場の解析力学

最小作用の原理

4 元座標に依存するパラメータ \(ϕ^α (x)\) について, 作用 action と呼ばれる汎関数 \(S[ϕ^α]\) が存在し, \(ϕ^α\) は物理現象において \(S[ϕ^α]\) が最小となるよう変化する. つまり, 停留条件 \(δS[ϕ^α] = 0\) を満たす.

Euler–Lagrange の運動方程式

作用は, スカラー場 \(ϕ^α\) に関する Lagrangian 密度 Lagrangian density \(ℒ(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α)\) を用いて以下のように表される:

\[S[ϕ^α] = ∫ \d{{}^4 x} ℒ(ϕ^α, ∂_μ {ϕ^α}).\]

\(ϕ^α + δϕ^α\) の変分をとって,

\[\begin{aligned} δS[ϕ^α] =& ∫ \d{{}^4 x} \bqty{ ℒ(ϕ^α + δϕ^α, ∂_μ ϕ^α + ∂_μ δϕ^α) - ℒ(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) } \\ =& ∫ \d{{}^4 x} \bqty{ δϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + δ∂_μ ϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} + o\pqty{\sqrt{ δϕ^{α*} δϕ^α + δ∂_μϕ^{α*} δ∂^μϕ^α }} } \\ =& ∫ \d{{}^4 x} \bqty{ δϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + ∂_μ δϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} } \quad (∵ δ∂_μ ϕ^α = ∂_μ δϕ^α) \\ =& ∫ \d{{}^4 x} \bqty{ δϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} - δϕ^α ∂_μ \pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)}} + ∂_μ \pqty{ δϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} } }. \end{aligned}\]

ここで, 発散項は境界条件より消える:

\[δS[ϕ^α] = ∫ \d{{}^4 x} δϕ^α \bqty{ \pdv{ℒ}{ϕ^α} - ∂_μ \pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)}} }.\]

したがって, 停留条件 \(δS[ϕ^α] = 0\) より, Euler–Lagrange の運動方程式が得られる:

\[\pdv{ℒ}{ϕ^α} - ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} } = 0.\]

例: 実 Klein-Gordon 場

実 Klein-Gordon 場 \(ϕ^α\) の Lagrangian 密度は,

\[ℒ(ϕ^α, ∂_μ ϕ^α) = \frac12 ∂_μ ϕ^α ∂^μ ϕ^α - \frac12 μ^2 {ϕ^α}^2.\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{ℒ}{ϕ^α} = - μ^2 ϕ^α, && ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ϕ^α)} } = ∂_μ ∂^μ ϕ^α. \end{aligned}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\[(∂_μ ∂^μ + μ^2) ϕ^α = 0.\]

例: de Broglie 場

de Broglie 場 \(ψ\) の Lagrangian 密度は,

\[ℒ(ψ, ∂_μ ψ) = i ℏ ψ^† ∂_μ ψ - \frac{ℏ^2}{2m} ∂_i ψ^† ∂^i ψ.\]

ここで, \(ψ\) と \(ψ^†\) を独立に扱って,

\[\begin{aligned} \pdv{ℒ}{ψ^†} &= i ℏ ∂_μ ψ, \\ ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ψ^†)} } &= ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ψ^†)} } + ∂_i \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_i ψ^†)} } \\ &= 0 - \frac{ℏ}{2 m} ∂_i ∂^i ψ \\ &= - \frac{ℏ}{2 m} \laplacian ψ, \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \pdv{ℒ}{ψ} &= 0, \\ ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ψ)} } &= ∂_μ \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_μ ψ)} } + ∂_i \pqty{ \pdv{ℒ}{(∂_i ψ)} } \\ &= i ℏ ∂_i ψ^† - \frac{ℏ}{2 m} ∂_i ∂^i ψ^† \\ &= i ℏ ∂_i ψ^† - \frac{ℏ}{2 m} \laplacian ψ^†. \end{aligned}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\[\begin{aligned} i ℏ ∂_μ ψ &= - \frac{ℏ}{2 m} \laplacian ψ, & - i ℏ ∂_μ ψ^† &= - \frac{ℏ}{2 m} \laplacian ψ^†. \end{aligned}\]

例: 電磁場

電磁場 \(A_μ\) の Lagrangian 密度は,

\[\begin{aligned} ℒ(A_ν, ∂_μ A_ν) = - \frac14 F_{μν} F^{μν} + A_μ j^μ, && F^{μν} := ∂^μ A^ν - ∂^ν A^μ. \end{aligned}\]

ここで,

\[\begin{aligned} \pdv{ℒ}{A_ν} &= j^μ, \\ ∂_μ \pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μ A_ν)}} &= ∂_μ \qty{ \pdv{}{(∂_μ A_ν)} \pqty{ - \frac14 F_{ρσ} F^{ρσ} } } \\ &= ∂_μ \qty{ \pdv{}{(∂_μ A_ν)} \bqty{ - \frac12 ( ∂_ρ A_σ ∂^ρ A^σ - ∂_ρ A_σ ∂^σ A^ρ ) } } \\ &= ∂_μ \bqty{ - (∂^μ A^ν - ∂^ν A^μ) } \\ &= - ∂_μ F^{μν}. \end{aligned}\]

したがって, Euler–Lagrange の運動方程式より,

\[∂_μ F^{μν} = - j^ν.\]

Noether の定理

座標の微小変換 \(x↦x'=x+δx\) に対し, 座標が \(ϕ^α(x)↦ϕ'^α(x)=ϕ^α(x)+δϕ^α(x)\) と変換されるとする. このとき作用は

\[\begin{aligned} δS[ϕ^α] &= ∫ \d{{}^4 x'} ℒ(ϕ'^α(x'),∂'_μϕ'^α(x')) - ∫ \d{{}^4 x} ℒ(ϕ^α(x),∂_μϕ^α(x)) \\ & \quad \pqty{\d{{}^4 x'} = \d{{}^4 x} \abs{\pdv{x'^μ}{x^ν}} = \d{{}^4 x} \det(δ_ν^μ+∂_νδx^μ) = \d{{}^4 x} (1+∂_μδx^μ)} \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \Big[ (1+∂_μδx^μ) ℒ(ϕ'^α(x'),∂'_μϕ'^α(x')) - ℒ(ϕ^α(x),∂_μϕ^α(x)) \Big] \\ & \quad \pqty{ ∂'_μϕ'^α(x') = \pdv{x^ν}{x'^μ} ∂_ν(ϕ^α(x)+δϕ^α(x)) = (δ_μ^ν-∂_μδx^ν)(∂_νϕ^α+∂_νδϕ^α) = ∂_μϕ^α+∂_μδϕ^α-∂_μδx^ν∂_νϕ^α } \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \Big[ ∂_μδx^μ ℒ + ℒ(ϕ^α+δϕ^α,∂_μϕ^α+∂_μδϕ^α-∂_μδx^ν∂_νϕ^α) - ℒ(ϕ^α,∂_μϕ^α) \Big] \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \bqty{∂_μδx^μ ℒ + δϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + (∂_μδϕ^α-∂_μδx^ν∂_νϕ^α) \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}} \\ & \quad \pqty{\text{Lie 微分 $δ^Lϕ^α(t) := ϕ'^α(t) - ϕ^α(t) = δϕ^α - δx^μ∂_μϕ^α$}} \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \bqty{∂_μδx^μ ℒ + (δ^Lϕ^α + δx^μ∂_μϕ^α) \pdv{ℒ}{ϕ^α} + (∂_μδ^Lϕ^α + δx^ν∂_μ∂_νϕ^α) \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}} \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \bqty{∂_μδx^μ ℒ + δ^Lϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + δx^μ∂_μϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + ∂_μδ^Lϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} + δx^ν∂_μ∂_νϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}} \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \qty{ ∂_μ \pqty{δx^μ ℒ} + δ^Lϕ^α \pdv{ℒ}{ϕ^α} + ∂_μ\bqty{δ^Lϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}} - δ^Lϕ^α ∂_μ\pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}} } \\ &= ∫ \d{{}^4 x} \qty{ δ^Lϕ^α \bqty{\pdv{ℒ}{ϕ^α} - ∂_μ\pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}}} + ∂_μ\bqty{δ^Lϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} + δx^μ ℒ} } \\ &= ∫ \d{{}^4 x} δ^Lϕ^α \bqty{\pdv{ℒ}{ϕ^α} - ∂_μ\pqty{\pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)}}} + ∫ \d{{}^4 x} ∂_μ\bqty{δϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} - δx_ν \pqty{∂^νϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} - g^{μν} ℒ}}. \\ \end{aligned}\]

ここで, 第一項は Euler–Lagrange の運動方程式より無視でき, 第二項の積分範囲は任意である. したがって, この変換に対し作用が不変 \(δS=0\) であるとすると, 対応する保存則が得られる:

\[∂_μδJ^μ = 0,\]

ただし,

\[δJ^μ := δϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} - δx_ν T^{μν}\]

保存流と呼ばれ,

\[T^{μν} := ∂^νϕ^α \pdv{ℒ}{(∂_μϕ^α)} - g^{μν} ℒ\]

正準エネルギー運動量テンソルと呼ばれる. 実際, 変換の生成子と呼ばれる

\[δQ(t) := ∫ \d{^3 \bm{x}} δJ^0(x)\]

を時間微分すると,

\[\begin{aligned} \dv{δQ}{t} &= ∫ \d{^3 \bm{x}} ∂_0δJ^0 = ∫ \d{^3 \bm{x}} (∂_μδJ^μ - ∂_iδJ^i) \\ &= - ∫ \d{^3 \bm{x}} ∂_iδJ^i = - ∫ \d{V} \div (δ\bm{J}) \\ &= - ∫ \d{\bm{S}} ⋅ (δ\bm{J}) \quad \xrightarrow{\text{境界条件}} \quad 0. \end{aligned}\]

Hamiltonの運動方程式

一般化運動量 \(π ≡ ∂ℒ / ∂\.{ϕ}^α\) を用いて, Hamiltonian 密度 \(ℋ(ϕ^α, ∇ ϕ^α, π_α, ∇ π_α) ≡ π_α \.{ϕ}^α - ℒ\) を定義する. Hamiltonian の定義の変分は,

\[\begin{aligned} δℋ &= \.{ϕ}^α δπ_α + π_α δ\.{ϕ}^α - δℒ \\ &= \.{ϕ}^α δπ_α + π_α δ\.{ϕ}^α - \bqty{\pdv{ℒ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)}} δϕ^α + \div \bqty{\pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)} δϕ^α} + π_α δ\.{ϕ^α} \\ &= - \bqty{\pdv{ℒ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)}} δϕ^α + \.{ϕ}^α δπ_α + \div \bqty{\pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)} δϕ^α}. \end{aligned}\]

また, Hamiltonianの変分は,

\[\begin{aligned} δℋ &= \pdv{ℋ}{ϕ^α} δϕ^α + \pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)} ⋅ δ(\grad ϕ^α) + \pdv{ℋ}{π_α} δπ_α + \pdv{ℋ}{(\grad π_α)} ⋅ δ(\grad π_α) \\ &= \pdv{ℋ}{ϕ^α} δϕ^α + \div \bqty{\pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)} δϕ^α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)} δϕ^α + \pdv{ℋ}{π_α} δπ_α + \div \bqty{\pdv{ℋ}{(\grad π_α)} δπ_α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad π_α)} δπ_α \\ &= \bqty{\pdv{ℋ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)}} δϕ^α + \bqty{\pdv{ℋ}{π_α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad π_α)}} δπ_α + \div \bqty{\pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)} δϕ^α} + \div \bqty{\pdv{ℋ}{(\grad π_α)} δπ_α} \end{aligned}\]

ここで, Euler-Lagrangian 方程式が成立するとき \(\displaystyle \.π_α = - \bqty{\pdv{ℒ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℒ}{(\grad ϕ^α)}}\) であることを用いると, Hamilton の運動方程式あるいは正準方程式 canonical equation が得られる:

\[\begin{aligned} \.{ϕ}^α &= \bqty{\pdv{ℋ}{π_α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad π_α)}}, \\ \.π_α &= - \pdv{ℋ}{ϕ^α} - \div \pdv{ℋ}{(\grad ϕ^α)}. \end{aligned}\]

TODO: ただし発散項は作用で消えることを用いた. このとき \(π_α\) は \(ϕ^α\) に共役な運動量 conjugate momentum といい, また \((ϕ^α, π_α)\) の組を正準変数 canonical variables という.

参考文献