{gathered} \pdv{ℒ}{\overline{ψ}} = i\/∂ ψ - m ψ = (i\/∂ - m) ψ, \quad \pdv{ℒ}{(∂_μ\overline{ψ})} = 0, \\ \pdv{ℒ}{ψ} = - m\overline{ψ}, \quad \pdv{ℒ}{(∂_μψ)} = \overline{ψ} iγ^μ. \\ \end{gathered}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\[(i\/∂ - m) ψ = 0, \quad \overline{ψ} (i\overleftarrow{\/∂} + m) = 0.\]

Noether の定理

座標の微小変換 \(x↦x'=x+δx\) に対し, 座標が \(ϕ^α(x)↦ϕ'^α(x)=ϕ^α(x)+δϕ^α(x)\) と変換されるとする. このとき作用は

\[\begin{aligned} δS[ϕ^α] &= ∫ \d{{}^4 x'} ℒ(ϕ'^α(x'),∂'_μϕ'^α(x')) - ∫ \d{{}^4 x} ℒ(ϕ^α(x),∂_μϕ^α(x)) \\ & \quad \pqty{\d{{}^4 x'} = \d{{}^4 x} \abs{\pdv{x'^μ}{x^ν}} = \d{{}^4 x} \det(δ_ν^μ+∂_νδx^μ) = \d{{}^4 x} (1+∂_μδx^μ)} \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \Big[ (1+∂_μδx^μ) ℒ(ϕ'^α(x'),∂'_μϕ'^α(x')) - ℒ(ϕ^α(x),∂_μϕ^α(x)) \Big] \\ & \quad \left( \begin{aligned} ∂'_μϕ'^α(x') &= \pdv{x^ν}{x'^μ} ∂_ν(ϕ^α(x)+δϕ^α(x)) \\ &= (δ_μ^ν-∂_μδx^ν)(∂_νϕ^α+∂_νδϕ^α) \\ &= ∂_μϕ^α+∂_μδϕ^α-∂_μδx^ν∂_νϕ^α \end{aligned} \right) \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \Big[ ∂_μδx^μ ℒ + ℒ(ϕ^α+δϕ^α,∂_μϕ^α+∂_μδϕ^α-∂_μδx^ν∂_νϕ^α) - ℒ(ϕ^α,∂_μϕ^α) \Big] \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \bqty{∂_μδx^μ ℒ + δϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + (∂_μδϕ^α-∂_μδx^ν∂_νϕ^α) \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}} \\ & \quad \pqty{\text{Lie 微分 $δ^Lϕ^α(t) := ϕ'^α(t) - ϕ^α(t) = δϕ^α - δx^μ∂_μϕ^α$}} \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \bqty{∂_μδx^μ ℒ + (δ^Lϕ^α + δx^μ∂_μϕ^α) \pdv{ℒ}{ϕ^α} + (∂_μδ^Lϕ^α + δx^ν∂_μ∂_νϕ^α) \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}} \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \bqty{∂_μδx^μ ℒ + δ^Lϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + δx^μ∂_μϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + ∂_μδ^Lϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} + δx^ν∂_μ∂_νϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}} \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \qty{ ∂_μ \pqty{δx^μ ℒ} + δ^Lϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + ∂_μ\bqty{δ^Lϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}} - δ^Lϕ^α ∂_μ\pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}} } \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \qty{ δ^Lϕ^α \bqty{\pdv{ℒ}{ϕ^α} - ∂_μ\pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}}} + ∂_μ\bqty{δ^Lϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} + δx^μ ℒ} } \\ &= ∫ \d{{}^4 x} δ^Lϕ^α \bqty{\pdv{ℒ}{ϕ^α} - ∂_μ\pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}}} + ∫ \d{{}^4 x} ∂_μ\bqty{δϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} - δx_ν \pqty{∂^νϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} - g^{μν} ℒ}}. \\ \end{aligned}\]

ここで, 第一項は Euler–Lagrange の運動方程式より無視でき, 第二項の積分範囲は任意である. したがって, この変換に対し作用が不変 \(δS=0\) であるとすると, 対応する保存則が得られる:

\[∂_μδJ^μ = 0,\]

ただし,

\[δJ^μ := δϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} - δx_ν T^{μν}\]

保存流と呼ばれ,

\[T^{μν} := ∂^νϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} - g^{μν} ℒ\]

正準エネルギー運動量テンソルと呼ばれる. 実際, 変換の生成子と呼ばれる

\[δQ(t) := ∫ \d{^3 \bm{x}} δJ^0(x)\]

を時間微分すると,

\[\begin{aligned} \dv{δQ}{t} &= ∫ \d{^3 \bm{x}} ∂_0δJ^0 = ∫ \d{^3 \bm{x}} (∂_μδJ^μ - ∂_iδJ^i) \\ &= - ∫ \d{^3 \bm{x}} ∂_iδJ^i = - ∫ \d{V} \div (δ\bm{J}) \\ &= - ∫ \d{\bm{S}} ⋅ (δ\bm{J}) \quad \xrightarrow{\text{境界条件}} \quad 0. \end{aligned}\]

TODO: 汎関数微分を用いた導出

TODO: 例

Hamiltonの運動方程式

一般化運動量 \(π_α ≡ δL / δ\.{ϕ}^α = ∂ℒ / ∂\.{ϕ}^α\) を用いて, Hamiltonian 密度 \(ℋ(ϕ^α, ∇ ϕ^α, π_α, ∇ π_α) ≡ π_α \.{ϕ}^α - ℒ\) を定義する. Hamiltonian 密度の定義の変分は,

\[\begin{aligned} δℋ &= \.{ϕ}^α δπ_α + π_α δ\.{ϕ}^α - δℒ \\ &= \.{ϕ}^α δπ_α + π_α δ\.{ϕ}^α - \bqty{\pdv{ℒ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)}} δϕ^α + \div \bqty{\pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)} δϕ^α} + π_α δ\.{ϕ^α} \\ &= - \bqty{\pdv{ℒ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)}} δϕ^α + \.{ϕ}^α δπ_α + \div \bqty{\pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)} δϕ^α}. \end{aligned}\]

また, Hamiltonian 密度の変分は,

\[\begin{aligned} δℋ &= \pdv{ℋ}{ϕ^α} δϕ^α + \pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)} ⋅ δ(\grad ϕ^α) + \pdv{ℋ}{π_α} δπ_α + \pdv{ℋ}{(\grad π_α)} ⋅ δ(\grad π_α) \\ &= \pdv{ℋ}{ϕ^α} δϕ^α + \div \bqty{\pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)} δϕ^α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)} δϕ^α + \pdv{ℋ}{π_α} δπ_α + \div \bqty{\pdv{ℋ}{(\grad π_α)} δπ_α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad π_α)} δπ_α \\ &= \bqty{\pdv{ℋ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)}} δϕ^α + \bqty{\pdv{ℋ}{π_α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad π_α)}} δπ_α + \div \bqty{\pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)} δϕ^α} + \div \bqty{\pdv{ℋ}{(\grad π_α)} δπ_α} \end{aligned}\]

ここで, Euler-Lagrangian 方程式が成立するとき \(\displaystyle \.π_α = - \bqty{\pdv{ℒ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)}}\) であることを用いると, Hamilton の運動方程式あるいは正準方程式 canonical equation が得られる:

\[\begin{aligned} \.{ϕ}^α &= \bqty{\pdv{ℋ}{π_α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad π_α)}}, \\ \.π_α &= - \bqty{\pdv{ℋ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)}}. \end{aligned}\]

TODO: ただし発散項は作用で消えることを用いた.

または, Hamiltonian 密度を空間全体にわたって積分した

\[\begin{aligned} H[ϕ^α, π_α] &≡ ∫ \d{{}^3 \bm{x}} ℋ(ϕ^α, ∇ ϕ^α, π_α, ∇ π_α) \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} π_α \.{ϕ}^α - L[ϕ^α, \.{ϕ}^α] \end{aligned}\]

を Hamiltonian \(H[ϕ^α, π_α]\) と定義すると,

\[\begin{aligned} \fdv{H[ϕ^α, π_α]}{ϕ^α} &= \pdv{ℋ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)}, \\ \fdv{H[ϕ^α, π_α]}{π_α} &= \pdv{ℋ}{π_α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad π_α)} \\ \end{aligned}\]

であるから, これを用いると Hamilton の運動方程式は,

\[\.{ϕ}^α = \fdv{H}{π_α}, \quad \.π_α = - \fdv{H}{ϕ^α}.\]

\(π_α\) を \(ϕ^α\) に共役な運動量 conjugate momentum といい, また \((ϕ^α, π_α)\) の組を正準変数 canonical variables という.

例: 実 Klein-Gordon 場

実 Klein-Gordon 場 \(ϕ^α\) の Lagrangian 密度は,

\[ℒ(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) = \frac12 ∂_μ ϕ_α ∂^μ ϕ^α - \frac12 m^2 ϕ_α ϕ^α.\]

ここで, 一般化運動量の定義より,

\[π_α = \pdv{ℒ}{\.{ϕ}^α} = \.{ϕ}_α.\]

したがって \(\.{ϕ}_α = π_α\) であるから, Hamiltonian 密度より,

\[\begin{aligned} ℋ &= π_α \.{ϕ}^α - ℒ \\ &= π_α π^α - \frac12 π_α π^α + \frac12 (\grad ϕ_α)⋅(\grad ϕ^α) + \frac12 m^2 ϕ_α ϕ^α \\ &= \frac12 π_α π^α + \frac12 (\grad ϕ_α)⋅(\grad ϕ^α) + \frac12 m^2 ϕ_α ϕ^α. \end{aligned}\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{ℋ}{π_α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad π_α)} &= π^α, \\ \pdv{ℋ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)} &= m^2 ϕ_α - ∇^2 ϕ_α. \end{aligned}\]

したがって, Hamilton の運動方程式は

\[\.{ϕ}^α = π^α, \quad \.{π}_α = - m^2 ϕ_α + ∇^2 ϕ_α.\]

TODO: 他の例

Poisson 括弧

正準変数 \((ϕ^α, π_α)\) に対し, Poisson 括弧 Poisson braket は以下で定義される演算である:

\[\begin{aligned} \{A[ϕ^α, π_α], B[ϕ^α, π_α]\}_\mathrm{P} &≡ ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \pqty{\fdv{A}{ϕ^α}\fdv{B}{π_α} - \fdv{B}{ϕ^α}\fdv{A}{π_α}} \\ &≡ ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \pqty{\fdv{A[ϕ^α, π_α]}{ϕ^α(t,\bm{x})}\fdv{B[ϕ^α, π_α]}{π_α(t,\bm{x})} - \fdv{B[ϕ^α, π_α]}{ϕ^α(t,\bm{x})}\fdv{A[ϕ^α, π_α]}{π_α(t,\bm{x})}}. \end{aligned}\]

例えば,

\[\begin{gathered} \{ϕ^α, H\}_\mathrm{P} = \.ϕ^α, \quad \{π_α, H\}_\mathrm{P} = \.π_α, \\ \{ϕ^α(t, \bm{x}), ϕ^β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} = \{π_α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} = 0, \\ \{ϕ^α(t, \bm{x}), π_β(t, \bm{x}')\}_\mathrm{P} = δ^α_β δ^3(\bm{x}-\bm{x}'). \end{gathered}\]

ある物理量 \(A[ϕ^α, π_α]\) について, 時間発展に関する式は:

\[\dv{A}{t} = \{A, H\}_\mathrm{P}.\]

実際, \(A\) の時間による完全微分は,

\[\begin{aligned} \dv{A}{t} &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \fdv{A}{ϕ^α} \.ϕ^α + ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \fdv{A}{π_α} \.π_α \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \pqty{\fdv{A}{ϕ^α} \fdv{H}{π_α} - \fdv{H}{ϕ^α} \fdv{A}{π_α}} \\ &= \{A, H\}_\mathrm{P}. \end{aligned}\]

平面波展開

例: 実 Klein-Gordon 場

実 Klein-Gordon 場の Lagrangian 密度は

\[ℒ(ϕ, ∂_μ ϕ) = \frac12 ∂_μ ϕ ∂^μ ϕ - \frac12 m^2 {ϕ}^2,\]

運動方程式は

\[(□ + m^2) ϕ = 0,\]

一般化運動量 \(π ≡ ∂ℒ/∂ϕ\) は

\[π = \.{ϕ},\]

Hamiltonian は

\[H[ϕ, π] = ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \bqty{\frac12 π^2 + \frac12 |\grad ϕ|^2 + \frac12 m^2 ϕ^2}.\]

さて, 実 Klein-Gordon 場 \(ϕ(t,\bm{x})\) を 3 次元 Fourier 級数展開して,

\[ϕ(t,\bm{x}) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} q(t, \bm{p}) e^{i \bm{p}⋅\bm{x}}.\]

ただし, \(q(t, \bm{p})\) は展開係数. これを運動方程式 \((□ + m^2)ϕ = 0\) に代入すると,

\[\begin{aligned} &\ (□ + m^2) ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} \\ =&\ \pdv{{}^2}{t^2} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} - ∇^2 ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} + m^2 ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \"q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} + ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} |\bm{p}|^2 q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} + ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} m^2 q(t, \bm{p}) e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} \\ =&\ ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{\"q + (\bm{p}^2 + m^2) q} e^{i\bm{p}⋅\bm{x}} = 0. \end{aligned}\]

したがって, \(p_0 ≡ \sqrt{|\bm{p}|^2 + m^2} > 0\) として \(\"q(t, \bm{p}) + (p_0)^2 q(t, \bm{p}) = 0\) だから, \(q(t, \bm{p})\) の一般解は

\[q(t, \bm{p}) = q_1(\bm{p}) e^{-ip_0t} + q_2(\bm{p}) e^{ip_0t}.\]

\(ϕ(t,\bm{x})\) の展開を \(q_1(\bm{p})\), \(q_2(\bm{p})\) で書き直して,

\[\begin{aligned} ϕ(t,\bm{x}) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{q_1(\bm{p}) e^{-i p_0t} + q_2(\bm{p}) e^{i p_0t}} e^{i \bm{p}⋅\bm{x}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{q_1(\bm{p}) e^{-i (p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} + q_2(\bm{p}) e^{i (p_0t + \bm{p}⋅\bm{x})}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{q_1(\bm{p}) e^{-i (p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})} + q_2(-\bm{p}) e^{i (p_0t - \bm{p}⋅\bm{x})}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{q_1(\bm{p}) e^{-ipx} + q_2(-\bm{p}) e^{ipx}}. \quad (px ≡ p_μx^μ = p_0t - \bm{p}⋅\bm{x}) \end{aligned}\]

ここで, \(ϕ(x)\) が実スカラー場であることから \(ϕ(x) = ϕ^*(x)\).

\[\begin{aligned} ϕ^*(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{q_1^*(\bm{p}) e^{ipx} + q_2^*(-\bm{p}) e^{-ipx}} \end{aligned}\]

であるから,

\[\begin{aligned} \frac{a(\bm{p})}{\sqrt{2p_0}} ≡ \frac{q_1(\bm{p}) + q_2^*(-\bm{p})}{2}, \quad \frac{a^*(\bm{p})}{\sqrt{2p_0}} ≡ \frac{q_1^*(\bm{p}) + q_2(-\bm{p})}{2} \end{aligned}\]

とすれば, 実スカラー場 \(ϕ(x)\) は \(a(\bm{p})\), \(a^*(\bm{p})\) によって以下のように展開できる:

\[ϕ(x) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}}.\]

また, 一般化運動量 \(π(x) = \.ϕ(x)\) は,

\[\begin{aligned} π(x) &= \pdv{}{t} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{-ip_0 a(\bm{p}) e^{-ipx} + ip_0 a^*(\bm{p}) e^{ipx}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} (-i) p_0 \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} - a^*(\bm{p}) e^{ipx}}. \end{aligned}\]

\(ϕ(x)\) の展開と比較して,

\[\begin{aligned} p_0 ϕ(x) + i π(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} 2p_0 a(\bm{p}) e^{-ipx} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3}} \sqrt{2p_0} a(\bm{p}) e^{-ip_0t} e^{i\bm{p}⋅\bm{x}}. \\ \end{aligned}\] \[∴ \sqrt{2p_0} a(\bm{p}) e^{-ip_0t} = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3}} \bqty{p_0 ϕ(x) + i π(x)} e^{-i\bm{p}⋅\bm{x}}\]

したがって \(a(\bm{p})\) の表式が得られる:

\[a(\bm{p}) = ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{p_0 ϕ(x) + i π(x)} e^{ipx}.\]

Hamiltonian を \(a(\bm{p})\), \(a^*(\bm{p})\) で表記することを考える. \(\grad ϕ(x)\) を計算すると,

\[\begin{aligned} \grad ϕ(x) &= \grad ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}} \\ &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} i\bm{p} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} - a^*(\bm{p}) e^{ipx}} \\ \end{aligned}\]

したがって,

\[\begin{aligned} H &= ∫ \d{{}^3 \bm{x}} \bqty{\frac12 π^2 + \frac12 |\grad ϕ|^2 + \frac12 m^2 ϕ^2} \\ &= \frac12 ∫ \d{{}^3 \bm{x}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p'}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ & \qquad\qquad × \Big[\ \ (- p_0p_0' - \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a (\bm{p}) a (\bm{p}') e^{-i(p+p')x} \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0p_0' + \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a (\bm{p}) a^*(\bm{p}') e^{-i(p-p')x} \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0p_0' + \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a^*(\bm{p}) a (\bm{p}') e^{ i(p-p')x} \\ & \qquad\qquad \quad + (- p_0p_0' - \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a^*(\bm{p}) a^*(\bm{p}') e^{ i(p+p')x} \Big] \\ &= \frac12 \sqrt{(2π)^3} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p'}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0'}} \\ & \qquad\qquad × \Big[\ \ (- p_0p_0' - \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a (\bm{p}) a (\bm{p}') δ^3(\bm{p}+\bm{p}') e^{-i(p_0+p_0')t} \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0p_0' + \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a (\bm{p}) a^*(\bm{p}') δ^3(\bm{p}-\bm{p}') e^{-i(p_0-p_0')t} \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0p_0' + \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a^*(\bm{p}) a (\bm{p}') δ^3(\bm{p}-\bm{p}') e^{ i(p_0-p_0')t} \\ & \qquad\qquad \quad + (- p_0p_0' - \bm{p}⋅\bm{p}' + m^2) a^*(\bm{p}) a^*(\bm{p}') δ^3(\bm{p}+\bm{p}') e^{ i(p_0+p_0')t} \Big] \\ &= \frac12 ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{2p_0} \\ & \qquad\qquad × \Big[\ \ (- p_0^2 + |\bm{p}|^2 + m^2) a (\bm{p}) a (-\bm{p}) e^{-2ip_0t} \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0^2 + |\bm{p}|^2 + m^2) a (\bm{p}) a^*( \bm{p}) \\ & \qquad\qquad \quad + (+ p_0^2 + |\bm{p}|^2 + m^2) a^*(\bm{p}) a ( \bm{p}) \\ & \qquad\qquad \quad + (- p_0^2 + |\bm{p}|^2 + m^2) a^*(\bm{p}) a^*(-\bm{p}) e^{ 2ip_0t} \Big] \\ & \quad \pqty{\text{$p_0^2 = |\bm{p}|^2 + m^2$ に注意する}} \\ &= \frac12 ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{2p_0} \bqty{2p_0^2 a(\bm{p}) a^*(\bm{p}) + 2p_0^2 a^*(\bm{p}) a(\bm{p})} \\ &= \frac12 ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a(\bm{p}) a^*(\bm{p}) + a^*(\bm{p}) a(\bm{p})} \\ &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}. \end{aligned}\]

ただし \([a(\bm{p}), a^*(\bm{p})] ≡ a(\bm{p}) a^*(\bm{p}) - a^*(\bm{p}) a(\bm{p})\) とした. 式変形で \(a(\bm{p})\), \(a^*(\bm{p})\) の順序を並び換えしていないことに注意. また Hamiltonian は正準エネルギー運動量テンソルの \({T^0}_0\) を全空間で積分したもの

\[H = ∫ \d{{}^3 \bm{x}} {T^0}_0\]

であり, 場の全エネルギーである. 同様に, 全運動量は

\[\bm{P}[ϕ, π] ≡ ∫ \d{{}^3 \bm{x}} ({T^0}_i) = - ∫ \d{{}^3 \bm{x}} π \grad ϕ = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} \bm{p} \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}.\]

したがって, 4元全運動量テンソルは

\[P_μ[ϕ, π] = ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_μ \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}.\]

まとめると,

\[\begin{aligned} ϕ(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} + a^*(\bm{p}) e^{ipx}}, \\ π(x) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{p}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} (-i) p_0 \bqty{a(\bm{p}) e^{-ipx} - a^*(\bm{p}) e^{ipx}}, \\ a(\bm{p}) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{p_0 ϕ(x) + i π(x)} e^{ipx}, \\ a^{*}(\bm{p}) &= ∫ \frac{\d{{}^3 \bm{x}}}{\sqrt{(2π)^3 2p_0}} \bqty{p_0 ϕ(x) - i π(x)} e^{-ipx}, \\ H[ϕ, π] &= ∫ \d{{}^3 \bm{p}} p_0 \qty{a^*(\bm{p}) a(\bm{p}) + \frac12 [a(\bm{p}), a^*(\bm{p})]}. \end{aligned}\]

TODO: 他の例

参考文献